Quando visto no ensino médio, gera muitas dúvidas do porquê estudar tal assunto, mas o determinante é um conceito fundamental da álgebra linear, utilizado para analisar propriedades importantes de matrizes. Este artigo apresenta uma visão geral sobre o que é o determinante, suas principais propriedades e como calcular para matrizes de diferentes ordens.
O que é um determinante?
Chamamos de determinante de uma matriz quadrada A, uma constante associada a matriz A, que é encontrada através de métodos específicos a depender da ordem da matriz. Noutras palavras, o determinante é uma constante que cada matriz possui, que inicialmente parece não ter utilidade, mas pode ser utilizada para verificar se uma matriz possui uma inversa e solucionar sistemas de equações (além de ser usado na geometria analítica para calcular a área de um paralelogramo e o volume de um paralelepípedo). Tomemos uma matriz $A$ genérica:
$$A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2}\\
a_{2,1} & a_{2,2}
\end{pmatrix}_{2\times2}$$
Representaremos o cálculo do seu determinante com a notação $det(A)$ e colocando barras verticais em torno da matriz.
$$det(A)=\begin{vmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2}\\
a_{2,1} & a_{2,2}
\end{vmatrix}_{2\times2}=D$$
Com $D$ sendo um número qualquer pertencente ao conjunto dos números reais ($D\in\mathbb{R}$). Mas afinal, como encontramos o valor do determinante? Quanto maior a ordem da matriz, mais trabalhoso é o processo, mas não é um monstro de sete cabeças, como tentarei mostrar ao longo desse documento.
Determinante de uma matriz de 1° ordem
O determinante de uma matriz $1\times1$ é uma das coisas mais fáceis de calcular, pois o determinante será o único elemento que a matriz tiver.
Exemplo: Calcule o determinante da matriz abaixo.
$$A=\begin{pmatrix}
3
\end{pmatrix}_{1×1}$$
Sem segredo, o determinante dessa matriz será o próprio elemento $3$.
$$det(A)=\begin{vmatrix}
3
\end{vmatrix}_{1×1}=3$$
Determinante de uma matriz de 2° ordem
Para calcular o determinante de uma matriz $2\times2$, multiplicamos os elementos da diagonal principal e subtraímos disso o resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária (lembrando que os elementos da diagonal principal são os que ocupam a mesma posição na linha e na coluna, exemplos: $a_{1,1}$, $a_{2,2}$, $a_{3,3}$ e assim por diante).
$$det(A)=\begin{vmatrix}
a_{1,1}&a_{1,2}\\
a_{2,1}&a_{2,2}
\end{vmatrix}_{2×2}=a_{1,1}\cdot a_{2,2}-a_{1,2}\cdot a_{2,1}$$
Pode ter ficado um pouco confusa essa representação genérica do determinante, então, vamos resolver um exercício bem passo a passo para que não haja dúvida.
Exemplo: Calcule o determinante da matriz abaixo.
$$A=\begin{bmatrix}
4&2\\
5&3
\end{bmatrix}_{2×2}$$
Primeiramente, vamos reescrever a matriz com a notação de determinante.
$$det(A)=\begin{vmatrix}
4&2\\
5&3
\end{vmatrix}_{2×2}$$
Então, vamos identificar a diagonal principal da matriz, ela será constituída pelos termos $a_{1,1}$ e $a_{2,2}$, ou seja, $4$ e $3$.
$$det(A)=\begin{vmatrix}
{\color{red}4}&2\\
5&{\color{red}3}
\end{vmatrix}_{2×2}$$
Calculamos o produto entre eles
$$4\cdot3=12$$
Identificamos agora os termos da diagonal secundária, que serão os elementos $2$ e $5$.
$$det(A)=\begin{vmatrix}
4&{\color{blue}2}\\
{\color{blue}5}&3
\end{vmatrix}_{2×2}$$
Em seguida, efetuamos a multiplicação entre os dois termos.
$$2\cdot5=10$$
Por fim, subtraímos esse segundo resultado do primeiro.
$$det(A)=\begin{vmatrix}
4&2\\
5&3
\end{vmatrix}_{2×2}=4\cdot3-2\cdot5=12-10=2$$
Determinante de uma matriz de 3° ordem (Regra de Sarrus)
O determinante de uma matriz $3\times3$ é calculado de uma forma parecida com o da matriz $2\times2$, mas com algumas modificações. Tomando uma matriz de ordem $3$ qualquer:
$$A=\begin{pmatrix}
1&2&0\\
3&4&3\\
0&1&1
\end{pmatrix}_{3×3}$$
Encontraremos seu determinante através da Regra de Sarrus, que baseia-se em duplicarmos as duas primeiras colunas da matriz (já que começamos a calcular o determinante, precisamos escrever a matriz com a notação correta).
$$det(A)=\begin{array}{|ccc|cc}
1 & 2 & 0&1&2 \\
3 & 4 & 3&3&4 \\
0 & 1 & 1&0 &1
\end{array}$$
Em seguida identificamos as três diagonais principais dessa matriz. A primeira será a própria diagonal da matriz $3\times3$, e as demais serão as diagonais formadas por três elementos que são paralelas a ela, ou seja, as que estiverem ao lado dela.
{\color{red}1}&{\color{green}2}&{\color{orange}0}&1&2\\
3&{\color{red}4}&{\color{green}3}&{\color{orange}3}&4\\
0&1&{\color{red}1}&{\color{green}0}&{\color{orange}1}
\end{array}$$
1° Diagonal principal: $1$, $4$, $1$
2° Diagonal principal: $2$, $3$, $0$
3° Diagonal principal: $0$, $3$, $1$
Multiplicamos então os termos das diagonais principais e somamos os resultados das multiplicações.
$$1\cdot4\cdot1+2\cdot3\cdot0+0\cdot3\cdot1=4$$
O próximo passo é identificarmos as diagonais secundárias, que serão a própria diagonal secundária da matriz, e as que estão ao lado dela.
$$det(A)=\begin{array}{|ccc|cc}
1 & 2 & {\color{purple}0}&{\color{blue}1}&{\color{cyan}2} \\
3 & {\color{purple}4} & {\color{blue}3}&{\color{cyan}3}&4 \\
{\color{purple}0} & {\color{blue}1} & {\color{cyan}1}&0 & 1
\end{array}$$
1° Diagonal secundária: $0$, $4$, $0$
2° Diagonal secundária: $1$, $3$, $1$
3° Diagonal secundária: $2$, $3$, $1$
E repetimos o mesmo processo que fizemos antes, multiplicamos os termos das diagonais secundárias e somamos os resultados.
$$0\cdot4\cdot0+1\cdot3\cdot1+2\cdot3\cdot1=9$$
Para acharmos o determinante da matriz $A$, subtraímos este último resultado do primeiro.
$$det(A)=\begin{vmatrix}
1 & 2 & 0\\
3 & 4 & 3\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}=4-9=-5$$
Resumidamente, a regra de Sarrus consiste em duplicar as duas últimas colunas da matriz, calcular a soma dos produtos dos termos das diagonais principais e subtrair disso a soma dos produtos dos termos das diagonais secundárias. Vamos resolver outro exercício para que possamos assimilar melhor a técnica.
Exemplo: Encontre o valor de $x$, sabendo que $det(A)=2$.
$$A=\begin{bmatrix}
3&1&1\\
5&4&2\\
x+1&1&1
\end{bmatrix}_{3\times3}$$
Começamos duplicando as duas primeiras colunas da matriz.
$$det(A)=\begin{array}{|ccc|cc}
3&1&1&3&1\\
5&4&2&5&4\\
x+1&1&1&x+1&1
\end{array}$$
Identificamos agora os termos das diagonais principais.
$$det(A)=\begin{array}{|ccc|cc}
{\color{red}3}&{\color{green}1}&{\color{orange}1}&3&1\\
5&{\color{red}4}&{\color{green}2}&{\color{orange}5}&4\\
x+1&1&{\color{red}1}&{\color{green}x+1}&{\color{orange}1}
\end{array}$$
1° Diagonal principal: $3$, $4$, $1$
2° Diagonal principal: $1$, $2$, $x+1$
3° Diagonal principal: $1$, $5$, $1$
Calculamos então a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais.
$$3\cdot4\cdot1+1\cdot2\cdot(x+1)+1\cdot5\cdot1=12+2x+2+5=2x+19$$
Faremos o mesmo com as diagonais secundárias, identificando-as e calculando a soma dos produtos de seus elementos.
$$det(A)=\begin{array}{|ccc|cc}
3&1&{\color{purple}1}&{\color{blue}3}&{\color{cyan}1}\\
5&{\color{purple}4}&{\color{blue}2}&{\color{cyan}5}&4\\
{\color{purple}x+1}&{\color{blue}1}&{\color{cyan}1}&x+1&1
\end{array}$$
1° Diagonal secundária: $1$, $4$, $x+1$
2° Diagonal secundária: $3$, $2$, $1$
3° Diagonal secundária: $1$, $5$, $1$
$$1\cdot4\cdot(x+1)+3\cdot2\cdot1+1\cdot5\cdot1=4x+4+6+5=4x+15$$
Por fim, sabendo que o determinante da matriz é $4$, podemos montar a seguinte equação:
$$det(A)=\begin{vmatrix}
3&1&1\\
5&4&2\\
x+1&1&1
\end{vmatrix}=2x-19-(4x+15)$$
$$2=2x+19-(4x+15)$$
$$2=2x+19-4x-15$$
$$-2=-2x$$
$$\boxed{x=1}$$
Determinante de uma matriz de 4° ordem (Teorema de Laplace)
A partir da matriz $4\times4$, o processo de calcular o determinante começa a ficar demorado e trabalhoso, e como é raro professores cobrarem matrizes de ordem $5$ ou superior, me limitarei a explicar um último método, chamado: “Teorema de Laplace”, que funciona para matrizes de ordem $4$ ou superior (existem outros, mas esse é o mais fácil de entender e utilizar).
Antes de enunciar o Teorema, preciso explicar alguns conceitos iniciais, começando por “Menor complementar”. Chamamos de menor complementar de um elemento, o determinante da matriz formada após retirarmos a linha e coluna às quais o elemento pertence. Tomemos uma matriz $3\times3$ qualquer:
$$A=\begin{pmatrix}
4&2&1\\
1&0&-2\\
-1&2&1
\end{pmatrix}_{3\times3}
$$
O menor complementar do elemento $a_{1,1}$ será o determinante da matriz formada após retirarmos a linha $1$ e a coluna $1$ da matriz $A$.
$$D_{1,1}=\begin{vmatrix}
0&-2\\
2&1
\end{vmatrix}=0-(-2\cdot2)=4$$
A simbologia $D_{i,j}$ representa o menor complementar de um elemento qualquer de uma matriz. Vamos agora calcular o menor complementar do termo $a_{2,2}$, só que passo a passo, começando pela identificação do elemento $a_{2,2}$.
4&2&1\\
1&{\color{red}0}&-2\\
-1&2&1
\end{pmatrix}_{3\times3}$$
Em seguida, identificamos todos os termos que pertencem à mesma linha e coluna que ele.
4&{\color{red}2}&1\\
{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}-2}\\
-1&{\color{red}2}&1
\end{pmatrix}_{3\times3}$$
4&1\\
-1&1
\end{vmatrix}=4\cdot1-(1\cdot(-1))=5$$
O outro conceito que precisamos entender antes de irmos para o teorema é o de “Cofator”. Denominamos cofator de um elemento de uma matriz, a constante que segue a seguinte regra:
$$C_{i,j}=(-1)^{i+j}\cdot D_{i,j}$$
Parece difícil, não é? Mas vamos observar com calma a equação acima, ao elevarmos $-1$ a algum expoente, ele só pode assumir dois valores: $1$ e $-1$; se o expoente for par, o resultado será $1$, e se for ímpar, $-1$. O menor complementar $D_{i,j}$ já sabemos calcular, então, o cofator de um elemento será o próprio valor do menor complementar ou terá o sinal negativo. O que determinará isso será a posição do elemento. Vamos calcular o cofator do elemento $a_{1,3}$ da matriz anterior.
$$C_{i,j}=(-1)^{i+j}\cdot D_{i,j}$$
$$C_{1,3}=(-1)^{1+3}\cdot D_{1,3}=(-1)^{4}\cdot D_{1,3}=1\cdot D_{1,3}=D_{1,3}$$
O cofator do elemento $a_{1,3}$ será exatamente o valor do menor complementar dele, então, vamos calcular seu menor complementar.
1&0\\
-1&2
\end{vmatrix}=1\cdot2-(0\cdot(-1))=2$$
Portanto, o cofator $C_{1,3}$ é igual à $2$.
$$C_{1,3}=D_{1,3}=2$$
E se quiséssemos calcular o cofator $C_{3,2}$? Vamos substituir na equação do cofator e descobrir.
$$C_{i,j}=(-1)^{i+j}\cdot D_{i,j}$$
$$C_{3,2}=(-1)^{3+2}\cdot D_{3,2}=(-1)^{5}\cdot D_{3,2}=-1\cdot D_{3,2}=-D_{3,2}$$
Então, o cofator será igual ao menor complementar do elemento $a_{3,2}$, multiplicado por $-1$.
$$-D_{2,1}=-\begin{vmatrix}
4&1\\
1&-2
\end{vmatrix}=-[4\cdot(-2)-1\cdot1]=-[-9]=9$$
Uma vez explicados os conceitos de menor complementar e cofator, poderei partir para a explicação do método de resolução de uma matriz $4\times4$. O teorema de Laplace diz que:”Tomando uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz, o determinante dela será igual a soma das multiplicações entre os elementos que pertencem a essa fila e seus cofatores”. Especificando para nosso objeto de estudo, sendo $A$ uma matriz quadrada de ordem $4$.
$$A=\begin{bmatrix}
a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&a_{1,4}\\
a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&a_{2,4}\\
a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&a_{3,4}\\
a_{4,1}&a_{4,2}&a_{4,3}&a_{4,4}
\end{bmatrix}_{4\times4}$$
E tomando uma fila qualquer dessa matriz (utilizarei a primeira coluna).
$$A=\begin{bmatrix}
{\color{red}a_{1,1}}&a_{1,2}&a_{1,3}&a_{1,4}\\
{\color{red}a_{2,1}}&a_{2,2}&a_{2,3}&a_{2,4}\\
{\color{red}a_{3,1}}&a_{3,2}&a_{3,3}&a_{3,4}\\
{\color{red}a_{4,1}}&a_{4,2}&a_{4,3}&a_{4,4}
\end{bmatrix}_{4\times4}$$
O determinante da matriz $A$, de acordo com o Teorema de Laplace, será igual à soma dos elementos dessa fila, multiplicados pelos seus cofatores.
$$a_{1,1}\cdot C_{1,1}+a_{2,1}\cdot C_{2,1}+a_{3,1}\cdot C_{3,1}+a_{4,1}\cdot C_{4,1}$$
Eu avisei que era trabalhoso, mas há uma dica que pode ajudar a diminuir o trabalho: Daremos preferência a escolher uma fila que tenha uma maior quantidade de elementos nulos, pois conseguiremos eliminar alguns dos cálculos, uma vez que zero vezes qualquer coisa é zero.
Exemplo: Calcule o determinante da matriz abaixo.
$$A=\begin{bmatrix}
0&2&0&2\\
3&1&3&1\\
1&2&1&4\\
1&5&2&0
\end{bmatrix}_{4\times4}$$
Começamos escolhendo uma fila que tenha a maior quantidade de zeros, que é a primeira linha.
3&1&3&1\\
1&2&1&4\\
1&5&2&0
\end{bmatrix}_{4\times4}$$
Vamos montar o cálculo do determinante para vermos quais cofatores precisaremos calcular.
$$det(A)=a_{1,1}\cdot C_{1,1}+a_{1,2}\cdot C_{1,2}+a_{1,3}\cdot C_{1,3}+a_{1,4}\cdot C_{1,4}$$
$$det(A)=0\cdot C_{1,1}+2\cdot C_{1,2}+0\cdot C_{1,3}+2\cdot C_{1,4}$$
$$det(A)=2\cdot C_{1,2}+2\cdot C_{1,4}$$
Só precisamos calcular dois cofatores.
$$C_{i,j}=(-1)^{i+j}\cdot D_{i,j}$$
$$C_{1,2}=(-1)^{1+2}\cdot D_{1,2}=-D_{1,2}$$
$$C_{1,4}=(-1)^{1+4}\cdot D_{1,4}=-D_{1,4}$$
Resta apenas calcularmos o menor complementar dos elementos $a_{1,2}$ e $a_{1,4}$. Vamos passo a passo, o menor complementar $D_{1,2}$ será o determinante da matriz formada após eliminarmos a primeira linha e a segunda coluna da matriz $A$.
$$D_{1,2}=\begin{vmatrix}
3&3&1\\
1&1&4\\
1&2&0
\end{vmatrix}$$
Como se trata de uma matriz $3\times3$, utilizaremos a Regra de Sarrus para calcular o determinante.
$$D_{1,2}=\begin{array}{|ccc|cc}
3&3&1&3&3\\
1&1&4&1&1\\
1&2&0&1&2
\end{array}=$$
$$3\cdot1\cdot0+3\cdot4\cdot1+1\cdot1\cdot2-(1\cdot1\cdot1+3\cdot4\cdot2+3\cdot1\cdot0)=-11$$
Calculando o cofator do termo $a_{1,2}$, teremos:
$$C_{1,2}=-D_{1,2}=-(-11)=11$$
Então, calculamos o menor complementar $D_{1,4}$, que será o determinante da matriz formada após retirarmos a primeira linha e a quarta coluna da matriz $A$.
$$D_{1,4}=\begin{vmatrix}
3&1&3\\
1&2&1\\
1&5&2
\end{vmatrix}$$
Iniciaremos agora o processo de calcular o determinante.
$$D_{1,2}=\begin{array}{|ccc|cc}
3&1&3&3&1\\
1&2&1&1&2\\
1&5&2&1&5
\end{array}=$$
$$3\cdot2\cdot2+1\cdot1\cdot1+3\cdot1\cdot5-(3\cdot2\cdot1+3\cdot1\cdot5+1\cdot1\cdot2)=5$$
Em seguida, calculamos o cofator $C_{1,4}$.
$$C_{1,4}=-D_{1,4}=-5$$
Por fim, substituiremos os valores encontrados para calcular o determinante da matriz $A$.
$$det(A)=2\cdot C_{1,2}+2\cdot C_{1,4}$$
$$det(A)=2\cdot 11+2\cdot (-5)=22-10=12$$
Propriedades dos determinantes
Quer aprender a calcular alguns determinantes facilmente? Encontrar o determinante de uma matriz com base em outra? Tudo isso e muito mais você encontrará nas propriedades dos determinantes.
Fila nula:
Se pelo menos uma fila da matriz for constituída apenas por elementos nulos, o determinante da matriz será igual à zero.
Exemplo: Calcule o determinante da matriz abaixo.
0&1&3&3&-11\\
0&2&4&12&2\\
0&-1&2&1&5\\
0&3&7&5&5\\
0&8&-1&1&0
\end{pmatrix}_{5\times5}$$
Filas paralelas iguais ou proporcionais:
Se duas filas paralelas (linha com linha, por exemplo) forem iguais ou proporcionais, o determinante da matriz será zero.
Exemplo 1: Calcule o determinante da matriz abaixo.
$$A=\begin{pmatrix}
1&1&1\\
0&2&4\\
1&1&1
\end{pmatrix}_{3\times3}$$
Note que a primeira e terceira linhas são iguais, portanto, o determinante da matriz $A$ é zero.
Exemplo 2: Calcule o determinante da matriz abaixo.
$$B=\begin{pmatrix}
3&6&-3\\
4&8&1\\
1&2&0
\end{pmatrix}_{3\times3}$$
Na matriz acima, a segunda coluna possui elementos que são o dobro dos da primeira coluna, isso significa que elas são proporcionais, ou seja, o determinante da matriz $B$ é igual à zero.
Determinante da transposta:
Exemplo: Calcule o determinante da transposta de $A$.
$$A=\begin{pmatrix}
1&0\\
2&0
\end{pmatrix}_{2\times2}$$
Já que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz $A$, então, nem precisamos encontrar $A^{T}$, basta calcularmos o determinante de $A$, que por sua vez é igual à zero, dado que a segunda coluna possui apenas elementos nulos.
$$det(A^{T})=0$$
Troca de filas paralelas:
Dadas duas matrizes $A$ e $B$, se suas filas paralelas estiverem invertidas, o determinante de uma será igual à menos o determinante da outra.
$$det(A)=-det(B)$$
Exemplo: Calcule o determinante das matrizes abaixo.
3&4\\
1&2
\end{pmatrix}_{2\times2}\;B=\begin{pmatrix}
4&3\\
2&1
\end{pmatrix}_{2\times2}$$
Note que as colunas da matriz $B$ são as mesmas da matriz $A$, só que com a posição trocada, a que era primeira coluna se tornou segunda, e a segunda se tornou primeira, então, a propriedade acima citada poderá ser aplicada.
$$det(A)=-det(B)$$
$$\begin{vmatrix}
3&4\\
1&2
\end{vmatrix}=-det(B)$$
$$6-4=-det(B)$$
$$2=-det(B)$$
$$det(B)=-2$$
Multiplicação de uma fila por uma constante:
Dadas duas matrizes $A$ e $B$, se duas filas correspondentes forem proporcionais, o determinante de $B$ será igual ao determinante de $A$ vezes a constante de proporcionalidade (número que tiver multiplicado todos os termos da fila correspondente na matriz $B$, que pode ser qualquer número real), contanto que todos os demais elementos das matrizes sejam iguais.
$$det(A)=k\cdot det(B)$$
Exemplo: Calcule o determinante das matrizes abaixo.
1&1&1\\
1&0&5\\
0&1&2
\end{pmatrix}_{3\times3}\;B=\begin{pmatrix}
-3&-3&-3\\
1&0&5\\
0&1&2
\end{pmatrix}_{3\times3}$$
Perceba que os termos da primeira linha da matriz $B$ são iguais à $-3$ vezes os termos da primeira linha da matriz $A$, portanto, o determinante de $B$ será dado por:
$$det(B)=-3\cdot det(A)$$
Como a matriz $A$ possui elementos menores e positivos, será mais fácil calcular o seu determinante.
1&1&1&1&1\\
1&0&5&1&0\\
0&1&2&0&1
\end{array}=$$
$$1\cdot0\cdot2+1\cdot5\cdot0+1\cdot1\cdot1-(1\cdot0\cdot0+1\cdot5\cdot1+1\cdot1\cdot2)=-6$$
Para descobrir o determinante de $B$, basta substituirmos na equação referente a propriedade.
$$det(B)=-3\cdot det(A)$$
$$det(B)=-3\cdot(-6)=18$$
Teorema de Binet
Esse teorema é muito útil, pois nos faz poupar bastante trabalho. Ele diz que quando temos uma multiplicação entre matrizes, o produto de seus determinantes será igual ao determinante da “matriz produto”.
$$det(A)\cdot det(B)=det(A\cdot B)$$
Ao invés de calcularmos a matriz resultante da multiplicação das matrizes, para depois calcularmos o determinantes dela, basta acharmos os determinantes das matrizes individuais.
Exemplo: Calcule o determinante da matriz $det(B\cdot C)$.
$$B=\begin{pmatrix}
\frac{1}{3}&-1\\
\pi&\sqrt{2}
\end{pmatrix}_{2\times2}\;C=\begin{pmatrix}
0&0\\
2&1
\end{pmatrix}_{2\times2}$$
Antes de sair calculando determinantes, vamos analisar a questão, com o conhecimento que já temos. De acordo com o teorema de Binet, podemos calcular o determinante que a questão pediu da seguinte forma:
$$det(B\cdot C)=det(B)\cdot det(C)$$
Utilizando a propriedade da fila nula, conseguimos definir o determinante da matriz $C$, que será zero, então, sem fazer nenhum cálculo à mais, temos que:
$$det(B\cdot C)=det(B)\cdot det(C)=det(B)\cdot 0=0$$
Teorema de Jacob
Se somarmos linhas ou colunas de uma matriz, o determinante da matriz resultante será igual, e isso ocorrerá também caso multipliquemos a linha ou coluna que for somada. Tomemos uma matriz $A$ qualquer:
$$A=\begin{pmatrix}
1&2\\
2&3
\end{pmatrix}_{2\times2}$$
Seu determinante será $-1$, como podemos verificar:
$$det(A)=\begin{vmatrix}
1&2\\
2&3
\end{vmatrix}=3-4=-1$$
Se somarmos a linha dois à primeira linha, não alteraremos o determinante (chamarei de $B$ a matriz resultante dessa operação).
1+{\color{red}2}&2+{\color{blue}3}\\
{\color{red}2}&{\color{blue}3}
\end{pmatrix}_{2\times2}=\begin{pmatrix}
3&5\\
2&3
\end{pmatrix}_{2\times2}$$
3&5\\
2&3
\end{vmatrix}=9-10=-1$$
3&5+6\\
2&3+4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3&11\\
2&7
\end{pmatrix}$$
3&11\\
2&7
\end{vmatrix}=21-22=-1$$
Existência da inversa por determinante
Há um teorema fundamental, que enuncia a seguinte ocorrência: “Uma matriz quadrada $A$ possui inversa (é invertível ou não singular) se e somente se o seu determinante for diferente de zero”. Noutras palavras, caso o determinante de uma matriz for zero, ela não terá uma inversa.
Exemplo: Calcule a inversa da matriz $A$, caso exista.
$$A= \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 6 & 8 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 & 11 & 12
\end{bmatrix}$$
Antes de calcularmos a inversa, precisamos saber se ela existe, e podemos fazer isso ao calcularmos o determinante, mas note uma coisa: A primeira e segunda linhas são proporcionais, e de acordo com uma propriedade antes vista, se uma matriz possui duas filas proporcionais, seu determinante é igual à zero. Assim, a matriz $A$ não admite inversa.
Poderíamos verificar esse fato de outra forma, ao multiplicarmos a primeira linha por $-2$ e somar com a segunda linha, pois o teorema de Jacob nos garante que o determinante da nova matriz será igual ao determinante da matriz $A$.
1 & 2 & 3 & 4 \\
2+(-2) & 4+(-4) & 6+(-6) & 8+(-8) \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 & 11 & 12
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 & 11 & 12
\end{bmatrix}$$
O determinante da matriz $B$ é zero, pois a segunda linha é formada apenas por elementos nulos, e já que $det(A)=det(B)$, conseguimos concluir que a matriz $A$ não possui inversa, ou seja, ela é uma matriz singular.
Formado em Eletrotécnica pelo IFRN.
