Função de 1° grau: Forma geral e gráfico

Sendo a mais simples das funções polinomiais, e responsável por nos possibilitar a análise de coisas que crescem ou decrescem de forma uniforme, é indispensável estudá-la para entendermos o processo de criação do gráfico de uma função e suas aplicações.

O que é uma função de 1° grau?

Muitas vezes chamada de função afim ou função linear, ela é uma função, regra matemática que relaciona duas ou mais variáveis, que possui um polinômio de grau $1$, ou seja, o maior grau da variável é $1$.

Exemplos:

1) $f(x)=2x-3$

2) $f(x)=-x+1$

3) $f(x)=x$

Sua forma geral é dada por:

$$f(x)=ax+b$$

ou

$$y=ax+b$$

Onde $a$ e $b$ podem ser números quaisquer, geralmente pertencentes ao conjunto dos números reais (mas caso a questão especifique outro conjunto, consideraremos válidos apenas valores que pertençam a ele), e o $a$ deve ser diferente de zero, pois se o $a$ for igual à zero, teremos uma função constante.

Gráfico da função de 1° grau

O formato do gráfico da função linear é uma reta, que pode ser crescente ou decrescente, diferentemente do gráfico da função constante, cujo $f(x)$ não varia.

Como fazer o gráfico da função de 1° grau?

Para desenharmos o gráfico dessa função, precisamos apenas de dois pontos, mas quais devem ser eles? Podemos escolher alguns valores para $x$ e com o valor resultante da função marcamos dois pontos no plano cartesiano, mas há uma forma mais eficaz e que funcionará para toda e qualquer função afim. O método consiste em acharmos os pontos em que o gráfico intersecta os eixos $x$ e $y$, e podemos fazer isso ao zerarmos a variável dependente ou independente, vamos entender melhor por meio de um exemplo.

Exemplo:

Determine o gráfico da função $f(x)=2x-4$

 

Primeiramente, vamos zerar o $x$, para encontrarmos o valor em que o gráfico cruza o eixo $y$

$$f(x)=2x-4$$

$$f(0)=2.0-4$$

$$f(0)=0-4$$

$$f(0)=-4$$

Agora, zeramos o valor de $f(x)$ (ou $y$), para sabermos o valor em que o gráfico intersecta (toca) o eixo $x$, com a observação de que temos que isolar o $x$ nesse processo

$$f(x)=2x-4$$

$$0=2x-4$$

$$-2x=-4$$

$$x=\frac{-4}{-2}$$

$$x=2$$

Então, marcamos os pontos cujas coordenadas são $(0,-4)$ e $(2,0)$ no plano cartesiano e os ligamos

De forma geral, o valor que representa a intersecção do gráfico com o eixo $y$ é o coeficiente $b$, e podemos encontrar o ponto de toque com o outro eixo através da fórmula $-b/a$, utilizemos o exemplo acima para comprovar o que acabei de explicar

$$f(x)=2x-4$$

O coeficiente $b$, é o número que não estiver acompanhado da variável independente (nesse caso, o $x$), que na função em questão é $-4$, agora vamos usar a fórmula para descobrir onde o gráfico intersecta o eixo $x$

$$\frac{-b}{a}=\frac{-(-4)}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Olha só, achamos os mesmos valores, só que de uma forma bem mais prática e rápida, e isso funciona para qualquer função linear. O único cuidado que você deve ter é de identificar corretamente os coeficientes $a$ e $b$, para isso, basta comparar a função dada na questão com a forma geral $f(x)=ax+b$.

Função de 1° grau crescente:

Quando a função tiver o coeficiente $a$ (quem multiplica a variável independente) positivo, ela será crescente, ou seja, à medida que o valor de $x$ aumentar, o valor de $f(x)$ também aumentará

Gráfico de uma função afim crescente:

Função de 1° grau decrescente:

E quando o coeficiente $a$ for negativo, ela será decrescente, em outras palavras, à medida que o valor de $x$ aumentar, o valor de $f(x)$ diminuirá

Gráfico de uma função afim decrescente:

É importante ressaltar que o $a$ é chamado “coeficiente angular”, pois determina se a inclinação da função será positiva ou negativa (crescente ou negativa), e o $b$ é chamado “coeficiente linear” e como já foi explicado, determina o ponto de intersecção com o eixo $y$.

Aplicações da função de 1° grau

Sempre que possuirmos algo que cresce ou decresce de forma constante, dependendo de um outro valor, podemos utilizar a função de primeiro grau para representar graficamente essa situação.

Economia:

Podemos escrever a receita, lucro ou gasto total de uma transação financeira como uma função linear, desde que o valor de venda do produto seja constante.

Pesagem:

Podemos descrever o preço de determinado alimento aumentando ou diminuindo de acordo com o peso dele através de uma função afim.

Táxi:

Mesmo que já esteja em certo desuso por causa dos aplicativos de transporte, o táxi ainda é um meio de transporte muito usado e é um exemplo clássico de uso de função de 1° grau, pois o preço a pagar por uma viagem de táxi é dado por um valor fixo mais uma taxa de acordo com os quilômetros rodados.

Exercícios resolvidos de função de 1° grau

1. Determine o gráfico da função abaixo e seu valor para $x=3$

$$f(x)=x$$

 

Primeiramente, vamos substituir o valor de $x$ que é dado no enunciado para encontrarmos o valor de $f(x)$ correspondente

$$f(x)=x$$

$$f(3)=3$$

O valor de $f(x)$ é igual ao valor de $x$ e isso não é por acaso, essa função é uma velha conhecida da matemática, pois nela o valor da variável dependente será sempre igual ao valor da variável independente, e a ela é dada um nome especial: “Função identidade”. Agora vamos desenhar o gráfico dela, e bom, não temos nenhum número sozinho, isso significa que o gráfico não intersecta o eixo vertical? Não, pois podemos reescrever a função da seguinte forma (para facilitar a visualização)

$$f(x)=x+0$$

Quando não há nenhum valor aparente sem multiplicar a variável independente, significa que o coeficiente $b$ é igual à zero. E por fim, utilizaremos a fórmula citada anteriormente para achar o ponto de intersecção com o eixo horizontal, mas não vamos esquecer que $b=0$

$$\frac{-b}{a}=\frac{-0}{1}=0$$

Portanto, o gráfico da função identidade será:

2. Um rapaz costuma emprestar $50$ reais a seus amigos, com a seguinte condição: para cada mês que não for devolvido o valor, será acrescentado mais $10$ ao valor inicial. Qual será a dívida após três meses sem pagar?

 

Através da modelagem matemática, vamos transformar essa situação em uma função. Temos um valor inicial ($50$ reais) que não muda, e um valor que varia de acordo com a passagem dos meses, então, podemos escrever a seguinte expressão:

$$D(t)=50+10t$$

Onde $D(t)$ é a dívida a ser paga, $t$ a quantidade de meses e o $10$ é o valor que será acrescentado à dívida a cada mês. Para calcular o montante a ser pago após três meses, basta substituir $3$ na variável que representa o tempo, na expressão acima

$$D(t)=50+10t$$

$$D(3)=50+10.3$$

$$D(3)=50+30$$

$$D(3)=80$$

Portanto, a pessoa que demorar três meses para devolver o dinheiro, terá que pagar $80$ reais, ou seja, trinta reais à mais do que os $50$ reais que foram emprestados.

Daniel Duarte

Escritor

Sobre nós

O Matematiquês é um blog dedicado ao aprendizado de matemática, e nosso objetivo é tornar o ensino  mais acessível e envolvente através de conteúdos de alta qualidade e gratuitos para alunos e professores em todo o Brasil. Buscamos simplificar conceitos complexos com uma abordagem clara e direta, priorizando transparência, diversidade, clareza, qualidade, inovação e compromisso social. Nosso blog oferece conteúdos fundamentados por especialistas, revisados com rigor e atualizados.

Posts mais recentes

  • All Post
  • Ensino Fundamental
  • Ensino Médio
  • Ensino Superior
    •   Back
    • Curiosidades
    • Funções
    • Equações
    • Conjuntos numéricos
    • Geometria espacial
    • Inequações
    • Módulo
    • Progressões matemáticas
    •   Back
    • Limites
    • Derivadas
    • Integrais
    • Equações Diferenciais
    • Vetores e Geometria Analítica
    •   Back
    • Operações básicas
    • Frações
    • Potenciação
    • Radiciação
    • Geometria plana
    • Logaritmo

Banner

Lorem Ipsum is simply dumy text of the printing typesetting industry lorem ipsum.

Matematiquês © 2024. Todos os direitos reservados.

Desenvolvido por UIIG DIGITAL