Aplicação de derivadas: Máximos e mínimos de uma função

Esboçar o gráfico de uma função de 1° grau, 2° grau, trigonométrica ou exponencial é relativamente simples, mas como montar o gráfico de uma função complexa? Um dos artifícios que possibilitam essa façanha é a obtenção dos chamados “pontos críticos”, que nos ajudam a ter uma noção da aparência de certas funções mais elaboradas.

O que é o ponto de máximo ou mínimo de uma função?

São locais onde a função atinge seus valores mais altos (máximos) ou mais baixos (mínimos) dentro de um intervalo específico. Em termos práticos, um ponto de máximo é aquele em que a função apresenta o maior valor quando comparada a todos os pontos ao redor, enquanto um ponto de mínimo é onde a função apresenta o menor valor no mesmo contexto.

Visualmente, se considerarmos o gráfico de uma função, os pontos de máximo e mínimo se comportam como picos e vales. Esses pontos são crucialmente importantes em diversas áreas, como engenharia, economia e ciências naturais, onde é necessário otimizar algum parâmetro, como custo ou eficiência, em outras palavras, é necessário achar um valor máximo, gastando ou utilizando o mínimo de recursos.

Exemplo ilustrativo:

Imagine que você tem uma cerca de comprimento fixo e deseja cercar um terreno retangular. O objetivo é maximizar a área cercada. Você sabe que o comprimento da cerca será utilizado para formar os lados do retângulo, mas precisa decidir qual será a largura e o comprimento do terreno.

Neste caso, a área do terreno é dada pela multiplicação da largura pelo comprimento, e a cerca representa uma restrição, pois o perímetro do retângulo (a soma dos lados) deve ser igual ao comprimento fixo da cerca. O problema de otimização consiste em encontrar as dimensões do retângulo (largura e comprimento) que maximizam a área, dadas as restrições de perímetro.

O que acontece quando a derivada é igual à zero e quais as consequências?

A derivada de uma função em um determinado ponto fornece a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Quando a derivada é igual a zero, isso significa que a inclinação da reta tangente é horizontal. Este fenômeno ocorre nos pontos locais de máximo, mínimo ou em pontos de inflexão (ponto onde a função muda de uma concavidade para outra).

Isso significa que ao calcularmos a derivada de uma função e a igualarmos a zero, acharemos os valores de $x$ que possivelmente são coordenadas de um ponto de máximo, mínimo ou inflexão, esses são os chamados “pontos críticos”. Mas para determinar exatamente quais são esses pontos, precisamos fazer alguns passos adicionais.

Como achar pontos de máximo e mínimo com derivada?

Encontrar pontos de máximo e mínimo de uma função utilizando derivadas envolve um processo metódico (que segue uma regra específica). Irei descrever as etapas a seguir.

Exemplo 1: Considere que a função $R(x)=100x-2x^2$ descreve a receita $R(x)$ de uma empresa, onde $x$ representa a quantidade de produtos vendidos. Calcule quantos produtos devem ser fabricados para a empresa alcançar o máximo de receita.

$$R^{\prime }(x)=100-4x$$

O próximo passo é igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

$$0=100-4x$$

A partir disso, isolamos $x$:

$$4x=100$$

$$x=25$$

Pelo contexto da questão, poderíamos parar aqui, pois esse valor encontrado já é o que a questão pede, mas suponhamos que não sabemos a sua natureza dele (se ele é um ponto de máximo, mínimo ou inflexão), para determinarmos isso precisamos fazer o “teste da segunda derivada”.

Esse teste consiste em derivamos a função uma segunda vez: Se a constante for positiva, $x=25$ será a coordenada no eixo $x$ do ponto de mínimo, se o resultado da segunda derivada for uma constante negativa, significa que temos um ponto de máximo.

$$R^{“}(x)=-4$$

Como $R^{“}(x)$ é negativa, isso indica que o ponto $x=25$ é um ponto de máximo, confirmando o que já sabíamos. Achamos que $25$ produtos é a quantidade que fará a empresa ter o máximo de receita, mas afinal, quanto vale a receita máxima? Em outras palavras, quanto vale a função para $x=25$? Bastas substituirmos $25$ onde há $x$ na função inicial.

$$R(x)=100x-2x^2$$

$$R(25)=100\times 25-2\times (25{)}^2$$

$$R(25)=25000-1250$$

$$R(25)=23750$$

Exemplo 2: Determine os pontos críticos da função abaixo.

$$f(x)=x^3-x^2-x+1$$