Por ser um assunto específico, é negligenciado por muitos, no entanto, caso precise derivar de forma implícita sentirás falta da explicação e das dicas que serão dadas ao longo do artigo.
Função explícita e implícita
Precisamos entender dois conceitos que serão de grande ajuda no entendimento da derivada implícita. Uma função qualquer pode ser representada de duas maneiras, na forma explícita ou na forma implícita. A explícita é como normalmente vemos funções nos livros, exercícios e exemplos durante todo o ensino médio e em questões de derivadas de uma variável, temos a variável dependente, geralmente chamada de $y$ ou $f(x)$, sozinha de um lado da igualdade e do outro lado ficam todos os termos que possuem a variável independente ($x$, por exemplo).
Exemplos de funções explícitas:
1) $y=x^2-x+2$
2) $y=sen(x)+ln|x|$
3) $f(x)=\frac{1}{x^3}$
Já a forma implícita de uma função é quando temos a variável dependente acompanhada de pelo menos outro termo, ou seja, ela não está sozinha do seu lado da igualdade.
Exemplos de funções implícitas:
1) $y+2=x^3-10$
2) $y+x^2=0$
3) $y-sen(4x)=3x+y^2$
É possível transformar uma função implícita em explícita? Sim, basta isolarmos a variável dependente ($y$), no entanto, haverá situações que não será possível fazer isso.
O que é derivada implícita?
A derivada implícita é um método de se derivar funções implícitas, principalmente as que não podem ser transformadas para a forma explícita.
Como derivar implicitamente?
Para derivarmos de forma implícita, utilizaremos as mesmas propriedades e regras de derivação que normalmente usaríamos em uma função explícita, com a diferença que quando derivarmos um termo que possuir a variável $y$, multiplicaremos ele por $y’$ e depois isolaremos esse $y’$ de um dos lados da equação para finalizar a derivação.
Exemplo 1:
Derive a função abaixo:
$$y-x^3=2$$
Temos uma função implícita, pois a variável dependente $y$ não está isolada, então podemos utilizar a derivação implícita nela. Iremos derivar $y$ normalmente, como se fosse $x$, só que multiplicaremos isso por $y’$ (lembrando que ao derivar essa função, precisamos derivar ambos os lados da igualdade, ou seja, todos os termos da expressão matemática)
$$y-x^3=2$$
$$1.y’-3x^2=0$$
$$y’-3x^2=0$$
Para finalizar, precisamos deixar o $y’$ isolado em um dos lados da equação
$$y’-3x^2=0$$
$$y’=3x^2$$
Percebeu que eu falei “podemos utilizar a derivação implícita” ao invés de “devemos utilizar…”? Verbalizei dessa forma, pois essa função poderia ser deixada na forma explícita, sendo desnecessário aplicar esse método, bastava isolarmos a variável dependente e derivar normalmente:
$$y-x^3=2$$
$$y=2+x^3$$
$$y’=0+3x^2$$
$$y’=3x^2$$
Só que na maioria dos casos, é muito complicado isolar o $y$, sendo bem mais fácil e prático derivar implicitamente.
Exemplo 2:
Derive a função abaixo:
$$sen(x)+y^2=4$$
Iremos derivar os termos normalmente, com a observação de que ao derivarmos $y^2$ o multiplicaremos por $y’$
$$sen(x)+y^2=4$$
$$cos(x)+2yy’=0$$
Agora nos resta apenas isolar o $y’$
$$cos(x)+2yy’=0$$
$$2yy’=-cos(x)$$
$$y’=-\frac{cos(x)}{2y}$$
A parte mais difícil do processo é isolar o $y’$, pois envolve o conhecimento de matemática básica, como o domínio das operações básicas e da fatoração.
Exemplo 3:
Derive a função abaixo:
$$y^3e^x=ln|y|$$
Temos uma multiplicação nessa função entre, o que fazer? Aplicamos a regra do produto, só não podemos esquecer de multiplicar por $y’$ a derivada de $y^3$
$$y^3e^x=ln|y|$$
$$3y^2y’e^x+y^3e^x=\frac{1}{y}\cdot y’$$
$$3y^2y’e^x+y^3e^x=\frac{y’}{y}$$
Por fim, isolamos o $y’$
$$3y^2y’e^x+y^3e^x=\frac{y’}{y}$$
$$3y^3y’e^x+y^4e^x=y’$$
$$3y^3y’e^x-y’=-y^4e^x$$
$$y’(3y^3e^x-1)=-y^4e^x$$
$$y’=-\frac{y^4e^x}{3y^3e^x-1}$$
Exercícios resolvidos de derivadas implícitas
1. Derive de forma implícita a função abaixo:
$$y^2+e^x=x-7$$
Sem segredo, derivamos ambos os lados da equação, acrescentando o $y’$ multiplicando a derivada de $y^2$ e depois o isolamos
$$y^2+e^x=x-7$$
$$2yy’+e^x=1-0$$
$$2yy’+e^x=1$$
$$2yy’=1-e^x$$
$$y’=\frac{1-e^x}{2y}$$
2. Determine a derivada da função:
$$2^y-e^x=sen(y)$$
Derivamos implicitamente o $2^y$ e o $sen(x)$ e então isolamos o $y’$
$$2^y-e^x=sen(y)$$
$$2^yln2y’-e^x=cos(y)y’$$
$$2^yln2y’-cos(y)y’=e^x$$
$$y'(2^yln2-cos(y))=e^x$$
$$y’=\frac{e^x}{2^yln2-cos(y)}$$
3. Calcule a derivada da função:
$$sen(yx^2)+cos(x)=2y^4$$
Teremos que usar a regra da cadeia e regra do produto para derivar o seno, por causa disso teremos que multiplicar duas vezes por $y’$? Não, multiplicaremos toda a derivada desse termo, independentemente do quão grande for ou quantas regras precisarem ser utilizadas, por um único $y’$
$$sen(yx^2)+cos(x)=2y^4$$
$$cos(yx^2)(y’x^2+y2x)-sen(x)=8y^3y’$$
$$cos(yx^2)y’x^2+cos(yx^2)y2x-sen(x)=8y^3y’$$
$$cos(yx^2)y’x^2-8y^3y’=-cos(yx^2)y2x+sen(x)$$
$$y’(cos(yx^2)x^2-8y^3)=-cos(yx^2)y2x+sen(x)$$
$$y’=\frac{-cos(yx^2)y2x+sen(x)}{cos(yx^2)x^2-8y^3}$$
