Teorema de Pitágoras: O que é, aplicação e exercícios

Pode-se dizer que o Teorema de Pitágoras é um dos conceitos matemáticos mais famosos e utilizados da história. Caso não tenhas aprendido ainda, venha tirar suas dúvidas com esse artigo completinho sobre esse teorema muito útil.

O que é o Teorema de Pitágoras?

É um dos conceitos fundamentais da geometria, ele relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo. O teorema diz que “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”, em outras palavras, o comprimento do lado oposto ao ângulo de 90° ao quadrado (hipotenusa) é igual à soma dos comprimentos dos demais lados (catetos), elevados ao quadrado. A equação clássica que representa esse teorema é:

c2=a2+b2,

Onde c é a hipotenusa, e a e b são os catetos.

Este teorema é essencial para calcular distâncias e resolver problemas geométricos.

Como usar o Teorema de Pitágoras?

Para usá-lo precisamos de um triângulo retângulo, e para identificar um, precisamos olhar para o símbolo que representa um de seus ângulos, se houver um quadrado em um dos cantos, significa que é um ângulo reto (de 90°), portanto, o triângulo em questão é retângulo.

Geralmente utilizamos o teorema de Pitágoras para descobrir o comprimento de um dos lados de um triângulo retângulo, uma vez que conhecemos o comprimento dos outros dois, então nos resta aplicar a equação e isolar o lado que queremos descobrir o comprimento.

Exemplo: Calcule o perímetro do triângulo abaixo

Para calcular o perímetro de uma figura geométrica, somamos todos os comprimentos dos seus lados. Primeiramente, identificaremos quem precisamos calcular. Como o lado c está oposto ao ângulo reto, teremos que achar o comprimento da hipotenusa, nos restando a aplicação direta da equação

c2=a2+b2

c2=82+62

c2=64+36

c2=100

c=100

c=10

Apesar de estarmos resolvendo uma equação, só consideramos a solução positiva dessa raiz quadrada, pois não existe medida de comprimento negativa. Para finalizar a questão, somamos os comprimentos e achamos o perímetro pedido

P=a+b+c

P=8+6+10

P=24

O que é o Triângulo Pitagórico?

Esse é o nome dado a um triângulo retângulo cujos lados possuem comprimentos iguais a números inteiros. Os conjuntos de números que formam tais triângulos são chamados de triplas pitagóricas. O exemplo mais famoso é o triângulo 3, 4, 5, quando você identificar que um triângulo possui dois lados que são múltiplos desses valores, basta descobrir qual o fator de proporcionalidade e com isso você poderá achar facilmente o valor do terceiro lado.

No exercício anterior, tínhamos um triângulo pitagórico, os catetos eram múltiplos de 3 e 4, e o fator de proporcionalidade era 2, portanto, a hipotenusa dele seria 5 vezes esse fator, que resulta em 10, como encontramos através do Teorema de Pitágoras.

Relação entre o Teorema de Pitágoras e os Números Irracionais

O Teorema de Pitágoras foi crucial para o desenvolvimento dos números irracionais. Ao calcular a hipotenusa usando a2+b2=c2, muitas vezes o resultado não é um número inteiro nem uma fração, mas um número irracional. Um exemplo clássico é a hipotenusa de um triângulo com lados 1 e 1, cujo comprimento é 2, um número irracional.

Demonstração do Teorema de Pitágoras: Método visual

Para os entusiastas da matemática, mostrarei uma das demonstrações clássicas do Teorema de Pitágoras, que envolve o uso de áreas geométricas. A seguir, descreverei o passo a passo dessa demonstração:

Passo 1: Desenhar o Triângulo Retângulo

Começamos com um triângulo retângulo com lados a, b, e hipotenusa c.

Passo 2: Construir quadrados sobre cada lado

Desenhamos um quadrado de lado c sobre a hipotenusa. A área desse quadrado é c2. Em seguida, desenhamos um quadrado de lado a e outro de lado b. As áreas desses quadrados são a2 e b2, respectivamente.

Passo 3: Reorganizar as áreas

Agora “quebramos” os quadrados a2 e b2 e reorganizamos para formar o quadrado maior c2.

História resumida sobre Pitágoras

Pitágoras de Samos, foi um filósofo e matemático grego do século VI a.C., e lhe é frequentemente creditada a formulação do teorema que leva seu nome, apesar de evidências sugerirem que era conhecido por matemáticos babilônios. Além da matemática, Pitágoras fundou uma escola que combinava religião e ciência. Sua figura é envolta em lendas, incluindo a crença em transmigração de almas e a harmonia das esferas.

Exercícios Resolvidos de Teorema de Pitágoras

1. Um triângulo tem hipotenusa de 13 e um lado de 5. Encontre o outro lado.

 

Precisamos descobrir o valor de um dos catetos, podemos chamá-lo de a, agora é só aplicarmos o teorema e isolarmos o a

a2+b2=c2

a2+52=132

a2+25=169

a2=16925

a2=144

a=144

a=12

2. Verifique se o triângulo com lados 7, 24, 25 é retângulo.

 

Para verificarmos se um triângulo é retângulo, podemos utilizar o próprio teorema de Pitágoras, pois caso ele se prove verdadeiro, significa que o triângulo é retângulo. Detalhe importante: A hipotenusa sempre será o maior lado do triângulo retângulo, então na hora de substituirmos na equação, a hipotenusa valerá 25.

a2+b2=c2

72+242=252

49+576=625

625=625

Sim, é um triângulo retângulo.

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