Função de 2° grau: O que é, gráfico e como desenhá-lo

Funções
ExercíciosTeoria
10/09/2024
Daniel Duarte

Provavelmente a função de 2° grau é a mais conhecida das funções, ela é marcante por causa do formato de seu gráfico e suas aplicações, sendo capaz de descrever a trajetória de alguns objetos e até mesmo analisar o valor máximo de lucro que um capital pode atingir.

O que é uma função de 2° grau?

A função quadrática, como é chamada, é uma função polinomial que possui um polinômio de grau $2$ , em outras palavras, o maior grau da variável independente é $2$ .

Exemplos:

1) $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$

2) $f (x) = x^{2} + x$

3) $f (x) = - 2 x^{2}$

Sua forma geral é dada por:

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Sendo $a$ , $b$ e $c$ números quaisquer, pertencentes na maioria dos casos ao conjunto dos números reais, e $a$ deve ser diferente de zero. Caso o $a$ seja zero, teremos uma função linear, e se tanto o $a$ quanto o $b$ forem zero, cairemos em uma função constante. Uma curiosidade sobre o nome dela é que o termo “quadrática” se dá ao fato de uma das variáveis (a de maior grau) estar elevada à $2$ , portanto, estar “elevada ao quadrado”.

Gráfico da função de 2° grau

O formato do gráfico da função quadrática é uma parábola, uma curva que começa crescendo e ao chegar em certo ponto, passa a decrescer (ou o contrário).

Como fazer o gráfico da função de 2° grau?

De forma parecida com a que abordamos a construção do gráfico da função de $1 °$ grau, precisaremos descobrir em quais pontos o gráfico intersecta os eixos coordenados (eixos $x$ e $y$ ), só que há um elemento há mais que precisamos calcular, o chamado “vértice da parábola”, que é o ponto em que ela muda seu comportamento.

Raízes da função de 2° grau:

Para achar o ponto de intersecção da parábola com o eixo $y$ , precisamos zerar a variável dependente (nesse artigo será o $x$ ), ou basta olharmos para o termo que não estiver multiplicando o $x$ . Já a intersecção com o eixo $x$ pode acontecer em um único ponto, em dois ou nenhum, essa variedade de possibilidades se dá pela presença de um polinômio de segundo grau. Para acharmos esses pontos, precisamos zerar o $f (x)$ e resolver a equação de $2 °$ grau que irar surgir. As raízes da equação demarcarão justamente os pontos em que o gráfico intersecta o eixo horizontal (eixo $x$ ).

Vértice da parábola:

Tão importante quanto os pontos de intersecção com os eixos, para desenharmos o gráfico de uma função quadrática precisamos encontrar o vértice da parábola, e para isso utilizamos duas fórmulas que nos darão as coordenadas $x$ e $y$ do ponto que representa o vértice no plano cartesiano. Esse ponto é chamado ponto de máximo ou mínimo, pois demarca o maior ou menor valor que a função irá alcançar.

X do vértice:

$x_{v} = \frac{- b}{2 a}$

Y do vértice:

$y_{v} = \frac{- Δ}{4 a}$

Essas letras são os coeficientes da função: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , e o delta (triângulo) é o discriminante encontrado ao achar as raízes da equação.

Exemplo:

Determine o gráfico da função $f (x) = x^{2} + x - 6$

Primeiramente, devemos zerar o $x$ para achar o ponto de intersecção com o eixo $y$

$f (x) = x^{2} + x - 6$

$f (0) = 0^{2} + 0 - 6$

$f (0) = - 6$

Não precisaríamos realizar esse processo, bastava olhar para a constante $- 6$ , mas é sempre bom saber mais de um método. O processo para achar o(s) ponto(s) de intersecção com o eixo $x$ começa por zerarmos o $f (x)$

$f (x) = x^{2} + x - 6$

$0 = x^{2} + x - 6$

Caímos em uma equação de segundo grau completa, e ao resolvermos ela através de Bháskara, intersecção com o eixo $x$

$0 = x^{2} + x - 6$

$x^{2} + x - 6 = 0$

$a = 1, b = 1, c = - 6$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{∆}}{2 a}$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4.1 . (- 6)}}{2.1}$

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

$x = \frac{- 1 \pm 5}{2}$

$x_{1} = \frac{- 1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_{2} = \frac{- 1 - 5}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

Temos duas raízes, portanto, o gráfico toca o eixo $x$ em dois pontos: $(- 3, 0)$ e $(2, 0)$ . Agora vamos encontrar as coordenadas do vértice, utilizando as fórmulas mostradas anteriormente

X do vértice:

$x_{v} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 1}{2.1} = \frac{- 1}{2} = - 0, 5$

Y do vértice:

$y_{v} = \frac{- ∆}{4 a} = \frac{- 25}{4.1} = \frac{- 25}{4} = - 6, 25$

Agora podemos desenhar o gráfico da função

Tipos de parábolas da função de 2° grau

Há seis tipos de formas que a parábola poderá ser encontrada, o que vai determinar isso serão as raízes da função e o sinal do coeficiente $a$ , pois se ele for positivo a concavidade estará voltada para cima e vértice será um ponto de mínimo, e se for negativo a concavidade ficará voltada para baixo, com o vértice indiciando um ponto de máximo.

Duas raízes reais e distintas (“a” positivo):

Duas raízes reais e distintas (“a” negativo):

Duas raízes reais e iguais (“a” positivo):

Duas raízes reais e iguais (“a” negativo):

Nenhuma raiz real (“a” positivo):

Nenhuma raiz real (“a” negativo):

Exercícios resolvidos de função de 2° grau

1. Plote o gráfico da função $f (x) = x^{2}$

“Plotar” é a mesma coisa que desenhar. Esclarecido esse termo, vamos achar o ponto de intersecção com o eixo $y$ , zerando o $x$

$f (x) = x^{2}$

$f (0) = 0^{2}$

$f (0) = 0$

Agora zeraremos o $f (x)$ para achar onde o gráfico intersecta o eixo $x$

$f (x) = x^{2}$

$0 = x^{2}$

Chegamos em uma equação de segundo grau incompleta, para resolvê-la, basta tirarmos a raiz quadrada de ambos os lados da equação, só que como precisaremos do delta, vamos resolver por Bháskara (não esqueça que os coeficientes $b$ e $c$ são iguais a zero)

$0 = x^{2}$

$x^{2} = 0$

$a = 1, b = 0, c = 0$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{∆}}{2 a}$

$x = \frac{- 0 \pm \sqrt{0^{2} - 4.1 .0}}{2.1}$

$x = \frac{- 0 \pm \sqrt{0}}{2}$

$x = \frac{- 0 \pm 0}{2}$

$x_{1} = \frac{- 0 + 0}{2} = 0$

$x_{2} = \frac{- 0 - 0}{2} = 0$

Temos duas raízes reais e iguais, e já que o coeficiente $a$ é positivo, a concavidade da parábola ficará voltada para cima. Agora vamos encontrar as coordenadas do vértice

X do vértice:

$x_{v} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 0}{2.1} = \frac{- 0}{2} = 0$

Y do vértice:

$y_{v} = \frac{- ∆}{4 a} = \frac{- 0}{4.1} = \frac{- 0}{4} = 0$

O ponto de mínimo (vértice) vai coincidir com a origem do plano cartesiano, então teremos o seguinte gráfico:

2. Uma empresa que fabrica transformadores criou uma função que representa o lucro ganho em relação a quantidade de máquinas produzidas: $L (x) = - x^{2} + 30 x - 200$ . Qual o número máximo de transformadores que eles devem produzir para atingir o maior lucro? Obs: O lucro é na casa dos milhares e é em reais.

Temos uma função quadrática e se foi pedido o valor máximo, o que nos interessa é apenas o vértice. Só que temos que entender o que cada coordenada irá nos indiciar, o “X do vértice” será a quantidade máxima de máquinas a serem produzidas, e o “Y do vértice” será o lucro máximo que eles irão obter ao produzir essa quantidade de peças. Sabendo essas informações, vamos calcular o delta e depois utilizar as fórmulas aprendidas

$∆ = b^{2} - 4 a c = 30^{2} - 4. (- 1) . (- 200) = 900 - 800 = 100$

X do vértice:

$x_{v} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 30}{2. (- 1)} = \frac{- 30}{- 2} = 15$

Y do vértice:

$y_{v} = \frac{- ∆}{4 a} = \frac{- 100}{4. (- 1)} = \frac{- 100}{- 4} = 25$

Portanto, eles precisam fabricar $15$ transformadores para atingir o lucro máximo de $25$ mil reais.

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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