Exercícios de Derivadas – Questões diretas

Derivadas
Exercícios
07/10/2024
Daniel Duarte

Caso tenha dúvidas em relação as resoluções, recomendo que leia os artigos de operações básicas, regra de sinais, expressões matemáticas, equações, funções e derivadas. Se quiseres questões contextualizadas sobre derivadas, futuramente haverá artigo aqui no blog.

Questão 1:

Derive a função abaixo:

$𝑓 (𝑥) = 𝑠 𝑒 𝑛 (𝑥) - 𝑥 3$

Resolução da questão 1:

$𝑓 (𝑥) = 𝑠 𝑒 𝑛 (𝑥) - 𝑥 3$

$𝑓' (𝑥) = (𝑠 𝑒 𝑛 (𝑥))' - (𝑥 3)'$

$𝑓' (𝑥) = 𝑐 𝑜 𝑠 (𝑥) - 3 𝑥 2$

Questão 2:

Derive a função abaixo:

$𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 3 - 𝑐 𝑜 𝑠 (𝑥) + 𝑙 𝑛 | 𝑥 |$

Resolução da questão 2:

$𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 3 - 𝑐 𝑜 𝑠 (𝑥) + 𝑙 𝑛 | 𝑥 |$

$𝑓' (𝑥) = (𝑥 3 3)' - (𝑐 𝑜 𝑠 (𝑥))' + (𝑙 𝑛 | 𝑥 |)'$

$𝑓' (𝑥) = 3 𝑥 2 3 - (- 𝑠 𝑒 𝑛 (𝑥)) + 1 𝑥$

$𝑓' (𝑥) = 𝑥 2 + 𝑠 𝑒 𝑛 (𝑥) + 1 𝑥$

Questão 3:

Determine a derivada da função abaixo:

$𝑦 = 𝑐 𝑜 𝑠 (𝑥) . (𝑥 + 4)$

Resolução da questão 3:

$𝑦 = 𝑐 𝑜 𝑠 (𝑥) . (𝑥 + 4)$

$𝑑 𝑦 𝑑 𝑥 = (𝑐 𝑜 𝑠 (𝑥))' . (𝑥 + 4) + 𝑐 𝑜 𝑠 (𝑥) . (𝑥 + 4)'$

$𝑑 𝑦 𝑑 𝑥 = - 𝑠 𝑒 𝑛 (𝑥) . (𝑥 + 4) + 𝑐 𝑜 𝑠 (𝑥) . 1$

$𝑑 𝑦 𝑑 𝑥 = - 𝑠 𝑒 𝑛 (𝑥) . (𝑥 + 4) + 𝑐 𝑜 𝑠 (𝑥)$

Questão 4:

Determine a derivada da função abaixo:

$𝑦 = 𝑙 𝑛 | 𝑥 | . 𝑒 𝑥$

Resolução da questão 4:

$𝑦 = 𝑙 𝑛 | 𝑥 | . 𝑒 𝑥$

$𝑑 𝑦 𝑑 𝑥 = (𝑙 𝑛 | 𝑥 |)' . 𝑒 𝑥 + 𝑙 𝑛 | 𝑥 | . (𝑒 𝑥)'$

$𝑑 𝑦 𝑑 𝑥 = 1 𝑥 . 𝑒 𝑥 + 𝑙 𝑛 | 𝑥 | . 𝑒 𝑥$

$𝑑 𝑦 𝑑 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑥 + 𝑙 𝑛 | 𝑥 | . 𝑒 𝑥$

Questão 5:

Ache a derivada da função:

$𝑔 (𝑦) = 𝑡 𝑎 𝑛 (𝑦) 2 𝑦 2$

Resolução da questão 5:

$𝑔 (𝑦) = 𝑡 𝑎 𝑛 (𝑦) 2 𝑦 2$

$˙ 𝑔 (𝑦) = (𝑡 𝑎 𝑛 (𝑦))' . 2 𝑦 2 - 𝑡 𝑎 𝑛 (𝑦) . (2 𝑦 2)' (2 𝑦 2) 2$

$˙ 𝑔 (𝑦) = 𝑠 𝑒 𝑐 2 (𝑦) . 2 𝑦 2 - 𝑡 𝑎 𝑛 (𝑦) . 4 𝑦 2 𝑦 4$

$˙ 𝑔 (𝑦) = 2 𝑦 (𝑠 𝑒 𝑐 2 (𝑦) . 𝑦 - 𝑡 𝑎 𝑛 (𝑦) . 2) 2 𝑦 . 𝑦 3$

$˙ 𝑔 (𝑦) = 𝑠 𝑒 𝑐 2 (𝑦) . 𝑦 - 2 𝑡 𝑎 𝑛 (𝑦) 𝑦 3$

Questão 6:

Ache a derivada da função:

$𝑔 (𝑦) = 𝑒 𝑦 - 𝑠 𝑒 𝑛 (𝑦) 𝑙 𝑛 | 𝑦 |$

Resolução da questão 6:

$𝑔 (𝑦) = 𝑒 𝑦 - 𝑠 𝑒 𝑛 (𝑦) 𝑙 𝑛 | 𝑦 |$

$˙ 𝑔 (𝑦) = (𝑒 𝑦 - 𝑠 𝑒 𝑛 (𝑦))' . 𝑙 𝑛 | 𝑦 | - (𝑒 𝑦 - 𝑠 𝑒 𝑛 (𝑥)) . (𝑙 𝑛 | 𝑦 |)' (𝑙 𝑛 | 𝑦 |) 2$

$˙ 𝑔 (𝑦) = 𝑒 𝑦 - 𝑐 𝑜 𝑠 (𝑦) . 𝑙 𝑛 | 𝑦 | - (𝑒 𝑦 - 𝑠 𝑒 𝑛 (𝑥)) \cdot 1 𝑦 𝑙 𝑛 2 | 𝑦 |$

$˙ 𝑔 (𝑦) = 𝑒 𝑦 - 𝑐 𝑜 𝑠 (𝑦) . 𝑙 𝑛 | 𝑦 | - (𝑒 𝑦 - 𝑠 𝑒 𝑛 (𝑦)) 𝑦 𝑙 𝑛 2 | 𝑦 |$

Questão 7:

Calcule a taxa de variação da função:

$𝑓 (𝑥) = 𝑙 𝑛 | 3 𝑥 - 2 |$

Resolução da questão 7:

$𝑓 (𝑥) = 𝑙 𝑛 | 3 𝑥 - 2 |$

$𝐷 𝑥 𝑓 = (𝑙 𝑛 | 3 𝑥 - 2 |)' . (3 𝑥 - 2)'$

$𝐷 𝑥 𝑓 = 1 3 𝑥 - 2 \cdot 3$

$𝐷 𝑥 𝑓 = 3 3 𝑥 - 2$

Questão 8:

Calcule a taxa de variação da função:

$𝑓 (𝑥) = (𝑥 4 - 8) 3$

Resolução da questão 8:

$𝑓 (𝑥) = (𝑥 4 - 8) 3$

$𝐷 𝑥 𝑓 = ((𝑥 4 - 8) 3)' . (𝑥 4 - 8)'$

$𝐷 𝑥 𝑓 = 3 (𝑥 4 - 8) 2 . 4 𝑥 3$

$𝐷 𝑥 𝑓 = 12 𝑥 3 (𝑥 4 - 8) 2$

Questão 9:

Encontre a inclinação da função abaixo:

$𝑦 (𝑧) = 𝑐 𝑜 𝑠 (6 𝑧 . 𝑒 𝑧)$

Resolução da questão 9:

$𝑦 (𝑧) = 𝑐 𝑜 𝑠 (6 𝑧 . 𝑒 𝑧)$

$𝑦' (𝑧) = (𝑐 𝑜 𝑠 (6 𝑧 . 𝑒 𝑧))' . (6 𝑧 . 𝑒 𝑧)'$

$𝑦' (𝑧) = (𝑐 𝑜 𝑠 (6 𝑧 . 𝑒 𝑧))' . ((6 𝑧)' . 𝑒 𝑧 + 6 𝑧 . (𝑒 𝑧)')$

$𝑦' (𝑧) = - 𝑠 𝑒 𝑛 (6 𝑧 . 𝑒 𝑧) . (6 𝑒 𝑧 + 6 𝑧 𝑒 𝑧)$

$𝑦' (𝑧) = - 𝑠 𝑒 𝑛 (6 𝑧 . 𝑒 𝑧) . 6 𝑒 𝑧 (1 + 𝑧)$

Questão 10:

Encontre a inclinação da função abaixo:

$𝑦 (𝑧) = 𝑧 3 . 𝑙 𝑛 | 𝑧 | 𝑒 2 𝑧$

Resolução da questão 10:

$𝑦 (𝑧) = 𝑧 3 . 𝑙 𝑛 | 𝑧 | 𝑒 2 𝑧$

$𝑦' (𝑧) = (𝑧 3 . 𝑙 𝑛 | 𝑧 |)' . 𝑒 2 𝑧 - 𝑧 3 . 𝑙 𝑛 | 𝑧 | . (𝑒 2 𝑧)' (𝑒 2 𝑧) 2$

$𝑦' (𝑧) = ((𝑧 3)' . 𝑙 𝑛 | 𝑧 | + 𝑧 3 . (𝑙 𝑛 | 𝑧 |)') . 𝑒 2 𝑧 - 𝑧 3 . 𝑙 𝑛 | 𝑧 | . (𝑒 2 𝑧)' . (2 𝑧)' (𝑒 2 𝑧) 2$

$𝑦' (𝑧) = (3 𝑧 2 . 𝑙 𝑛 | 𝑧 | + 𝑧 3 \cdot 1 𝑧) . 𝑒 2 𝑧 - 𝑧 3 . 𝑙 𝑛 | 𝑧 | . 𝑒 2 𝑧 . 2 𝑒 4 𝑧$

$𝑦' (𝑧) = (3 𝑧 2 𝑙 𝑛 | 𝑧 | + 𝑧 3 𝑧) 𝑒 2 𝑧 - 2 𝑧 3 𝑙 𝑛 | 𝑧 | 𝑒 2 𝑧 𝑒 2 𝑧 . 𝑒 2 𝑧$

$𝑦' (𝑧) = 3 𝑧 2 𝑙 𝑛 | 𝑧 | + 𝑧 2 - 2 𝑧 3 𝑙 𝑛 | 𝑧 | 𝑒 2 𝑧$

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN.

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