Esse é o primeiro dentre os métodos de integração que geralmente são utilizados para se resolver integrais que não estão na tabela. Apesar de simples, muitas pessoas têm dúvida sobre em quais situações utilizá-lo, e é para responder essas e outras dúvidas que fiz esse artigo.
O que é integral por substituição?
É uma técnica fundamental no cálculo integral, frequentemente comparada à regra da cadeia usada nas derivadas. Esse método permite transformar uma integral complicada em uma mais simples, permitindo resolver exercícios que, à primeira vista, podem parecer sem solução.
Na prática, a ideia é substituir uma parte da integral por uma nova variável, facilitando seus cálculos, pois a integral ficará em um formato conhecido, possibilitando a utilização da tabela de integrais. Essa técnica é aplicada quando percebemos que no lugar de $x$, existe uma um polinômio de primeiro grau diferente de $x$ (como $x+1$ ou $-3x$), ou quando temos uma multiplicação entre uma função composta e outra qualquer, e uma delas é a derivada da outra.
Como aplicar o método da substituição em uma integral?
Como dito anteriormente, há dois casos em que a substituição é aplicável, saber identificá-los é indispensável. Irei mostrá-los por meio de dois exercícios resolvidos passo à passo.
Exemplo 1: Resolva a integral abaixo
$$\int sen(x+2)\;dx$$
A primeira coisa a se perguntar ao resolver uma integral é:”A integral dessa função, está na tabela?”, se não estiver, será necessária alguma manipulação ou método de integração para resolvê-la. Na tabela, temos a integral de $sen(x)$, e acima temos a função $sen(x+2)$ no integrando, mas e se chamássemos todo o $x+2$ de “$u$”? Fazer essa substituição deixará a integração mais simples, pois teríamos $sen(u)$ e a integral disso é $-cos(u)$. Só que além de substituir $x+2$ por $u$, temos que achar o diferencial $du$, porque estaremos integrando em relação a $u$, não a $x$, e para isso utilizaremos a seguinte equação:
$$u=x+2$$
Se derivarmos ambos os lados da equação, faremos aparecer tanto o $du$, quanto o $dx$.
$$u’=(x+2)’$$
$$\frac{du}{dx}=1$$
Se isolarmos o $dx$ na equação acima, poderemos achar uma expressão que seja equivalente à $dx$ e que possua o diferencial $du$, permitindo assim que deixemos toda a integral em função da variável $u$.
$$\frac{du}{dx}=1$$
$$du=dx$$
Em seguida, substituímos “$x+2$” por “$u$” e $dx$ por $du$.
$$\int sen(u)\;du$$
Agora temos uma integral simples que podemos resolver facilmente.
$$\int sen(u)\;du=-cos(u)+C$$
Antes de comemorar, é necessário fazer mais uma coisinha; inicialmente tínhamos uma função que dependia de $x$, e a integral disso deve também estar em função de $x$, portanto, substituiremos $u$ por $x+2$, para deixar a resposta com a variável $x$, ao invés de $u$.
$$\int sen(x+2)\;dx=-cos(x+2)+C$$
Sempre que você tiver uma função que possuir uma polinômio de primeiro grau ao invés da variável independente sozinha, poderás utilizar a substituição de variável, por exemplo:
$$\int cos(2x+3)\;dx$$
$$\int (x-1)^3\;dx$$
$$\int e^{-x}\;dx$$
Se nas integrais acima, ao invés de $2x+3$, $-x$ e $x-1$, tivéssemos apenas $x$, poderíamos resolver utilizando a tabela, e como são polinômios grau $1$ no lugar de $x$, podemos usar a substituição para resolver.
Exemplo 2: Calcule a primitiva da integral a seguir
$$\int e^{tan(x)}sec^2(x)\;dx$$
No integrando, temos duas funções se multiplicando, com uma delas sendo uma função composta ($e^{tan(x)}$), e é possível notar que há uma relação entre $tg(x)$ e $sec^2(x)$, pois a derivada da tangente é exatamente a função secante ao quadrado, ou seja:
$$\frac{d}{dx}[tan(x)] = sec^2(x)$$
A partir disso, escolhemos para chamar de “u” a função que não estiver multiplicando $dx$, que nesse caso será $tan(x)$.
$u=tan(x)$
Agora, precisamos calcular a derivada de $u$ em relação a $x$:
$\displaystyle \frac{du}{dx} = sec^2(x)$
Assim como na questão anterior, precisamos deixar toda a integral com a variável $u$, portanto, precisamos substituir todo o $sec^2(x)dx$ por alguma expressão que tenha $du$, e como faremos isso? Derivando ambos os lados da equação $u=tan(x)$ em relação à $x$
$$u’=(tan(x))’$$
$$\frac{du}{dx}=sec^2(x)$$
Isolando o $du$, teremos:
$$du=sec^2(x)dx$$
Achamos exatamente quem queríamos substituir, agora é só trocar $sec^2(x)dx$ por $du$ e integrar.
$$\int e^{u}\;du = e^{u}+C$
Devemos agora substituir $u$ pela função original, que é $tg(x)$:
$$e^{u}+C=e^{tg(x)} +C$$
Portanto, a solução da nossa integral é:
$$\int e^{tg(x)}sec^2(x)\;dx=e^{tg(x)}+C$$
Resumo da ópera, caso haja um produto entre funções, e uma delas é a derivada da outra, podemos realizar a substituição por uma variável e simplificar a integral. O passo à passo consiste em identificar se integral se encaixa em uma das duas situações mencionadas, realizar a substituição do termo adequado, integrar e por fim, voltar para a variável original.
Formado em Eletrotécnica pelo IFRN.
