Geometria plana, um assunto que é geralmente ensinado no ensino fundamental, mas que acompanha o aluno durante quase toda a vida acadêmica, é uma das mais importantes áreas da matemática, pois em inúmeras situações, saber calcular a área ou o perímetro de superfícies será o diferencial para tirar uma nota boa numa prova de concurso ou ser elogiado no trabalho (caso trabalhes com engenharia, por exemplo).
O que é uma área?
É uma medida da extensão de uma superfície em um determinado espaço bidimensional. Em outras palavras, é a quantidade de espaço dentro dos limites de uma figura plana. A área é expressa em “unidades de medidas quadradas”, como metros quadrados (
Como calcular a área de uma figura plana? (h2)
Cada figura plana tem uma equação específica para o cálculo de sua área.
Área de um retângulo:
Calculamos a área de um retângulo multiplicando a largura (geralmente chamada de altura) pelo comprimento (base)
Representação de um retângulo:
Área de um quadrado:
O quadrado é um caso especial do retângulo, possuindo todos os lados iguais (com o mesmo comprimento). Então, podemos achar sua área multiplicando dois de seus lados ou calculando o quadrado de um dos lados.
Representação de um quadrado:
Área de um triângulo:
Para um triângulo qualquer, calculamos sua área multiplicando sua base pela altura e dividindo o resultado por
Representação de um triângulo genérico:
Área de um triângulo equilátero:
Caso o triângulo seja equilátero (com todos os lados e ângulos iguais), podemos utilizar uma equação especial para calcular sua área
Representação do triângulo equilátero:
Área de um triângulo retângulo:
No triângulo retângulo (que possui um ângulo de noventa graus), um dos catetos será a altura, portanto, podemos reescrever a equação da área de um triângulo como sendo a multiplicação dos catetos, dividida por dois
Representação de um triângulo retângulo:
Área de um círculo:
Para calcular a área de um círculo, multiplicamos seu raio (menor distância entre o centro e a borda do círculo) ao quadrado pela famosa constante pi (π), que vale aproximadamente
Representação de um círculo:
Área de um losango:
Calculamos a área do losango multiplicando suas diagonais (segmentos formados entre vértices opostos) maior e menor, e dividindo por
Representação de um losango:
Se o losango tiver diagonais com tamanhos iguais, ele é classificado como quadrado, podendo-se também calcular sua área ao multiplicar dois de seus lados.
Área de um trapézio:
Sendo uma figura que possui dois lados paralelos (chamados de bases) e com comprimentos distintos, calculamos sua área ao multiplicarmos sua altura (distância entre os lados paralelo) pela soma de suas áreas e, dividindo o resultado desse cálculo por
Representação de um trapézio genérico:
Área de um trapézio retângulo:
Há um trapézio específico que possui esse nome porque um de seus lados forma ângulos de
Representação do trapézio retângulo:
Área de um paralelogramo:
Se o trapézio possuir lados paralelos com o mesmo comprimento, teremos uma nova figura geométrica chamada paralelogramo (que pode ser considerada um caso especial de trapézio). Só que utilizamos uma equação diferente para calcular a área do paralelogramo, multiplicamos o comprimento de um dos lados paralelos (base) pela distância entre eles (altura)
Representação do paralelogramo:
O paralelogramo só pode ser classificado como trapézio se considerarmos a chamada definição inclusiva do trapézio: “O trapézio é uma figura geométrica que possui ao menos um par de lados paralelos”. Por essa ótica, o retângulo pode ser também considerado um trapézio.
Transformando figuras planas em triângulos
Uma técnica útil para facilitar nossos cálculos, é transformar figuras planas complexas em triângulos (ou em outra figura simples, como um quadrado). Ao dividir um polígono em triângulos, é possível calcular a área total somando a área de cada triângulo. Utilizemos como exemplo o trapézio retângulo
Podemos dividi-lo em dois triângulos, onde suas alturas serão iguais ao lado perpendicular às bases do trapézio, e as bases dos triângulos serão a base menor e maior do trapézio, respectivamente (suponhamos que você esqueceu a equação da área do trapézio, essa engenhosidade pode salvar sua vida)
Para os amantes de equações, a área desse trapézio pode ser escrita como:
E olha só que coisa interessante, podemos juntar essas frações e chegar na equação original da área de um trapézio genérico:
Podemos dividir o trapézio retângulo de outra forma, em um retângulo (ou quadrado) e um triângulo retângulo
A base do triângulo será o resultado da diferença entre a base maior e menor (em módulo, pois não existe comprimento negativo). Abaixo podemos ver a equação para o cálculo da área nessa situação (não precisas decorar essas equações resultantes da decomposição do trapézio, pois elas são o fruto da junção de outras equações mais simples, nada mais, nada menos)
Para mostrar mais uma vez como tudo faz sentido na matemática, podemos manipular a equação acima para chegarmos novamente na equação da área do trapézio
Caso não estejas satisfeito, mostrarei outra figura que pode ser decomposta em triângulos, o hexágono regular (figura com seis lados e ângulos iguais)
Podemos dividi-lo em seis triângulos equiláteros, cujos lados terão comprimentos iguais ao lado do hexágono
Caso não saibas a equação do cálculo da área do hexágono regular, podes multiplicar por
Existem situações em que não é possível ou prático dividir uma figura em triângulos, como quando a figura tem contornos curvos complexos. Neste e em outros casos, técnicas alternativas, como o cálculo de integrais ou métodos numéricos, podem ser necessárias para determinar a área.
Formado em Eletrotécnica pelo IFRN.
