Função: O que é, tipos e classificação

Aquela foi a forma mais didática que consegui descrever a função, para que ficasse fácil o entendimento, no entanto, ela deixa de fora algumas especificidades, então irei explicar o conceito formal de função, assim como ele foi concebido pelos matemáticos.

A função é uma regra que relaciona valores de dois conjuntos numéricos (podendo eles serem iguais ou diferentes). O conjunto de valores que o $x$ pode assumir é chamado de domínio, e o conjunto de possíveis valores que o $f(x)$ pode assumir é denominado contradomínio. Caso a questão não especifique os conjuntos, assume-se que tanto domínio, quanto contradomínio são o conjunto dos números, ou seja, qualquer valor que pertença a ele, será valor um valor que ambas as variáveis podem assumir.

Só que, dependendo da função, quando substituirmos determinados valores para a variável dependente, chegaremos a um problema chamado “indeterminação matemática”, que é uma situação sem solução, e os valores que ocasionaram esse problema não farão parte do domínio da função. As indeterminações mais comuns são quando chegamos em um número dividido por zero, uma raiz de índice par de um número negativo ou um logaritmo que possui o logaritmando que não respeite suas próprias condições de existência.

Exemplo 1:

Determine o domínio da função abaixo

$$f(x)=2x$$

Nesse tipo de questão, é importante nos atentarmos as possíveis situações que possam resultar em indeterminações, para então definirmos o que foi pedido. Bom, não temos uma fração, portanto, não há como substituirmos um valor para $x$ e resultar em uma divisão por zero, não há logaritmo e muito menos raiz, então, o domínio é o conjunto dos números reais. E o contradomínio? Não há restrições em relação ao contradomínio, então, assumimos que ele é o conjunto dos números reais. O jeito formal de descrever o domínio de uma função é:

$$D(f)=xϵ\mathbb{R}$$

Podemos ler essa sentença como “O domínio da função $f$ é definido por valores de $x$ pertencentes ao conjunto dos números reais”, e de forma abreviada: “Domínio de $f$, tal que $x$ pertence aos reais”.

Exemplo 2:

Determine o domínio e a imagem da função abaixo

$$f(x)=x^2$$

Não há nenhuma restrição em relação ao domínio, pois não há nada que possa causar uma indeterminação, porém, nos é pedida a imagem da função, que significa os valores de $f(x)$ para essa função em específico, em muitas ocasiões a imagem será igual ao contradomínio, mas precisamos ficar atentos, pois nem sempre será assim. Percebes que o $x$ (variável dependente), está sendo elevada ao quadrado? Uma característica importante de valores que são elevados ao quadrado, é que independentemente se ele é positivo ou negativo, ao ser elevado à $2$, o resultado será sempre positivo, vamos fazer alguns testes.

1)

$$f(x)=x^2$$

$$f(3)=3^2=9$$

2)

$$f(x)=x^2$$

$$f(-2)=x^2$$

$$f(-2)=(-2{)}^2=4$$

3)

$$f(x)=x^2$$

$$f(-\frac{1}{2})=(\frac{-1}{2}{)}^2=\frac{1}{4}$$

Ou seja, não importa se o valor que $x$ assume seja positivo ou negativo, o resultado (valor de $y$ ou $f(x)$, como preferir chamar) será positivo, portanto, o conjunto imagem será o conjunto dos números reais positivos, incluindo o zero.

$$D(f)=xϵ\mathbb{R}$$

$$Im(f)={\mathbb{R}}_{\mathbb{+}}$$

Exemplo 3:

Determine o domínio e a imagem da função abaixo

$$f(x)=\frac{2}{x-3}$$

Nesse caso, temos a variável no denominador, portanto, para algum valor de $x$, poderá ocorrer uma indeterminação. Como descobrimos o valor que o $x$ não deve assumir? Montamos uma inequação, onde teremos toda a expressão do denominador, diferente de zero, e então isolamos a variável

$$x-3\ne 0$$

$$x\ne 3$$

O $x$ mão pode assumir o valor $3$, portanto, dizemos que $3$ não está no domínio da função. Em relação a imagem, ela é todo o conjunto dos números reais com exceção do zero, pois o numerador é $2$ mesmo que façamos a divisão por qualquer outro número, o resultado nunca será zero.

$$D(f)=xϵ\mathbb{R}/x\ne 3$$

$$Im(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$$

Vamos conferir se realmente há indeterminação para o valor que encontramos

$$f(x)=\frac{2}{x-3}$$

$$f(3)=\frac{2}{3-3}$$

$$f(3)=\frac{2}{0}$$

Há duas considerações importantes a serem feitas, primeiro, a imagem não pode ser maior que o contradomínio, em outras palavras, o conjunto imagem deve conter a mesma quantidade ou menos elementos que o contradomínio. Segundo, mais de um valor de $x$ pode resultar em um único valor de $y$, no entanto, caso um valor de $x$ resulte em mais de um valor de $y$, a sentença matemática não será uma função. A visualização disso será melhor com os diagramas de flechas (uma representação muito usada para representar conjuntos) abaixo.