Relação entre os coeficientes angulares de retas perpendiculares

Olha só quem apareceu, um triângulo retângulo, formado entre os pontos $A$, $B$ e $C$. Existe uma relação trigonometria que diz:”O ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele”, isso significa, na situação acima, que o ângulo $\beta$ é igual à soma do ângulo $\alpha$ e o ângulo de ${90}^{\circ }$.

$$\beta =\alpha +{90}^{\circ }$$

Recapitulando, o objetivo desse desenvolvimento todo é provar matematicamente que o coeficiente angular de uma reta qualquer $s$, é o inverso oposto do coeficiente angular de uma outra reta qualquer $r$, ou seja, queremos chegar nessa relação:

$$m_s=-\frac{1}{m_r}$$

Só que sabemos que as tangentes dos ângulos formados entre essas retas e o eixo horizontal são iguais aos seus coeficientes angulares.

$$m_s=\tan (\beta )$$

$$m_r=\tan (\alpha )$$

Portanto, a relação entre os coeficientes podem ser reescritos da seguinte forma:

$$\tan (\beta )=-\frac{1}{\tan (\alpha )}$$

Então, se de alguma forma, conseguirmos escrever as tangentes dos ângulos como na equação acima, provaremos a relação entre os coeficientes angulares de retas perpendiculares. Voltando para o desenvolvimento, chegamos na seguinte equação: 

$$\beta =\alpha +{90}^{\circ }$$

Em uma equação, podemos fazer tudo, contanto que façamos em ambos os lados dela (para que a igualdade seja mantida), portanto, podemos calcular a tangente de ambos os lados da equação.

$$\tan (\beta )=\tan (\alpha +{90}^{\circ })$$

Como vimos anteriormente, a tangente de um ângulo é igual ao seno dividido pelo cosseno desse mesmo ângulo.

$$\tan (\beta )=\frac{\text{sen}(\alpha +{90}^{\circ })}{\cos (\alpha +{90}^{\circ })}$$

Para calcular o seno e o cosseno da soma de dois ângulos quaisquer, utilizamos as seguintes equações (futuramente terá um artigo demonstrando de onde surgem essas equações da soma entre dois ângulos) : 

$$\text{sen}(A+B)=\text{sen}(A)\cdot \cos (B)+\text{sen}(B)\cdot \cos (A)$$

$$\cos (A+B)=\cos (A)\cdot \cos (B)-\text{sen}(A)\cdot \text{sen}(B)$$

Utilizando essas equações para o nosso problema, teremos:

$$\tan (\beta )=\frac{\text{sen}(\alpha )\cdot \cos ({90}^{\circ })+\text{sen}({90}^{\circ })\cdot \cos (\alpha )}{\cos (\alpha )\cdot \cos ({90}^{\circ })-\text{sen}(\alpha )\cdot \text{sen}({90}^{\circ })}$$

O cosseno de ${90}^{\circ }$ é igual à $0$, e o seno de ${90}^{\circ }$ é igual à $1$.

$$\tan (\beta )=\frac{\text{sen}(\alpha )\cdot 0+1\cdot \cos (\alpha )}{\cos (\alpha )\cdot 0-\text{sen}(\alpha )\cdot 1}$$

$$\tan (\beta )=\frac{\cos (\alpha )}{-\text{sen}(\alpha )}=-\frac{\cos (\alpha )}{\text{sen}(\alpha )}$$

Se seno sobre cosseno é igual à tangente, o inverso disso, cosseno sobre seno, é igual ao inverso da tangente.

$$\tan (\beta )=-\frac{1}{\tan (\alpha )}$$

Já que as tangentes dos ângulos formados pelas retas $s$ e $r$ são iguais aos seus respectivos coeficientes angulares, chegamos em: 

$$m_s=-\frac{1}{m_r}$$