Exercícios de Derivadas implícitas – Questões diretas

Derivadas
Exercícios
10/10/2024
Daniel Duarte

Caso tenha dúvidas em relação as resoluções, recomendo que leia os artigos de operações básicas, fatoração, expressões matemáticas, funções e derivadas.

Questão 1:

Derive a função:

$3 x^{2} - y^{3} = 10$

Resolução da questão 1:

$3 x^{2} - y^{3} = 10$

$6 x - 3 y^{2} y^{'} = 0$

$- 3 y^{2} y^{'} = - 6 x$

$y^{'} = \frac{- 6 x}{- 3 y^{2}}$

$y^{'} = \frac{2 x}{y^{2}}$

Questão 2:

Derive a função:

$10 - 4 x^{2} = s e n (y)$

Resolução da questão 2:

$10 - 4 x^{2} = s e n (y)$

$0 - 8 x = c o s (y) y^{'}$

$y^{'} c o s (y) = - 8 x$

$y^{'} = - \frac{8 x}{c o s (y)}$

Questão 3:

Determine a derivada da função implícita abaixo:

$e^{y} + c o s (x) = y^{2}$

Resolução da questão 3:

$e^{y} + c o s (x) = y^{2}$

$e^{y} y^{'} - s e n (x) = 2 y y^{'}$

$e^{y} y^{'} - 2 y y^{'} = s e n (x)$

$y^{'} (e^{y} - 2 y) = s e n (x)$

$y^{'} = \frac{s e n (x)}{e^{y} - 2 y}$

Questão 4:

Determine a derivada da função implícita abaixo:

$s e n (y) + x^{4} = e^{y} - l n | x |$

Resolução da questão 4:

$s e n (y) + x^{4} = e^{y} - l n | x |$

$c o s (y) y^{'} + 4 x^{3} = e^{y} y^{'} - \frac{1}{x}$

$c o s (y) y^{'} - e^{y} y^{'} = - \frac{1}{x} - 4 x^{3}$

$y^{'} (c o s (y) - e^{y}) = - \frac{1}{x} - 4 x^{3}$

$y^{'} = \frac{- \frac{1}{x} - 4 x^{3}}{c o s (y) - e^{y}}$

Questão 5:

Ache a derivada da função:

$e^{x} y^{2} = 0$

Resolução da questão 5:

$e^{x} y^{2} = 0$

$e^{x} y^{2} + e^{x} 2 y y^{'} = 0$

$e^{x} 2 y y^{'} = - e^{x} y^{2}$

$y^{'} = - \frac{e^{x} y^{2}}{e^{x} 2 y}$

$y^{'} = - \frac{y}{2}$

Questão 6:

Ache a derivada da função:

$x^{5} c o s (y) + 3 y^{6} = x^{2}$

Resolução da questão 6:

$x^{5} c o s (y) + 3 y^{6} = x^{2}$

$5 x^{4} c o s (y) - x^{5} s e n (y) y^{'} + 18 y^{5} y^{'} = 2 x$

$- x^{5} s e n (y) y^{'} + 18 y^{5} y^{'} = 2 x - 5 x^{4} c o s (y)$

$y^{'} (- x^{5} s e n (y) + 18 y^{5}) = 2 x - 5 x^{4} c o s (y)$

$y^{'} = \frac{2 x - 5 x^{4} c o s (y)}{- x^{5} s e n (y) + 18 y^{5}}$

Questão 7:

Calcule a taxa de variação da função:

$l n | 3 y | - e^{y} = t a n (x)$

Resolução da questão 7:

$l n | 3 y | - e^{y} = t a n (x)$

$\frac{1}{3 y} 3 y^{'} - e^{y} y^{'} = s e c^{2} (x)$

$\frac{3 y^{'}}{3 y} - e^{y} y^{'} = s e c^{2} (x)$

$\frac{y^{'}}{y} - e^{y} y^{'} = s e c^{2} (x)$

$y^{'} (\frac{1}{y} - e^{y}) = s e c^{2} (x)$

$y^{'} = \frac{s e c^{2} (x)}{\frac{1}{y} - e^{y}}$

Questão 8:

Calcule a taxa de variação da função:

$e^{y^{2}} 2 x^{3} = l n | y | - 4$

Resolução da questão 8:

$e^{y^{2}} 2 x^{3} = l n | y | - 4$

$e^{y^{2}} 2 y y^{'} 2 x^{3} + e^{y^{2}} 6 x^{2} = \frac{1}{y} y^{'} - 0$

$e^{y^{2}} 4 y y^{'} x^{3} + e^{y^{2}} 6 x^{2} = \frac{1}{y} y^{'}$

$e^{y^{2}} 4 y y^{'} x^{3} - \frac{1}{y} y^{'} = - e^{y^{2}} 6 x^{2}$

$y^{'} (e^{y^{2}} 4 y x^{3} - \frac{1}{y}) = - e^{y^{2}} 6 x^{2}$

$y^{'} = \frac{- e^{y^{2}} 6 x^{2}}{e^{y^{2}} 4 y x^{3} - \frac{1}{y}}$

Questão 9:

Encontre a inclinação da função abaixo:

$s e n (x^{2} + y^{2}) = c o s (4 y) + x$

Resolução da questão 9:

$s e n (x^{2} + y^{2}) = c o s (4 y) + x$

$c o s (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y^{'}) = - s e n (4 y) 4 y^{'} + 1$

$c o s (x^{2} + y^{2}) 2 x + c o s (x^{2} + y^{2}) 2 y y^{'} = - s e n (4 y) 4 y^{'} + 1$

$c o s (x^{2} + y^{2}) 2 y y^{'} + s e n (4 y) 4 y^{'} = 1 - c o s (x^{2} + y^{2}) 2 x$

$y^{'} (c o s (x^{2} + y^{2}) 2 y + s e n (4 y) 4) = 1 - c o s (x^{2} + y^{2}) 2 x$

$y^{'} = \frac{1 - c o s (x^{2} + y^{2}) 2 x}{c o s (x^{2} + y^{2}) 2 y + s e n (4 y) 4}$

Questão 10:

Encontre a inclinação da função abaixo:

$e^{x^{3} y^{5}} = l n | y | c o s (x)$

Resolução da questão 10:

$e^{x^{3} y^{5}} = l n | y | c o s (x)$

$e^{x^{3} y^{5}} (3 x^{2} y^{5} + x^{3} 5 y^{4} y^{'}) = \frac{1}{y} \cdot y^{'} \cdot c o s (x) - l n | y | s e n (x)$

$e^{x^{3} y^{5}} (3 x^{2} y^{5} + x^{3} 5 y^{4} y^{'}) = \frac{c o s (x)}{y} \cdot y^{'} - l n | y | s e n (x)$

$e^{x^{3} y^{5}} 3 x^{2} y^{5} + e^{x^{3} y^{5}} x^{3} 5 y^{4} y^{'} = \frac{c o s (x)}{y} \cdot y^{'} - l n | y | s e n (x)$

$e^{x^{3} y^{5}} x^{3} 5 y^{4} y^{'} - \frac{c o s (x)}{y} \cdot y^{'} = - l n | y | s e n (x) - e^{x^{3} y^{5}} 3 x^{2} y^{5}$

$y^{'} (e^{x^{3} y^{5}} x^{3} 5 y^{4} - \frac{c o s (x)}{y}) = - l n | y | s e n (x) - e^{x^{3} y^{5}} 3 x^{2} y^{5}$

$y^{'} = \frac{- l n | y | s e n (x) - e^{x^{3} y^{5}} 3 x^{2} y^{5}}{e^{x^{3} y^{5}} x^{3} 5 y^{4} - \frac{c o s (x)}{y}}$

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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