O triângulo é uma das formas geométricas mais conhecidas, trazendo consigo características únicas. Conhecer seus elementos e classificações nos ajudará muito em diversas situações.
O que é um triângulo?
É uma figura geométrica plana formada por três lados e três ângulos. É o polígono mais simples, pois possui o menor número de lados possível para formar uma figura fechada. Os triângulos são fundamentais na geometria e aparecem em várias áreas do conhecimento e aplicações práticas.
Elementos de um triângulo
O triângulo é formado por três elementos, os vértices, lados e ângulos.
Vértices:
Os pontos onde os lados do triângulo se encontram (ou seja, as pontas dele). Um triângulo possui três vértices, geralmente nomeados com letras maiúsculas.
Lados:
São as três semirretas que conectam os vértices. Comumente nomeados com letras minúsculas.
Ângulos:
As aberturas formadas entre os lados do triângulo, nomeados com a letra do vértice a qual eles pertencem, mas com um circunflexo em cima (ou letras gregas). Eles podem ser internos ou externos e em um triângulo, os lados se encontram em lados opostos aos ângulos.
O triângulo com todos os seus três elementos representados fica da seguinte forma:
E caso tenhas curiosidade em como seriam os ângulos externos, basta prolongarmos os lados e os ângulos externos serão justamente os ângulos suplementares que completarão os ângulos rasos.
Propriedades dos triângulos
Há algumas propriedades e relações essenciais que nos ajudam a resolver cálculos com triângulos.
Soma dos ângulos internos:
Se somarmos todos os ângulos internos de um triângulo teremos $180°$, e isso serve para todo e qualquer triângulo plano.
$$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$$
Soma dos ângulos externos:
A soma de todos os ângulos externos de um triângulo é $360°$, isso também é válido para todos os triângulos planos.
$$\hat{A}’+\hat{B}’+\hat{C}’=360°$$
Desigualdade triangular:
A soma dos comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo é sempre maior que o comprimento do terceiro lado.
$$a+b>c,\;a+c>b,\;b+c>a$$
Equilíbrio de ângulos e lados:
Triângulos congruentes possuem lados e ângulos correspondentes iguais.
Proporcionalidade entre lados e ângulos opostos:
O maior lado de um triângulo ficará sempre oposto ao maior ângulo, assim como o menor ângulo fica oposto ao menor lado.
Classificação de um triângulo
Podemos classificar um triângulo de acordo com dois dos seus elementos, seus lados ou ângulos.
Classificação em relação aos lados:
Há três tipos de triângulos de acordo com a congruência de seus lados (igualdade de comprimento entre eles).
Equilátero: Um triângulo é equilátero quando todos os seus lados são iguais e, consequentemente, todos os ângulos são iguais (cada um medindo $60$ graus).
Isósceles: Chamamos de isósceles os triângulos que possuem dois lados iguais e, portanto, dois ângulos iguais.
Escaleno: Escalenos são os triângulos que possuem todos os lados (consequentemente, todos os ângulos serão diferentes).
Classificação em relação aos ângulos:
Podemos nomear os triângulos de acordo com o valor de seus ângulos, sempre tomando como referência o famoso ângulo de noventa graus.
Acutângulo: Denominamos “acutângulo” um triângulo cujos ângulos internos são todos menores que $90$ graus.
A relação entre os ângulos de um triângulo acutângulo é dada por:
$$\alpha<90°,\;\beta<90°,\;\gamma<90°$$
Obtusângulo: Quando um triângulo possui um ângulo dos ângulos internos maior que $90$ graus ele é chamado de obtusângulo.
No triângulo acima, o ângulo maior que $90°$ é o $\gamma$ (que está em amarelo, em volta do vértice C).
Retângulo: Classificamos como triângulo retângulo os que possuem um ângulo interno igual à $90$ graus. Esse é um triângulo importantíssimo na trigonometria e na geometria como um todo, pois a partir dele conseguimos estudar conceitos como as razões trigonométricas e o teorema de Pitágoras.
No triângulo acima, o ângulo de $90$ é o $\gamma$ (que está em amarelo, em volta do vértice C). Uma informação importante sobre o triângulo retângulo é que seus lados possuem nomes específicos, o que fica oposto ao ângulo de $90°$ se chama hipotenusa e os demais são denominados catetos, como podemos ver na figura abaixo.
Área de um triângulo
Perdendo apenas para o quadrado e o retângulo na facilidade, calcular a área de um triângulo é uma tarefa simples, na maioria dos casos.
Área de um triângulo qualquer:
Pode calcular a área de um triângulo qualquer utilizando a equação abaixo:
$$A_T=\frac{b\times h}{2}$$
Onde $b$ é a base do triângulo e $h$ é a altura relativa à base (distância entre a base e o vértice oposto).
Área de um triângulo equilátero:
Para um triângulo equilátero, a área pode ser calculada pela fórmula:
$$A_{TE}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$$
Onde $l$ é o comprimento de um dos lados do triângulo.
Perímetro de um triângulo
Assim como qualquer figura geométrica, exceto a circunferência, para calcular o perímetro de um triângulo precisamos apenas somar o comprimento de todos os seus lados.
Condição para que um triângulo exista
Para que três segmentos de reta formem um triângulo, é necessário que satisfaçam a condição de existência conhecida como desigualdade triangular. Esta condição estabelece que a soma dos comprimentos de quaisquer dois lados deve ser sempre maior que o comprimento do terceiro lado. Por exemplo, se os lados do triângulo forem $a$, $b$ e $c$, então deve-se ter $a+b>c$, $a+c>b$ e $b+c>a$. Essa condição garante que os segmentos possam se conectar de maneira a formar uma figura fechada, sem que nenhum lado seja longo demais para se juntar aos outros dois. Sem atender a estas desigualdades, os segmentos não conseguiriam formar um triângulo, pois seriam colineares ou simplesmente não se encontrariam em um “fechamento geométrico” adequado.
Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.
