Regras de derivação: Quais são e como usá-las

Derivadas
ExercíciosTeoria
04/10/2024
Daniel Duarte

Juntamente com a tabela de derivadas, as três regras de derivação serão suas parceiras inseparáveis para resolver exercícios de derivadas.

O que são as regras de derivação?

De forma simples, são métodos para se derivar uma função quando não é possível utilizar a tabela de derivadas diretamente, e isso ocorre em três situações, quando há um produto entre duas ou mais funções, quando há divisão de funções e se a função for composta, para cada caso há um jeito adequado de derivar.

Regra do produto

Quando tivermos uma multiplicação entre duas funções, devemos utilizar a regra do produto, que consiste em derivarmos a primeira função, multiplicarmos pela segunda e somarmos com a primeira função vezes a derivada da segunda.

Exemplo:

Determine a derivada da função:

$f (x) = x^{3} . c o s (x)$

Temos uma multiplicação entre a função $x^{3}$ e a função $c o s (x)$ , então, temos que aplicar a regra do produto. Primeiramente, indicamos quem iremos derivar

$f (x) = x^{3} . c o s (x)$

$f^{'} (x) = (x^{3})^{'} . c o s (x) + x^{3} . (c o s (x))^{'}$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} . c o s (x) + x^{3} . (- s e n (x))$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} . c o s (x) - x^{3} . s e n (x)$

Na questão acima eu decidi que a função $x^{3}$ seria a “primeira função”, mas eu poderia ter escolhido o $c o s (x)$ , o resultado seria o mesmo, só alterando a ordem dos termos. De forma geral, a regra do produto pode ser expressa como:

$f (x) = g (x) . h (x)$

$f^{'} (x) = g^{'} (x) . h (x) + g (x) . h^{'} (x)$

Regra do quociente

Como a palavra “quociente” significa divisão, podemos concluir que essa regra se aplica quando temos a divisão entre funções, correto? Exatamente, quando temos funções se dividindo, devemos utilizá-la. Ela se assemelha muito com a regra anterior, mas com algumas diferenças, pois para aplicá-la derivamos a função que estiver no numerador (a que está sendo dividida), multiplicamos pela função do denominador (a função que divide) e subtraímos disso a primeira função (a do numerador), vezes a segunda, com tudo isso dividido pela segunda função ao quadrado, de início parece confuso eu sei, mas vamos para o exemplo para visualizarmos melhor.

Exemplo 1:

Determine a derivada da função:

$y = \frac{e^{x}}{l n | x |}$

A função $e^{x}$ está sendo dividida pela função $l n | x |$ , então, devemos utilizar a regra do quociente, e para ajudar no processo e não se confundir, indiquemos quem iremos derivar

$y = \frac{e^{x}}{l n | x |}$

$y^{'} = \frac{(e^{x})^{'} . l n | x | - e^{x} . (l n | x |)^{'}}{(l n | x |)^{2}}$

$y^{'} = \frac{e^{x} . l n | x | - e^{x} \cdot \frac{1}{x}}{l n^{2} | x |}$

$y^{'} = \frac{e^{x} . l n | x | - \frac{e^{x}}{x}}{l n^{2} | x |}$

Um detalhe importante a ressaltar é que se tivermos uma constante dividida por uma função que tenha uma variável (letra), também poderemos aplicar a regra do quociente, só teremos que nos atentar ao fato de que a derivada de uma contante é zero.

Exemplo 2:

Determine a derivada da função:

$y = \frac{1}{c o s (x)}$

Ao final desse exercício mostrarei uma coisa interessante, mas vamos para a resolução, temos uma divisão onde no denominador há uma função que possui a variável $x$ , portanto, podemos utilizar a regra do quociente

$y = \frac{1}{c o s (x)}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{'} . c o s (x) - 1. (c o s (x))^{'}}{(c o s (x))^{2}}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{0. c o s (x) - 1. (- s e n (x))}{c o s^{2} (x)}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{s e n (x)}{c o s^{2} (x)}$

A função está derivada, poderia parar por aqui, mas irei simplificar essa expressão ao máximo

$\frac{d y}{d x} = \frac{s e n (x)}{c o s^{2} (x)}$ $\frac{d y}{d x} = \frac{s e n (x)}{c o s (x)} \cdot \frac{1}{c o s (x)}$

$\frac{d y}{d x} = t a n (x) . s e c (x)$

Caso estejas familiarizado com a tabela de derivadas, deves ter percebido que essa é a derivada da secante, e se formos analisar a função que derivamos, foi justamente a secante, só que representada como o inverso do cosseno. De forma geral, a regra do quociente pode ser expressa como:

$f (x) = g (x) . h (x)$

$f^{'} (x) = \frac{g^{'} (x) . h (x) - g (x) . h^{'} (x)}{h^{2} (x)}$

Regra da cadeia

Essa é considerada por muitos a mais complicada das três regras, mas tentarei explicar de uma forma simples. Quando alguma função for diferente da tabela, teremos que usar a regra da cadeia, que consiste em você derivar a função normalmente, como se ela estivesse na tabela e multiplicar pela derivada do que estiver diferente da tabela e mostrarei a resolução de duas questões para ilustrar o que acabei de falar.

Exemplo 1:

Determine a derivada da função:

$f (x) = s e n (5 x)$

Na tabela, temos a derivada da função $s e n (x)$ , no entanto, no lugar de $x$ temos $5 x$ na função acima, e é nesse tipo de situação que devemos utilizar a regra da cadeia. Iremos derivar o seno normalmente, como se fosse $s e n (x)$ e multiplicar isso pela derivada de $5 x$ que é justamente a parte que difere da tabela

$f (x) = s e n (5 x)$

$f^{'} (x) = (s e n (5 x))^{'} . (5 x)^{'}$

$f^{'} (x) = c o s (5 x) .5$

$f^{'} (x) = 5 c o s (5 x)$

Exemplo 2:

Determine a derivada da função:

$y = e^{s e n (x)}$

Novamente temos uma função que não está na tabela de derivadas, pois onde deveria haver uma variável independente, nesse caso o $x$ , há $s e n (x)$ , então aplicaremos a regra da cadeia, derivando o exponencial normalmente e multiplicando pela derivada da função $s e n (x)$

$y = e^{s e n (x)}$

$D_{x} y = \frac{d (e^{s e n (x)})}{d x} \cdot \frac{d (s e n (x))}{d x}$

$D_{x} y = e^{s e n (x)} . c o s (x)$

De forma geral, a regra do quociente pode ser expressa como:

$f (x) = g (h (x))$

$f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) . h^{'} (x)$

As funções que precisam da regra da cadeia para serem derivadas são as funções compostas.

Derivadas mistas

Uma derivada é chamada de mista quando precisamos utilizar mais de uma regra de derivação, podendo ser uma mistura de quaisquer das três.

Exemplo:

Determine a derivada da função:

$y = l n | x^{2} . e^{x} |$

Como a função acima não é igual a da tabela ($ln|x||), utilizaremos a regra da cadeia para derivar

$y = l n | x^{2} . e^{x} |$

$\dot{y} = (l n | x^{2} . e^{x} |)^{'} . (x^{2} . e^{x})^{'}$

Antes de derivarmos, percebe que temos uma multiplicação entre as funções $x^{2}$ e $e^{x}$ ? Portanto, precisaremos utilizar a regra do produto para derivar isso

$\dot{y} = (l n | x^{2} . e^{x} |)^{'} . (x^{2} . e^{x})^{'}$

$\dot{y} = (l n | x^{2} . e^{x} |)^{'} . ((x^{2})^{'} . e^{x} + x^{2} . (e^{x})^{'})$

$\dot{y} = \frac{1}{x^{2} . e^{x}} \cdot (2 x . e^{x} + x^{2} . e^{x})$

$\dot{y} = \frac{2 x . e^{x} + x^{2} . e^{x}}{x^{2} . e^{x}}$

Para finalizar, podemos simplificar a expressão colocando $x e^{x}$ em evidência

$\dot{y} = \frac{2 x . e^{x} + x^{2} . e^{x}}{x^{2} . e^{x}}$

$\dot{y} = \frac{x e^{x} (2 + x)}{x . x . e^{x}}$

$\dot{y} = \frac{2 + x}{x}$

Exercícios resolvidos de regras de derivação

1. Derive a função abaixo

$f (x) = l n | x | . x$

Há uma multiplicação entre funções, então, a regra do produto deve ser utilizada para resolver a questão

$f (x) = l n | x | . x$

$f^{'} (x) = (l n | x |)^{'} . x + l n | x | . x^{'}$

$f^{'} (x) = \frac{1}{x} \cdot x + l n | x | .1$

$f^{'} (x) = \frac{x}{x} \cdot + l n | x |$

$f^{'} (x) = 1 + l n | x |$

Não é obrigatório sinalizar as derivações, podes derivar de forma direta, mas para não dificultar a visualização, identifiquei em todas as questões desse artigo.

2. Ache a derivada da função:

$f (x) = \frac{c o s (x)}{s e n (x)}$

Cosseno sobre seno, isso tem cara de cotangente, nem precisaríamos resolver pela regra do quociente, podíamos transformar essa divisão em cotangente e utilizar a tabela, mas para fins didáticos, utilizarei a regra do quociente e mostrarei como chegar na derivada passo a passo.

$f (x) = \frac{c o s (x)}{s e n (x)}$

$f^{'} (x) = \frac{(c o s (x))^{'} . s e n (x) - c o s (x) . (s e n (x))^{'}}{(s e n (x))^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{- s e n (x) . s e n (x) - c o s (x) . c o s (x)}{s e n^{2} (x)}$

$f^{'} (x) = \frac{- s e n^{2} (x) - c o s^{2} (x)}{s e n^{2} (x)}$

A função já está derivada, mas para os curiosos de plantão irei simplificar ao máximo essa resposta

$f^{'} (x) = \frac{- s e n^{2} (x) - c o s^{2} (x)}{s e n^{2} (x)}$

$f^{'} (x) = \frac{- s e n^{2} (x)}{s e n^{2} (x)} - \frac{c o s^{2} (x)}{s e n^{2} (x)}$

$f^{'} (x) = - 1 - c o t g^{2} (x)$

$f^{'} (x) = - 1. (1 + c o t g^{2} (x))$

$f^{'} (x) = - 1. c s c^{2} (x)$

$f^{'} (x) = - c s c^{2} (x)$

Está aí a prova de que a derivada de cotangente é menos cossecante ao quadrado

3. Determine a derivada da função:

$f (x) = (x^{3} - c o s (x))^{2}$

Na tabela de derivadas, temos a função $x^{n}$ , mas na questão acima, no lugar de $x$ , temos $x^{3} - c o s (x)$ , ou seja, precisaremos da nossa amiga regra da cadeia para derivar a função

$f (x) = (x^{3} - c o s (x))^{2}$

$f^{'} (x) = ((x^{3} - c o s (x))^{2})^{'} . (x^{3} - c o s (x))^{'}$

$f^{'} (x) = 2 (x^{3} - c o s (x)) . (3 x^{2} - (- s e n (x)))$

$f^{'} (x) = 2 (x^{3} - c o s (x)) . (3 x^{2} + s e n (x)))$

4. Calcule a derivada da função composta abaixo

$f (x) = e^{x} . s e n (\frac{l n | x |}{x})$

Essa questão será um pouco trabalhosa, mas nada de outro mundo. Iniciamos utilizando a regra do produto, pois temos uma multiplicação entre funções

$f (x) = e^{x} . s e n (\frac{l n | x |}{x})$

$f (x) = (e^{x})^{'} . s e n (\frac{l n | x |}{x}) + e^{x} . (s e n (\frac{l n | x |}{x}))^{'}$

Na tabela de derivadas temos $s e n (x)$ , não $s e n (\frac{l n | x |}{x})$ , então precisaremos utilizar a regra da cadeia ao derivar essa função

$f (x) = (e^{x})^{'} . s e n (\frac{l n | x |}{x}) + e^{x} . (s e n (\frac{l n | x |}{x}))^{'}$

$f (x) = (e^{x})^{'} . s e n (\frac{l n | x |}{x}) + e^{x} . (s e n (\frac{l n | x |}{x}))^{'} . (\frac{l n | x |}{x})^{'}$

Ainda não acabou a identificação, pois temos que derivar uma divisão de funções, e é nessa situação que a regra do quociente aparece para nos ajudar

$f (x) = (e^{x})^{'} . s e n (\frac{l n | x |}{x}) + e^{x} . (s e n (\frac{l n | x |}{x}))^{'} \cdot (\frac{l n | x |}{x})^{'}$

$f (x) = (e^{x})^{'} . s e n (\frac{l n | x |}{x}) + e^{x} . (s e n (\frac{l n | x |}{x}))^{'} \cdot (\frac{(l n | x |)^{'} . x - l n | x | . x^{'}}{x^{2}})^{'}$

Uma vez identificado todas as derivadas que devemos realizar, nos resta somente derivar

$f (x) = e^{x} . s e n (\frac{l n | x |}{x}) + e^{x} . c o s (\frac{l n | x |}{x}) \cdot \frac{\frac{1}{x} \cdot x - l n | x | .1}{x^{2}}$

$f (x) = e^{x} . s e n (\frac{l n | x |}{x}) + e^{x} . c o s (\frac{l n | x |}{x}) \cdot \frac{\frac{x}{x} - l n | x |}{x^{2}}$

$f (x) = e^{x} . s e n (\frac{l n | x |}{x}) + e^{x} . c o s (\frac{l n | x |}{x}) \cdot \frac{1 - l n | x |}{x^{2}}$

$f (x) = e^{x} . s e n (\frac{l n | x |}{x}) + \frac{(e^{x} . c o s (\frac{l n | x |}{x})) . (1 - l n | x |)}{x^{2}}$

Toda e qualquer tipo de questão de derivadas de funções de uma variável pode ser resolvida com uma ou mais regras de derivação, mudando tão somente de uma questão para outra o quão trabalhoso será o cálculo e a dificuldade de identificar quem devemos derivar.

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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