Juntamente com a tabela de derivadas, as três regras de derivação serão suas parceiras inseparáveis para resolver exercícios de derivadas.
O que são as regras de derivação?
De forma simples, são métodos para se derivar uma função quando não é possível utilizar a tabela de derivadas diretamente, e isso ocorre em três situações, quando há um produto entre duas ou mais funções, quando há divisão de funções e se a função for composta, para cada caso há um jeito adequado de derivar.
Regra do produto
Quando tivermos uma multiplicação entre duas funções, devemos utilizar a regra do produto, que consiste em derivarmos a primeira função, multiplicarmos pela segunda e somarmos com a primeira função vezes a derivada da segunda.
Exemplo:
Determine a derivada da função:
$$f(x)=x^3.cos(x)$$
Temos uma multiplicação entre a função $x^3$ e a função $cos(x)$, então, temos que aplicar a regra do produto. Primeiramente, indicamos quem iremos derivar
$$f(x)=x^3.cos(x)$$
$$f’(x)=(x^3)’.cos(x)+x^3.(cos(x))’$$
$$f’(x)=3x^2.cos(x)+x^3.(-sen(x))$$
$$f’(x)=3x^2.cos(x)-x^3.sen(x)$$
Na questão acima eu decidi que a função $x^3$ seria a “primeira função”, mas eu poderia ter escolhido o $cos(x)$, o resultado seria o mesmo, só alterando a ordem dos termos. De forma geral, a regra do produto pode ser expressa como:
$$f(x)=g(x).h(x)$$
$$f’(x)=g’(x).h(x)+g(x).h’(x)$$
Regra do quociente
Como a palavra “quociente” significa divisão, podemos concluir que essa regra se aplica quando temos a divisão entre funções, correto? Exatamente, quando temos funções se dividindo, devemos utilizá-la. Ela se assemelha muito com a regra anterior, mas com algumas diferenças, pois para aplicá-la derivamos a função que estiver no numerador (a que está sendo dividida), multiplicamos pela função do denominador (a função que divide) e subtraímos disso a primeira função (a do numerador), vezes a segunda, com tudo isso dividido pela segunda função ao quadrado, de início parece confuso eu sei, mas vamos para o exemplo para visualizarmos melhor.
Exemplo 1:
Determine a derivada da função:
$$y=\frac{e^x}{ln|x|}$$
A função $e^x$ está sendo dividida pela função $ln|x|$, então, devemos utilizar a regra do quociente, e para ajudar no processo e não se confundir, indiquemos quem iremos derivar
$$y=\frac{e^x}{ln|x|}$$
$$y’=\frac{(e^x)’.ln|x|-e^x.(ln|x|)’}{(ln|x|)^2}$$
$$y’=\frac{e^x.ln|x|-e^x\cdot\frac{1}{x}}{ln^2|x|}$$
$$y’=\frac{e^x.ln|x|-\frac{e^x}{x}}{ln^2|x|}$$
Um detalhe importante a ressaltar é que se tivermos uma constante dividida por uma função que tenha uma variável (letra), também poderemos aplicar a regra do quociente, só teremos que nos atentar ao fato de que a derivada de uma contante é zero.
Exemplo 2:
Determine a derivada da função:
$$y=\frac{1}{cos(x)}$$
Ao final desse exercício mostrarei uma coisa interessante, mas vamos para a resolução, temos uma divisão onde no denominador há uma função que possui a variável $x$, portanto, podemos utilizar a regra do quociente
$$y=\frac{1}{cos(x)}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1’.cos(x)-1.(cos(x))’}{(cos(x))^2}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{0.cos(x)-1.(-sen(x))}{cos^2(x)}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{sen(x)}{cos^2(x)}$$
A função está derivada, poderia parar por aqui, mas irei simplificar essa expressão ao máximo
$$\frac{dy}{dx}=\frac{sen(x)}{cos^2(x)}$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{sen(x)}{cos(x)}\cdot\frac{1}{cos(x)}$$
$$\frac{dy}{dx}=tan(x).sec(x)$$
Caso estejas familiarizado com a tabela de derivadas, deves ter percebido que essa é a derivada da secante, e se formos analisar a função que derivamos, foi justamente a secante, só que representada como o inverso do cosseno. De forma geral, a regra do quociente pode ser expressa como:
$$f(x)=g(x).h(x)$$
$$f’(x)=\frac{g’(x).h(x)-g(x).h’(x)}{h^2(x)}$$
Regra da cadeia
Essa é considerada por muitos a mais complicada das três regras, mas tentarei explicar de uma forma simples. Quando alguma função for diferente da tabela, teremos que usar a regra da cadeia, que consiste em você derivar a função normalmente, como se ela estivesse na tabela e multiplicar pela derivada do que estiver diferente da tabela e mostrarei a resolução de duas questões para ilustrar o que acabei de falar.
Exemplo 1:
Determine a derivada da função:
$$f(x)=sen(5x)$$
Na tabela, temos a derivada da função $sen(x)$, no entanto, no lugar de $x$ temos $5x$ na função acima, e é nesse tipo de situação que devemos utilizar a regra da cadeia. Iremos derivar o seno normalmente, como se fosse $sen(x)$ e multiplicar isso pela derivada de $5x$ que é justamente a parte que difere da tabela
$$f(x)=sen(5x)$$
$$f’(x)=(sen(5x))’.(5x)’$$
$$f’(x)=cos(5x).5$$
$$f’(x)=5cos(5x)$$
Exemplo 2:
Determine a derivada da função:
$$y=e^{sen(x)}$$
Novamente temos uma função que não está na tabela de derivadas, pois onde deveria haver uma variável independente, nesse caso o $x$, há $sen(x)$, então aplicaremos a regra da cadeia, derivando o exponencial normalmente e multiplicando pela derivada da função $sen(x)$
$$y=e^{sen(x)}$$
$$D_{x}y=\frac{d(e^{sen(x)})}{dx}\cdot\frac{d(sen(x))}{dx}$$
$$D_{x}y=e^{sen(x)}.cos(x)$$
De forma geral, a regra do quociente pode ser expressa como:
$$f(x)=g(h(x))$$
$$f’(x)=g’(h(x)).h’(x)$$
As funções que precisam da regra da cadeia para serem derivadas são as funções compostas.
Derivadas mistas
Uma derivada é chamada de mista quando precisamos utilizar mais de uma regra de derivação, podendo ser uma mistura de quaisquer das três.
Exemplo:
Determine a derivada da função:
$$y=ln|x^2.e^x|$$
Como a função acima não é igual a da tabela ($ln|x||), utilizaremos a regra da cadeia para derivar
$$y=ln|x^2.e^x|$$
$$\dot{y}=(ln|x^2.e^x|)’.(x^2.e^x)’$$
Antes de derivarmos, percebe que temos uma multiplicação entre as funções $x^2$ e $e^x$? Portanto, precisaremos utilizar a regra do produto para derivar isso
$$\dot{y}=(ln|x^2.e^x|)’.(x^2.e^x)’$$
$$\dot{y}=(ln|x^2.e^x|)’.((x^2)’.e^x+x^2.(e^x)’)$$
$$\dot{y}=\frac{1}{x^2.e^x}\cdot(2x.e^x+x^2.e^x)$$
$$\dot{y}=\frac{2x.e^x+x^2.e^x}{x^2.e^x}$$
Para finalizar, podemos simplificar a expressão colocando $xe^x$ em evidência
$$\dot{y}=\frac{2x.e^x+x^2.e^x}{x^2.e^x}$$
$$\dot{y}=\frac{xe^x(2+x)}{x.x.e^x}$$
$$\dot{y}=\frac{2+x}{x}$$
Exercícios resolvidos de regras de derivação
1. Derive a função abaixo
$$f(x)=ln|x|.x$$
Há uma multiplicação entre funções, então, a regra do produto deve ser utilizada para resolver a questão
$$f(x)=ln|x|.x$$
$$f’(x)=(ln|x|)’.x+ln|x|.x’$$
$$f’(x)=\frac{1}{x}\cdot x+ln|x|.1$$
$$f’(x)=\frac{x}{x}\cdot+ln|x|$$
$$f’(x)=1+ln|x|$$
Não é obrigatório sinalizar as derivações, podes derivar de forma direta, mas para não dificultar a visualização, identifiquei em todas as questões desse artigo.
2. Ache a derivada da função:
$$f(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$$
Cosseno sobre seno, isso tem cara de cotangente, nem precisaríamos resolver pela regra do quociente, podíamos transformar essa divisão em cotangente e utilizar a tabela, mas para fins didáticos, utilizarei a regra do quociente e mostrarei como chegar na derivada passo a passo.
$$f(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$$
$$f’(x)=\frac{(cos(x))’.sen(x)-cos(x).(sen(x))’}{(sen(x))^2}$$
$$f’(x)=\frac{-sen(x).sen(x)-cos(x).cos(x)}{sen^2(x)}$$
$$f’(x)=\frac{-sen^2(x)-cos^2(x)}{sen^2(x)}$$
A função já está derivada, mas para os curiosos de plantão irei simplificar ao máximo essa resposta
$$f’(x)=\frac{-sen^2(x)-cos^2(x)}{sen^2(x)}$$
$$f’(x)=\frac{-sen^2(x)}{sen^2(x)}-\frac{cos^2(x)}{sen^2(x)}$$
$$f’(x)=-1-cotg^2(x)$$
$$f’(x)=-1.(1+cotg^2(x))$$
$$f’(x)=-1.csc^2(x)$$
$$f’(x)=-csc^2(x)$$
Está aí a prova de que a derivada de cotangente é menos cossecante ao quadrado
3. Determine a derivada da função:
$$f(x)=(x^3-cos(x))^2$$
Na tabela de derivadas, temos a função $x^n$, mas na questão acima, no lugar de $x$, temos $x^3-cos(x)$, ou seja, precisaremos da nossa amiga regra da cadeia para derivar a função
$$f(x)=(x^3-cos(x))^2$$
$$f’(x)=((x^3-cos(x))^2)’.(x^3-cos(x))’$$
$$f’(x)=2(x^3-cos(x)).(3x^2-(-sen(x)))$$
$$f’(x)=2(x^3-cos(x)).(3x^2+sen(x)))$$
4. Calcule a derivada da função composta abaixo
$$f(x)=e^x.sen(\frac{ln|x|}{x})$$
Essa questão será um pouco trabalhosa, mas nada de outro mundo. Iniciamos utilizando a regra do produto, pois temos uma multiplicação entre funções
$$f(x)=e^x.sen(\frac{ln|x|}{x})$$
$$f(x)=(e^x)’.sen(\frac{ln|x|}{x})+e^x.(sen(\frac{ln|x|}{x}))’$$
Na tabela de derivadas temos $sen(x)$, não $sen(\frac{ln|x|}{x})$, então precisaremos utilizar a regra da cadeia ao derivar essa função
$$f(x)=(e^x)’.sen(\frac{ln|x|}{x})+e^x.(sen(\frac{ln|x|}{x}))’$$
$$f(x)=(e^x)’.sen(\frac{ln|x|}{x})+e^x.(sen(\frac{ln|x|}{x}))’.(\frac{ln|x|}{x})’$$
Ainda não acabou a identificação, pois temos que derivar uma divisão de funções, e é nessa situação que a regra do quociente aparece para nos ajudar
$$f(x)=(e^x)’.sen(\frac{ln|x|}{x})+e^x.(sen(\frac{ln|x|}{x}))’\cdot(\frac{ln|x|}{x})’$$
$$f(x)=(e^x)’.sen(\frac{ln|x|}{x})+e^x.(sen(\frac{ln|x|}{x}))’\cdot(\frac{(ln|x|)’.x-ln|x|.x’}{x^2})’$$
Uma vez identificado todas as derivadas que devemos realizar, nos resta somente derivar
$$f(x)=e^x.sen(\frac{ln|x|}{x})+e^x.cos(\frac{ln|x|}{x})\cdot\frac{\frac{1}{x}\cdot x-ln|x|.1}{x^2}$$
$$f(x)=e^x.sen(\frac{ln|x|}{x})+e^x.cos(\frac{ln|x|}{x})\cdot\frac{\frac{x}{x}-ln|x|}{x^2}$$
$$f(x)=e^x.sen(\frac{ln|x|}{x})+e^x.cos(\frac{ln|x|}{x})\cdot\frac{1-ln|x|}{x^2}$$
$$f(x)=e^x.sen(\frac{ln|x|}{x})+\frac{(e^x.cos(\frac{ln|x|}{x})).(1-ln|x|)}{x^2}$$
Toda e qualquer tipo de questão de derivadas de funções de uma variável pode ser resolvida com uma ou mais regras de derivação, mudando tão somente de uma questão para outra o quão trabalhoso será o cálculo e a dificuldade de identificar quem devemos derivar.
