Além da derivada representar a taxa de variação instantânea de uma função, ela também é a inclinação da função em um determinado ponto (caso queira entender o porquê, confira nosso outro artigo sobre a derivada ser a inclinação da função). A partir disso, podemos achar duas retas auxiliares que podem ajudar na análise de uma função, e é sobre isso que falarei neste artigo.
O que é uma reta tangente?
Dizemos que uma reta é tangente a uma curva, quando ela toca essa curva em um único ponto, isso explica a expressão “tangenciar”, que é usada em contextos onde algo toca outra coisa de forma muito sutil, de forma leve, quase imperceptível. Quando trabalhamos com funções, podemos chamar a figura formada pelo gráfico da função de “curva de uma função” (fica a observação que na matemática, uma reta também é uma curva, achei importante mencionar, pois no dia a dia é comum associarmos a palavra “curva” com coisas arredondadas). Assim, quando queremos achar a reta tangente à curva da função em um ponto, significa que precisamos achar a equação da reta tangente que toca o gráfico da função nesse ponto específico.
Tomemos uma função $f(x)$ qualquer, a reta tangente a um ponto $P$ com coordenadas genéricas $x_0$ e $y_0$ pode ser representada graficamente da seguinte forma:
O que é uma reta normal?
Tanto na matemática quanto na física, quando falamos que algum elemento (reta, vetor, figura) é “normal” em relação a outra coisa, queremos dizer que ele é perpendicular a essa coisa, ou seja, forma uma ângulo de noventa graus (ângulo reto). Então, se eu digo que uma reta é normal a outra reta, significa que o ângulo formado entre elas é de $90°$ Extrapolando essa ideia, uma reta normal à curva de uma função em um determinado ponto, será a reta que forma $90°$ em relação à curva.
Um fato curioso e importante (guarde essa informação, pois a usarei posteriormente), é que a reta tangente em um ponto é perpendicular à reta normal nesse mesmo ponto.
Isso irá acontecer com todas as retas tangentes e normais para quaisquer pontos no gráfico da função.
Como calcular as equações das retas tangente e normal?
Resumidamente, a derivada de uma função em um determinado ponto é igual ao coeficiente angular da reta tangente a esse mesmo ponto, por sua vez, o coeficiente angular indica quão inclinada uma reta está, quanto maior for o valor dele, mais inclinada ela estará (simplificadamente, a inclinação da reta é o ângulo que ela faz com o eixo horizontal, então, quanto maior o coeficiente angular, maior o ângulo entre a reta tangente e o eixo $x$). A chamada equação da reta, que utilizamos para representá-la matematicamente, é dada pela seguinte expressão:
$$y=m(x-x_0)+y_0$$
Onde $m$ é o coeficiente angular, $x_0$ é um valor de $x$ qualquer que pertença a reta, e $y_0$ é o seu correspondente no eixo $y$. Portanto, se tivermos a derivada no ponto $x_0$, e tivermos $y_0$, conseguiremos achar a equação da reta tangente. Vamos resolver um exemplo para vermos isso na prática e para que fique mais claro o assunto.
Exemplo 1: Ache a equação da reta tangente à curva da função $f(x)=x^2+1$ no ponto $x=1$.
Primeiramente, precisamos entender o que a questão está pedindo, e para isso, vamos desenhar o gráfico da função quadrática que a questão nos deu (se não souber montar o gráfico, dá uma olhada no nosso artigo sobre função de $2^{\circ}$).
Para marcar o ponto $x=1$ no gráfico, precisamos encontrar a coordenada no eixo $f(x)$, para tal, basta calcularmos $f(1)$.
$$f(x)=x^2+1$$
$$f(1)=1^2+1=2$$
Portanto, o ponto ao qual a questão se refere é o ponto $(1,2)$, marquemos então ele no gráfico.
A questão está nos pedindo a equação da reta tangente a esse ponto, ou seja, quer a equação da reta que toca a função apenas nesse ponto $P(1,2)$.
Chamei a reta de $r$ apenas para identificarmos ela na hora de calcular sua equação. Sabendo que a equação da reta tangente tem a seguinte forma:
$$r:\;y=m(x-x_0)+y_0$$
O $m$ é o coeficiente angular, e como disse antes, podemos obtê-lo calculando a derivada da função $f(x)=x^2+1$ para $x=1$.
$$f’(x)=2x$$
$$f’(1)=2.1=2$$
Já temos $x_0$ e $y_0$, pois como a reta tangente toca (intersecta) a função no ponto $P(1,2)$, podemos dizer que o ponto pertence a reta, e como $x_0$ e $y_0$ são coordenadas de um ponto qualquer que pertença a reta, $x_0=1$ e $y_0=2$ (caso tenha dúvida na representação do par ordenado $P(1,2)$ e o que ele significa, tem um artigo só sobre esse assunto aqui no blog). Agora é só substituir os valores encontrados na equação genérica da reta $r$.
$$r:\;y=m(x-x_0)+y_0$$
$$r:\;y=2(x-1)+2$$
$$r:\;y=2\cdot x-2\cdot1+2$$
$$r:\;y=2x$$
Portanto, a equação da reta tangente à curva da função $f(x)=x^2+1$ para $x=1$ é $y=2x$.
Exemplo 2: Ache a equação da reta normal à curva da função $f(x)=e^x$ no ponto $x=0$.
Primeiramente, vamos desenhar o gráfico da função exponencial $f(x)=e^x$.
Para marcar o ponto no gráfico, precisamos calcular sua coordenada no eixo $f(x)$, para isso, calculemos $f(0)$.
$$f(x)=e^x$$
$$f(0)=e^0=1$$
O ponto que a questão se refere é $P(0,1)$, vamos marcá-lo no gráfico para nos orientarmos.
Queremos encontrar a equação da reta normal à curva nesse ponto, que representarei no gráfico (chamarei ela de reta $s$).
Mas afinal, como achamos a equação da reta normal? Utilizaremos de uma informação que disse anteriormente, que a reta normal é perpendicular à reta tangente, e por causa disso, o coeficiente de uma é o inverso oposto da outra.
Não entendeu nada do que eu disse, não é? Vamos passo a passo, se eu tenho um número $a$ qualquer, o inverso desse número é $1$ dividido por ele. Seguindo essa regra matemática, o inverso de $5$ é $\frac{1}{5}$, o inverso de $8$ é $\frac{1}{8}$, e assim por diante. E o oposto de um número $a$ qualquer, é esse mesmo número, com o sinal contrário, então o oposto de $2$ é $-2$, o oposto de $-4$ é $4$, e por aí vai. Então, se eu digo que um número $b$ é o oposto inverso de um outro número $a$, significa que:
$$b=-\frac{1}{a}$$
Chamando então o coeficiente angular da reta tangente de $m_r$, e o coeficiente angular da reta normal de $m_s$, já que elas são perpendiculares, o coeficiente da reta normal é o inverso oposto do coeficiente da reta tangente (se quiser entender de onde vem essa relação entre os coeficientes de retas perpendiculares, tem um artigo completinho no blog sobre isso).
$$m_s=-\frac{1}{m_r}$$
Sabendo que a equação da reta normal tem a seguinte forma:
$$s:\;y=m_s(x-x_0)+y_0$$
Podemos reescrever o coeficiente angular da reta normal ($m_s$) em função do coeficiente angular da reta tangente.
$$s:\;y=-\frac{1}{m_r}(x-x_0)+y_0$$
Isso irá nos ser útil, porque sabemos encontrar o coeficiente da reta tangente, ele é igual à derivada da função no ponto $x_0$ ($m_r=f’(x_0)$), e $x_0$ nesse exemplo é igual à $0$. A reta normal corta (intersecta) a função no ponto $P(0,1)$, então $x_0=0$ e $y_0=1$, nos resta apenas calcular $m_r$, e faremos isso ao calcular $f’(0)$.
$$f(x)=e^x$$
$$f’(x)=e^x$$
$$m_r=f’(0)=e^0=1$$
Substituindo na equação da reta $s$ teremos:
$$s:\;y=-\frac{1}{m_r}(x-x^0)+y_0$$
$$s:\;y=-\frac{1}{1}(x-0)+1$$
$$s:\;y=-1(x-0)+1$$
$$s:\;y=-x+0+1$$
$$s:\;y=-x+1$$
Por fim, encontramos a equação da reta normal à curva da função $f(x)=e^x$ para $x=0$. E se a questão tivesse nos pedido a equação da reta tangente? Já temos tudo o que precisamos para encontrá-la.
$$r:\;y=m_r(x-x_0)+y_0$$
$$r:\;y=1(x-0)+1$$
$$r:\;y=x-0+1$$
$$r:\;y=x+1$$
Para fechar com chave de ouro, que tal representarmos as duas retas no gráfico?
Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.
