Criada a partir da regra do produto, a integração por partes consiste em um processo específico que visa simplificar uma integral que é o produto de certas funções. Nesse artigo explicarei o que é, como aplicar e de onde surge esse método de integração.
O que é a integração por partes?
A integração por partes é uma técnica utilizada para calcular integrais de funções que são produtos de outras funções. Essa técnica é muito útil quando a integral que queremos calcular não possui uma forma direta de solução ou quando o método da integração por substituição não se aplica. A equação utilizada no processo de integração por partes é a seguinte:
$$\int u\;dv =u\cdot v-\int v\;du$$
Nessa expressão, definimos dois termos: $u$ e $dv$. A ideia é derivar $u$ para encontrar $du$ e integrar $dv$ para obter $v$. O processo simplificará a integral original. Escolher de forma correta os termos “$u$” e “$dv$” será o que fará a integral ser simplificada ou complicada, sendo de suma importância escolher corretamente qual função será “$u$” e qual será “$dv$”.
Exemplos de integrais por partes:
1) $\int x.\ln(x)\;dx$
2) $\int x.e^x\;dx$
3) $\int x.sen(x)\;dx$
O que é e como usar o LIATE?
O LIATE é uma sigla que nos ajuda a escolher $u$ e $dv$ corretamente. Essa regra considera a ordem preferencial de escolha das funções:
- L: Logarítmica ($\ln(x)$)
- I: Inversa trigonométrica ($arctan(x)$, $arcsin(x)$, etc.)
- A: Algébrica ($x^n$)
- T: Trigonométrica ($sin(x)$, $cos(x)$, etc.)
- E: Exponencial ($e^x$)
Para escolher o “$u$”, daremos prioridade as funções que estão no topo da lista acima, na ordem que elas aparecem, de cima para baixo. Como teremos o produto de duas funções originalmente, se escolhermos o “$u$”, por eliminação, a outra função será o “$dv$”.
Como realizar a integração por partes?
O processo é relativamente simples, pois consiste apenas em escolher uma função para ser $u$ e a outra para ser $dv$, achar $du$ ao se derivar $u$, achar $v$ ao integrar $dv$ e substituir na equação $\int u\;dv=u\cdot v-\int v\;du$. Uma vez que você entender como utilizar o método, verá que é mais simples do que parece.
Exemplo 1: Integre a função abaixo.
$$\int x.\ln|x|\;dx$$
Temos que integrar uma função que é o produto entre duas funções: $x$ e $\ln|x|$. Inicialmente, temos que escolher quem é $u$, e para isso, usaremos o LIATE. Nessa questão, temos uma função logarítmica e uma função algébrica, e de acordo com o LIATE, a função logarítmica tem preferência ao ser escolhida como $u$, então, nosso $u$ será a função $\ln|x|$, consequentemente, o $dv$ será a função $x$ (uma observação: a função que for escolhida como $dv$ deve estar acompanhada do diferencial $dx$).
$$u=\ln|x|$$
$$dv=x\;dx$$
O segundo passo consiste em acharmos $du$ e $v$, para achar $du$, basta derivarmos a função $u$ em relação à $x$, pois fazendo isso teremos:
$$\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}[\ln|x|]$$
Então, derivamos a função $x$ e isolamos o $du$
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$$
$$du=\frac{1}{x}\cdot dx$$
$$du=\frac{dx}{x}$$
Em seguida, encontramos quem é $v$ e como a integral é a operação inversa da derivada, ao integrarmos $dv$, acharemos $v$.
$$dv=x$$
$$\int dv=\int x\;dx$$
$$v=\frac{x^2}{2}$$
Substituímos $u$, $dv$, $du$ e $v$ na equação da integração por partes:
$$\int u\;dv =u\cdot v-\int v\;du$$
$$\int \ln|x|.x\;dx =\ln|x|\cdot\frac{x^2}{2}-\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\;dx$$
E para finalizar, simplificamos as expressões e resolvemos a integral restante.
$$\int \ln|x|.x\;dx =\frac{\ln|x|.x^2}{2}-\int \frac{x}{2}\;dx$$
$$\int \ln|x|.x\;dx =\frac{\ln|x|.x^2}{2}-\frac{x^2}{4}+C$$
Exemplo 2: Calcule a primitiva da função:
$$\int x.e^x\;dx$$
Novamente, temos uma multiplicação entre duas funções, onde o método de substituição não irá no ajudar (quer saber o porquê de não podermos usar esse outro método? Dá uma conferida no nosso artigo sobre ele). Então, vamos utilizar a integração por partes, primeiramente, escolhemos nosso $u$, que dessa vez será o $x$, pois a função algébrica tem maior prioridade do que a exponencial (lembremos do LIATE).
$$u=x$$
$$dv=e^x\;dx$$
Derivamos o $u$ e integramos o $dv$ para acharmos $du$ e $v$, respectivamente.
Encontrando $du$:
$$\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}x$$
$$\frac{du}{dx}=1$$
$$du=1dx$$
$$du=dx$$
Achando $v$:
$$dv=e^x\;dx$$
$$\int dv=\int e^x\;dx$$
$$v=e^x$$
O próximo passo é substituir na equação $\int u\;dv =u\cdot v-\int v\;du$
$$\int x.e^x\;dx =x\cdot e^x-\int e^x\;dx$$
$$\int x.e^x\;dx =x.e^x-e^x+C$$
Origem da integração por partes
Tomemos uma função $f(x)$ qualquer, que consiste no produto entre outras duas funções $u(x)$ e $v(x)$.
$$f(x)=u(x)\cdot v(x)$$
Quando temos uma igualdade, podemos fazer qualquer coisa, desde que façamos em ambos os lados dela. Seguindo essa premissa, podemos derivar ambos os lados da equação acima (lembre-se que equação é uma expressão matemática que possui uma igualdade).
$$f'(x)=(u(x)\cdot v(x))’$$
Para derivar um produto de funções utiliza-se a regra do produto (a demonstração da regra do produto está em um outro artigo, para quem estiver curioso).
$$(u(x)\cdot v(x))’=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$$
Podemos integrar ambos os lados da igualdade.
$$\int (u(x)\cdot v(x))’=\int \left[u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\right]$$
Utilizando a propriedade da integral da soma, teremos:
$$\int (u(x)\cdot v(x))’=\int u'(x)\cdot v(x)+\int u(x)\cdot v'(x)$$
Como a integral é o inverso da derivada, no lado esquerdo da equação ficará apenas o produto entre as funções $u(x)$ e $v(x)$.
$$u(x)\cdot v(x)=\int u'(x)\cdot v(x)+\int u(x)\cdot v'(x)$$
Agora passamos o termo $\int u'(x)\cdot v(x)$ para o lado esquerdo da equação, subtraindo.
$$u(x)\cdot v(x)-\int u'(x)\cdot v(x)=\int u(x)\cdot v'(x)$$
$$\int u(x)\cdot v'(x)=u(x)\cdot v(x)-\int u'(x)\cdot v(x)$$
Para simplificar a notação, utilizarei $u$ e $v$ no lugar de $u(x)$ e $v(x)$ e ao invés de utilizar $u’$ e $v’$ utilizarei apenas $du$ e $dv$.
$$\int u\cdot dv=u\cdot v-\int du\cdot v$$
Reorganizando a expressão teremos por fim:
$$\int u\;dv=u\cdot v-\int v\;du$$
Mas afinal, como que essa expressão acima representa a integral entre o produto das funções $u(x)$ e $v(x)$? A integral é a primitiva da função que está no integrando, ou seja, calcular a integral de uma função $f(x)$ é achar uma função original, que ao ser derivada, resulta em $f(x)$, e chamamos essa primitiva de $F(x)$. Formalmente, de acordo com a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), a primitiva de uma função $f(x)$ qualquer é a função tal que:
$$F'(x)=f(x)$$
Levando em conta que $F(x)$ representa a integral da função $f(x)$, e que derivando $F(x)$ devemos obter necessariamente $f(x)$ (integrando), vamos pensar um pouco, inicialmente tínhamos uma função $f(x)=u(x)\cdot v(x)$, utilizando essa informação e o fato de que $\int f(x)\;dx=F(x)$ podemos escrever a seguinte expressão:
$$\int f(x)\;dx=F(x)$$
$$\int u(x).v(x)\;dx=F(x)$$
Utilizando o TFC, temos que:
$$F'(x)=u(x).v(x)$$
Ou seja, se o resultado da equação:
$$\int u\;dv=u\cdot v-\int v\;du$$
É igual a $F(x)$, se derivarmos isso, devemos obrigatoriamente chegar no produto entre as função $u(x)$ e $v(x)$. Irei pegar o segundo exemplo resolvido nesse artigo para mostrar isso na prática.
$$\int x.e^{x}\;dx=x.e^x-e^x+C$$
A derivada de $x.e^x-e^x+C$ tem que resultar em $x.e^x$.
$$F(x)=x.e^x-e^x+C$$
$$F'(x)=(x.e^x-e^x+C)’$$
$$F'(x)=(x.e^x)’-(e^x)’+C’$$
$$F'(x)=e^x+x.e^x-e^x+0$$
$$F'(x)=x.e^x$$
Uma vez que $x.e^x$ é o integrando, temos $x.e^x=f(x)$, que por sua vez resulta em:
$$F'(x)=f(x)$$
Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.
