Integrais por partes: Onde e como usar o método

Temos que integrar uma função que é o produto entre duas funções: $x$ e $\ln |x|$. Inicialmente, temos que escolher quem é $u$, e para isso, usaremos o LIATE. Nessa questão, temos uma função logarítmica e uma função algébrica, e de acordo com o LIATE, a função logarítmica tem preferência ao ser escolhida como $u$, então, nosso $u$ será a função $\ln |x|$, consequentemente, o $dv$ será a função $x$ (uma observação: a função que for escolhida como $dv$ deve estar acompanhada do diferencial $dx$). 

$$u=\ln |x|$$

$$dv=xdx$$

O segundo passo consiste em acharmos $du$ e $v$, para achar $du$, basta derivarmos a função $u$ em relação à $x$, pois fazendo isso teremos:

$$\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}[\ln |x|]$$

Então, derivamos a função $x$ e isolamos o $du$

$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$$

$$du=\frac{1}{x}\cdot dx$$

$$du=\frac{dx}{x}$$

Em seguida, encontramos quem é $v$ e como a integral é a operação inversa da derivada, ao integrarmos $dv$, acharemos $v$.

$$dv=x$$

$$\int dv=\int xdx$$

$$v=\frac{x^2}{2}$$

Substituímos $u$, $dv$, $du$ e $v$ na equação da integração por partes:

$$\int udv=u\cdot v-\int vdu$$

$$\int \ln |x|.xdx=\ln |x|\cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx$$

E para finalizar, simplificamos as expressões e resolvemos a integral restante.

$$\int \ln |x|.xdx=\frac{\ln |x|.x^2}{2}-\int \frac{x}{2}dx$$

$$\int \ln |x|.xdx=\frac{\ln |x|.x^2}{2}-\frac{x^2}{4}+C$$

Exemplo 2: Calcule a primitiva da função:

$$\int x.e^{x}dx$$

Novamente, temos uma multiplicação entre duas funções, onde o método de substituição não irá no ajudar (quer saber o porquê de não podermos usar esse outro método? Dá uma conferida  no nosso artigo sobre ele). Então, vamos utilizar a integração por partes, primeiramente, escolhemos nosso $u$, que dessa vez será o $x$, pois a função algébrica tem maior prioridade do que a exponencial (lembremos do LIATE).

$$u=x$$

$$dv=e^{x}dx$$

Derivamos o $u$ e integramos o $dv$ para acharmos $du$ e $v$, respectivamente.

Encontrando $du$:

$$\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}x$$

$$\frac{du}{dx}=1$$

$$du=1dx$$

$$du=dx$$

Achando $v$:

$$dv=e^{x}dx$$

$$\int dv=\int e^{x}dx$$

$$v=e^x$$

O próximo passo é substituir na equação $\int udv=u\cdot v-\int vdu$

$$\int x.e^{x}dx=x\cdot e^x-\int e^{x}dx$$

$$\int x.e^{x}dx=x.e^x-e^x+C$$

Origem da integração por partes

Tomemos uma função $f(x)$ qualquer, que consiste no produto entre outras duas funções $u(x)$ e $v(x)$.

$$f(x)=u(x)\cdot v(x)$$

Quando temos uma igualdade, podemos fazer qualquer coisa, desde que façamos em ambos os lados dela. Seguindo essa premissa, podemos derivar ambos os lados da equação acima (lembre-se que equação é uma expressão matemática que possui uma igualdade).

$$f^{\prime }(x)=(u(x)\cdot v(x){)}^{\prime }$$

Para derivar um produto de funções utiliza-se a regra do produto (a demonstração da regra do produto está em um outro artigo, para quem estiver curioso).

$$(u(x)\cdot v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$$

Podemos integrar ambos os lados da igualdade.

$$\int (u(x)\cdot v(x){)}^{\prime }=\int [u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)]$$

Utilizando a propriedade da integral da soma, teremos:

$$\int (u(x)\cdot v(x){)}^{\prime }=\int u^{\prime }(x)\cdot v(x)+\int u(x)\cdot v^{\prime }(x)$$

Como a integral é o inverso da derivada, no lado esquerdo da equação ficará apenas o produto entre as funções $u(x)$ e $v(x)$.

$$u(x)\cdot v(x)=\int u^{\prime }(x)\cdot v(x)+\int u(x)\cdot v^{\prime }(x)$$

Agora passamos o termo $\int u^{\prime }(x)\cdot v(x)$ para o lado esquerdo da equação, subtraindo.

$$u(x)\cdot v(x)-\int u^{\prime }(x)\cdot v(x)=\int u(x)\cdot v^{\prime }(x)$$

$$\int u(x)\cdot v^{\prime }(x)=u(x)\cdot v(x)-\int u^{\prime }(x)\cdot v(x)$$

Para simplificar a notação, utilizarei $u$ e $v$ no lugar de $u(x)$ e $v(x)$ e ao invés de utilizar $u^{\prime }$ e $v^{\prime }$ utilizarei apenas $du$ e $dv$.

$$\int u\cdot dv=u\cdot v-\int du\cdot v$$

Reorganizando a expressão teremos por fim:

$$\int udv=u\cdot v-\int vdu$$

Mas afinal, como que essa expressão acima representa a integral entre o produto das funções $u(x)$ e $v(x)$? A integral é a primitiva da função que está no integrando, ou seja, calcular a integral de uma função $f(x)$ é achar uma função original, que ao ser derivada, resulta em $f(x)$, e chamamos essa primitiva de $F(x)$. Formalmente, de acordo com  a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), a primitiva de uma função $f(x)$ qualquer é a função tal que:

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

Levando em conta que $F(x)$ representa a integral da função $f(x)$, e que derivando $F(x)$ devemos obter necessariamente $f(x)$ (integrando), vamos pensar um pouco, inicialmente tínhamos uma função $f(x)=u(x)\cdot v(x)$, utilizando essa informação e o fato de que $\int f(x)dx=F(x)$ podemos escrever a seguinte expressão:

$$\int f(x)dx=F(x)$$

$$\int u(x).v(x)dx=F(x)$$

Utilizando o TFC, temos que:

$$F^{\prime }(x)=u(x).v(x)$$

Ou seja, se o resultado da equação:

$$\int udv=u\cdot v-\int vdu$$

É igual a $F(x)$, se derivarmos isso, devemos obrigatoriamente chegar no produto entre as função $u(x)$ e $v(x)$. Irei pegar o segundo exemplo resolvido nesse artigo para mostrar isso na prática.

$$\int x.e^{x}dx=x.e^x-e^x+C$$

A derivada de $x.e^x-e^x+C$ tem que resultar em $x.e^x$.

$$F(x)=x.e^x-e^x+C$$

$$F^{\prime }(x)=(x.e^x-e^x+C{)}^{\prime }$$

$$F^{\prime }(x)=(x.e^x{)}^{\prime }-(e^x{)}^{\prime }+C^{\prime }$$

$$F^{\prime }(x)=e^x+x.e^x-e^x+0$$

$$F^{\prime }(x)=x.e^x$$

Uma vez que $x.e^x$ é o integrando, temos  $x.e^x=f(x)$, que por sua vez resulta em:

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$