Integrais trigonométricas: Quais os tipos e como resolvê-las

Integrais
Teoria
08/05/2025
Daniel Duarte

Muitos alunos têm dificuldade com esse tipo de integral, não por se tratarem de integrais em si, mas por exigirem uma boa base em trigonometria. Neste artigo, explicarei o que são as integrais trigonométricas, como identificar e como resolver algumas delas.

O que é uma integral trigonométrica?

Seu nome é bem sugestivo, ele indica que esse tipo de integral, seja ele qual for, deve envolver apenas funções trigonométricas, como seno, cosseno e tangente, certo? Mais ou menos, as integrais trigonométricas são integrais de funções trigonométricas que estão elevadas a algum expoente maior que $n$ (com $n$ maior que $1$ ), podendo estar se multiplicando ou não, ou que não são podem ser resolvidas de forma direta, usando a tabela de integrais ou através do método da substituição, sendo necessária alguma manipulação matemática envolvendo relações trigonométricas.

Exemplos de integrais trigonométricas:

1) $\int s e n^{2} (x) d x$

2) $\int c o s^{3} (x) \cdot s e n^{2} (x) d x$

3) $\int c o s (x) \cdot s e c (x) d x$

De forma geral, podemos dizer que as integrais trigonométricas se apresentam no formato:

$\int {[f (x)]}^{n} d x ou \int {[f (x)]}^{n} \cdot {[g (x)]}^{m} d x$

Onde $f (x)$ e $g (x)$ são funções trigonométricas quaisquer e $n$ e $m$ são expoentes maiores que $1$ .

As integrais a seguir, não são consideradas integrais trigonométricas, pois apesar de envolverem apenas funções trigonométricas, é possível resolvê-las sem utilizar nenhuma relação da trigonometria.

1) $\int s e n (x) + c o s (x) d x$

2) $\int s e n (2 x) d x$

3) $\int \frac{c o s (x)}{s e n^{2} (x)} d x$

Como resolver uma integral trigonométrica?

Não há uma abordagem única que sirva para resolver todo e qualquer tipo de integral trigonométrica, devemos agir de acordo com a expressão que estivermos integrando, escolhendo a manipulação matemática adequada. Assim, para que consigamos resolver uma grande variedade de integrais trigonométricas, nosso conhecimento acerca da trigonometria e suas relações deve ser amplo. Nosso objetivo será simplificar ou reescrever a expressão, para que ela fique de um jeito que seja possível resolver utilizando a tabela ou algum método de integração (como a integração por substituição).

Exemplo 1: Calcule a integral a seguir

$\int s e n^{3} (x) d x$

Não temos a integral de $s e n^{3} (x)$ na tabela, nem é possível substituir seno por alguma letra, pois não conseguiremos achar quem é $d x$ , portanto, é necessário manipular a expressão para conseguirmos integrar. Começarei transformando $s e n^{3} (x)$ em $s e n^{2} (x) \cdot s e n (x)$ (caso tenha dúvida nesse processo, recomendo que leia o artigo sobre potenciação).

$\int s e n^{3} (x) d x = \int s e n^{2} (x) \cdot s e n (x) d x$

Posso utilizar a relação fundamental da trigonometria (RFT) para transformar $s e n^{2} (x)$ em $1 - c o s^{2} (x)$ .

$\int s e n^{2} (x) \cdot s e n (x) d x = \int (1 - c o s^{2} (x)) s e n (x) d x$

Do jeito que a expressão se encontra, é possível utilizar o método da substituição para resolvermos. Chamando $c o s (x)$ de $u$ , teremos:

$u = c o s (x)$

$\frac{d u}{d x} = - s e n (x)$

$- d u = s e n (x) d x$

Substituindo na integral, ficaremos com:

$\int (1 - u^{2}) - d u = - \int 1 - u^{2} d u$

Então, resolvemos a integral acima utilizando a tabela

$- \int 1 - u^{2} d u = - (u - \frac{u^{3}}{3}) + C = - u + \frac{u^{3}}{3} + C$

Por fim, substituímos $u$ por $c o s (x)$ , pois nossa resposta deve estar em função da variável $x$ .

$- c o s (x) + \frac{c o s^{3} (x)}{3} + C$

Exemplo 2: Calcule a integral a seguir

$\int c o s^{3} (x) d x$

Novamente não é possível resolver a integral diretamente, então, vamos tentar fazer o mesmo que no exercício anterior, separando a potência de cosseno.

$\int c o s^{3} (x) d x = \int c o s^{2} (x) \cdot c o s (x) d x$

Agora utilizamos a RFT no cosseno ao quadrado

$\int c o s^{2} (x) \cdot c o s (x) d x = \int (1 - s e n^{2} (x)) c o s (x) d x$

Agora realizamos a substituição de $s e n (x)$ por $u$ e resolvemos a integral resultante

$u = s e n (x)$

$d u = c o s (x) d x$

$\int (1 - u^{2}) d x = u - \frac{u^{3}}{3} + C = s e n (x) - \frac{s e n^{3} (x)}{3} + C$

Exemplo 3: Calcule a integral a seguir

$\int s e n^{2} (x) d x$

Dessa vez o seno está elevado ao quadrado, e agora, o que fazer? Se transformarmos isso em seno vezes seno, não conseguiremos continuar o exercício, e se utilizarmos a RFT, teremos cosseno ao quadrado, que também é uma integral desconhecida até então. Utilizaremos a seguinte transformação trigonométrica para prosseguirmos com o cálculo:

$s e n^{2} (x) = \frac{1 - c o s (2 x)}{2}$

Fazendo isso transformamos $s e n^{2} (x)$ quadrado em uma expressão trigonométrica elevada à $1$ , que podemos resolver utilizando o método de integração por substituição.

$\int \frac{1 - c o s (2 x)}{2} d x = \frac{1}{2} \int (1 - c o s (2 x)) d x$

Nos resta agora resolver a integral

$u = 2 x$

$d u = 2 d x$

$\frac{d u}{2} = d x$

$\frac{1}{2} \int (1 - c o s (u)) \frac{d u}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int (1 - c o s (u)) d u =$

$\frac{1}{4} (u - s e n (u)) + C = \frac{1}{4} (2 x - s e n (2 x)) + C$

Exemplo 4: Calcule a integral a seguir

$\int c o s^{2} (x) d x$

Da mesma forma que podemos deixar $s e n^{2} (x)$ em uma função trigonométrica elevada à $1$ , é possível fazer o mesmo para o cosseno ao quadrado:

$c o s^{2} (x) = \frac{1 + c o s (2 x)}{2}$

O processo a partir de agora será praticamente o mesmo da questão anterior, por esse motivo, irei resolver mais rapidamente, pois a parte da resolução que envolve trigonometria acaba por aqui.

$\int c o s^{2} (x) d x = \frac{1}{2} \int (1 + c o s (2 x)) d x = \frac{1}{2} (x + \frac{s e n (2 x)}{2}) + C$

Exemplo 5: Calcule a integral a seguir

$\int s e n^{2} (x) \cdot c o s^{3} (x) d x$

Temos o produto entre duas funções trigonométricas com expoentes maiores que $1$ , então, precisaremos manipular a expressão para calcularmos a integral. E se separarmos o $c o s^{3} (x)$ e usarmos a RFT assim como fizemos na integral do próprio $c o s^{3} (x)$ ? Vamos testar e ver o que acontece.

$\int s e n^{2} (x) \cdot c o s^{2} (x) \cdot c o s (x) d x = \int s e n^{2} (x) (1 - s e n^{2} (x)) \cdot c o s (x) d x$

Olha só, do jeito que está a integral, conseguimos utilizar o método da substituição.

$u = s e n (x)$

$d u = c o s (x) d x$

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u = \int (u^{2} - u^{4}) d u$

Caímos em uma integral muito simples, nos resta resolvê-la e substituir $u$ por $s e n (x)$ no final

$\int (u^{2} - u^{4}) d u = \frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{5}}{5} + C = \frac{s e n^{3} (x)}{3} - \frac{s e n^{5} (x)}{5} + C$

Exemplo 6: Calcule a integral a seguir

$\int s e n^{2} (x) \cdot c o s^{2} (x) d x$

Dessa vez, temos o produto entre as funções seno e cosseno só que com expoentes pares, alguns dos leitores já devem imaginar o que farei. Mas para os que não perceberam, irei utilizar as transformações trigonométricas de seno e cosseno ao quadrado, as mesmas que foram usadas nos exemplos $3$ e $4$ .

$\int (\frac{1 - c o s (2 x)}{2}) \cdot (\frac{1 + c o s (2 x)}{2}) d x = \int \frac{1^{2} - c o s^{2} (2 x)}{4} d x = \frac{1}{4} \int (1 - c o s^{2} (2 x)) d x$

Podemos transformar $1 - c o s^{2} (2 x)$ em $s e n^{2} (2 x)$

$\frac{1}{4} \int s e n^{2} (2 x) d x$

Pensa comigo, se tivéssemos $s e n^{2} (x)$ , poderíamos transformar em $\frac{1 - c o s (2 x)}{2}$ , após a transformação, note que o argumento do cosseno é o dobro do argumento do seno ao quadrado (o que era $x$ , passou a ser $2 x$ ), então, se fizermos o mesmo para $s e n^{2} (2 x)$ , o resultado será $\frac{1 - c o s (4 x)}{2}$ , é exatamente isso que farei agora.

$\frac{1}{4} \int \frac{1 - c o s (4 x)}{2} d x = \frac{1}{8} \int (1 - c o s (4 x)) d x$

Finalmente acabaram as manipulações envolvendo a trigonometria, restando apenas uma simples integral por substituição para resolver.

$\frac{1}{8} \int (1 - c o s (4 x)) d x = \frac{1}{8} (x - \frac{s e n (4 x)}{4}) + C$

Exemplo 7: Calcule a integral a seguir

$\int c o s (x) \cdot t a n (x) d x$

Para resolver essa questão, basta apenas saber a chamada “identidade trigonométrica”, que diz que a tangente é igual ao seno sobre o cosseno

$\int c o s (x) \cdot t a n (x) d x = \int c o s (x) \cdot \frac{s e n (x)}{c o s (x)} d x = \int s e n (x) d x$

Agora ficou fácil, chegamos em uma integral da tabela

$\int s e n (x) d x = c o s (x) + C$

Exemplo 8: Calcule a integral a seguir

$\int s e n (x) \cdot t a n (x) d x$

Vamos utilizar a identidade trigonométrica da tangente para tentar resolver

$\int s e n (x) \cdot t a n (x) d x =$

$\int s e n (x) \cdot \frac{s e n (x)}{c o s (x)} d x =$

$\int \frac{s e n^{2} (x)}{c o s (x)} d x$

Mesmo que substituamos $s e n (x)$ por $u$ , o cosseno não está multiplicando o $d x$ para que consigamos o substituir, mas e se utilizarmos a RFT no $s e n^{2} (x)$ ?

$\int \frac{s e n^{2} (x)}{c o s (x)} d x = \int \frac{1 - c o s^{2} (x)}{c o s (x)} d x$

Podemos separar essa fração em duas frações com o mesmo denominador

$\int \frac{1 - c o s^{2} (x)}{c o s (x)} d x = \int \frac{1}{c o s (x)} - \frac{c o s^{2} (x)}{c o s (x)} d x = \int \frac{1}{c o s (x)} - c o s (x) d x$

O inverso do cosseno é a secante, então podemos reescrever a integral da seguinte forma:

$\int \frac{1}{c o s (x)} - c o s (x) d x = \int s e c (x) - c o s (x) d x$

Agora nos resta integrar as funções

$\int s e c (x) - c o s (x) d x = \ln | s e c (x) + t a n (x) | - s e n (x) + C$

Exemplo 9: Calcule a integral a seguir

$\int s e c (x) \cdot s e n (x) d x$

A secante é o inverso do cosseno, então, comecemos reescrevendo a integral:

$\int s e c (x) \cdot c o s (x) d x = \int \frac{1}{c o s (x)} \cdot s e n (x) d x = \int \frac{s e n (x)}{c o s (x)} d x$

Caímos em uma integral por substituição tranquila de se resolver

$u = c o s (x)$

$- d u = s e n (x) d x$

$- \int \frac{1}{u} d u = - \ln | u | + C = - \ln | c o s (x) | + C$

Exemplo 10: Calcule a integral a seguir

$\int t a n^{2} (x) d x$

Como vimos no exercício anterior, para calcular a integral de $t a n (x)$ transformamos tangente em seno sobre cosseno e utilizamos o método da substituição, mas e a integral de $t a n^{2} (x)$ ? Podemos utilizar a segunda relação fundamental da trigonometria:

$t a n^{2} (x) = s e c^{2} (x) - 1$

A primitiva (integral) de $s e c^{2} (x)$ é $t a n (x)$ , então, conseguimos resolver utilizando a tabela.

$\int t a n^{2} (x) d x = \int (s e c^{2} (x) - 1) d x = t a n (x) - x + C$

Há uma infinidade de outros tipos de integrais trigonométricas, não sendo possível abordar todos neste artigo, no entanto, creio que os exercícios que resolvi já irão elucidar a mente de muitos, uma vez que a diferença deles para os demais, serão as manipulações matemáticas e as integrais resultantes após a simplificação.

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN.

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