Irei tentar mostrar e explicar o porquê da derivada também ser chamada de “inclinação da função”. Para isso, preciso relembrar alguns conceitos de trigonometria e geometria. Tomemos um triângulo retângulo qualquer:
Desenhando um ângulo $\alpha$ em uma das pontas desse triângulo, podemos renomear os catetos como cateto oposto (que está do lado contrário ao ângulo $\alpha$) e cateto adjacente (que está do lado de $\alpha$).
A tangente desse ângulo, será igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente.
$$\tan(\alpha)=\frac{CO}{CA}$$
Mais precisamente, estaremos dividindo o comprimento dos catetos. Mas afinal, o que a tangente representa? Ao calcularmos essa divisão entre os catetos, o que o valor obtido nos diz? Vamos pegar três triângulos retângulos, com ângulos notáveis, e analisar o valor de suas tangentes, comparando o resultado com os próprios triângulos.
Na medida em que o ângulo aumenta, o valor da tangente também aumenta. Isso não é coincidência, pois ter uma abertura angular maior, significa que o cateto oposto aumentou ou o cateto adjacente diminuiu de tamanho (comprimento), e pela tangente ser a divisão entre ambos, quanto maior o resultado da divisão, maior será o ângulo entre os catetos, e quanto menor a tangente, menor a abertura. Uma vez entendida essa ideia, vamos olhar o gráfico de uma função de $1°$ grau.
Essa reta forma um ângulo (que chamarei de $\alpha$) em relação ao eixo $x$, e a esse ângulo, damos o nome: “inclinação da função”.
Quanto maior for o ângulo, maior a inclinação da reta, e quanto menor o ângulo, menor é sua inclinação. Olha que curioso, acabamos de ver um conceito da trigonometria, cujo resultado nos indica o quão aberto um ângulo está, e na função linear acima, o tamanho do ângulo dela em relação ao eixo horizontal, indica a inclinação dela, parecem a mesma coisa não é? Sim, a tangente desse ângulo é igual à inclinação da função, ou seja, calcular a tangente dele nos indicará quão inclinado o gráfico está. Vou além, uma reta possui uma equação que a define, chamada “equação da reta”, e ela tem a seguinte forma:
$$y=mx-n$$
O $n$ é o ponto de intersecção da reta com o eixo $y$ (onde a reta toca no eixo vertical) e o $m$ é o coeficiente angular, um valor que indica a inclinação da reta, ou seja, a tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo horizontal é exatamente esse coeficiente angular.
$$\tan(\alpha)=m$$
E podemos calcular o $m$ utilizando a seguinte equação:
$$m=\frac{y-y_0}{x-x_0}$$
Pegamos dois valores de $y$ que pertencem a essa reta, dividimos pelos valores de $x$ correspondentes e teremos assim o valor do coeficiente angular. Vamos ver na prática, marquemos dois pontos quaisquer na nossa função linear genérica.
Note que se ligarmos os pontos $P$ e $Q$ prolongando uma das retas tracejadas, teremos a figura de um triângulo retângulo.
Não está conseguindo visualizar? Irei demarcar com mais ênfase o triângulo na imagem.
Perceba que o ângulo formado no canto esquerdo do triângulo retângulo, é exatamente igual ao ângulo formado entre a reta e o eixo $x$.
Portanto, se calcularmos a tangente desse ângulo $\alpha$ do triângulo, teremos a inclinação (coeficiente angular) da função. Para os que não conseguiram ainda entender que o $m$ é igual à $\tan(\alpha)$, vamos chegar nessa relação agora, pois a tangente é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente, o cateto oposto será $y-y_0$, e o cateto adjacente será $x-x_0$.
$$\tan(\alpha)=\frac{CO}{CA}=\frac{y-y_0}{x-x_0}$$
Olha só quem apareceu naturalmente na expressão, o coeficiente angular.
$$\tan(\alpha)=m$$
Vale ressaltar, que inclinação e valor do ângulo são coisas diferentes, a inclinação é um parâmetro que nos informa indiretamente o tamanho do ângulo, já o valor do ângulo é o tamanho exato da abertura (suas unidades são graus e radianos). Outra coisa importante a ser mencionada, é que quando o coeficiente angular (inclinação) é positivo, a reta é crescente, e quando ele é negativo, a reta é decrescente (isso significa que o ângulo formado em relação à horizontal é $180^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$).
Vamos tentar extrapolar essa ideia para uma função qualquer, e para isso, utilizarei como exemplo uma função de segundo grau.
Temos acima o gráfico de uma função quadrática qualquer, agora eu te pergunto, como poderíamos calcular a inclinação dessa função? Concorda comigo que ela não possui uma inclinação única? Pois diferentemente de uma reta, que possui sempre a mesma inclinação, essa parábola começa crescendo, depois atinge um pico, e começa a decrescer. Então, o melhor que poderíamos fazer, é descobrir a inclinação dessa função em um único ponto. Expandindo nossa ideia de inclinação para um conceito mais preciso, a inclinação de uma função qualquer em um determinado ponto, diz respeito ao ângulo formado entre uma reta tangente a função nesse mesmo ponto.
Mas o que é uma reta tangente? De forma simplificada, é uma reta que toca o gráfico em um único ponto, mas faz isso de forma muito sutil. Escolhendo um ponto $P$ qualquer na função quadrática acima.
A reta tangente a esse ponto $P$ será uma reta $r$, que tangencia (toca de forma muito sutil, “raspa” a função) a função nesse ponto.
Descobrir o coeficiente angular dessa reta, nos dará a inclinação dessa função no ponto $P$. Essa informação parece inútil a um primeiro momento, mas levando em conta que isso será válido para toda e qualquer função, mesmo que não saibamos o seu gráfico, poderemos utilizar esse artifício para especular o comportamento de uma função, pois uma vez que a inclinação seja positiva, sabemos que o gráfico tenderá a crescer, e se for negativa, decrescer. Para a construção do raciocínio a seguir, peço que preste bastante atenção, pois pode ser um pouco abstrato e envolve várias letras, o que pode confundir algumas pessoas. Até então, para achar a inclinação, precisávamos de dois pontos pertencentes à reta, mas no caso da reta tangente, só há um ponto da função que pertence à ela. Portanto, precisamos procurar um método alternativo de calcular isso, primeiramente, vamos marcar outro ponto no nosso gráfico.
Podemos traçar uma reta que corta o gráfico nesses dois pontos (irei chamar essa reta de $s$), e a essa reta que corta o gráfico em dois ou mais pontos, damos o nome de reta secante.
Perceba que a reta secante possui inclinação diferente da reta tangente. Mas o que aconteceria se aproximássemos um pouco o ponto $Q$ do ponto $P$
A reta secante ficou com uma inclinação maior, se aproximando um pouco da inclinação da reta tangente. Vamos aproximar mais o $Q$ do $P$.
As retas estão praticamente sobrepostas na situação acima, o que nos leva a concluir que se o $Q$ ficar suficientemente próximo do $P$, podemos dizer que a inclinação da reta secante será praticamente igual à inclinação da reta tangente no ponto $P$. Temos então que:
$$m_s=\frac{y-y_0}{x-x_0}$$
Sendo $x$ a coordenada no eixo horizontal do ponto $Q$ e $x_0$ a coordenada do ponto $P$, se calcularmos o limite dessa divisão para $x$ tendendo à $x_0$, teremos o coeficiente angular da reta tangente.
$$m_r=m_s=\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{y-y_0}{x-x_0}$$
A expressão acima te lembra alguma coisa? Deixa eu reescrevê-la, chamando $x-x_0$ de $\Delta x$ e trocando $y$ pela notação $f(x)$.
$$m_r=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
Tanto essa expressão, quanto a anterior, representam a mesma coisa, o coeficiente angular da reta tangente à curva da função em um ponto é igual à derivada da função nesse mesmo ponto. Em outras palavras, a derivada nos dá a inclinação da função em um ponto.
Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.
