É comum um aluno ficar sem saber o que fazer ao se deparar com uma integral por partes cíclica, pois parece que o cálculo não vai parar nunca, uma vez que ele chega sempre ao mesmo resultado. Caso estejas nessa situação ou não queira passar por isso, este artigo é para você, nele irei explicar o que é, como identificar e resolver a integral cíclica.
O que é uma integral por partes cíclica?
Basicamente, se trata de um caso particular da integração por partes, onde ao longo da resolução a integral que você está querendo calcular reaparece, fazendo com que você fique aplicando o método várias vezes seguidas, sem chegar em um resultado para a integral original. Vale a pena ressaltar que essa integral não tem nada a ver com as “integrais cíclicas” que são vistas no cálculo vetorial.
Como calcular uma integral por partes cíclica?
O processo de resolução será o mesmo que o da integração por partes, mas quando a integral original aparecer na expressão resultante, iremos passá-la para o outro lado da equação, e para finalizar, dividimos ambos os lados pela constante que estiver multiplicando a integral que queremos calcular. Esse pequeno detalhe é muito simples de se realizar, no entanto, pode ser difícil de visualizar a possibilidade de utilizar esse recurso.
São pouquíssimas as situações em que isso acontece, portanto, os dois primeiros exemplos que mostrarei, não são exclusivos desse método, ou seja, daria para resolvê-los utilizando o método da integração por substituição. Coloquei-os para que aprenda uma nova forma de solucioná-los, e para visualizar em mais exercícios a situação de ciclicidade que ocorre ao se utilizar a integração por partes.
Exemplo 1: Calcule a integral a seguir
$$\int\frac{\ln\left|x\right|}{x}\;dx$$
Já que queremos utilizar a integração por partes, precisamos de um produto entre duas funções, então, vamos reescrever a integral acima
$$\int\frac{\ln\left|x\right|}{x}\;dx=\int\ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx$$
Utilizando o LIATE para definirmos nosso $u$ e $dv$, temos que:
$$u=\ln\left|x\right|$$
$$dv=\frac{1}{x}dx$$
Em seguida, encontramos quem é $du$ e $v$
$$du=\frac{1}{x}dx$$
$$v=\ln\left|x\right|$$
Agora, utilizamos a equação da integração por partes para dar continuidade à resolução
$$\int u\;dv=u\cdot v-\int v\;du$$
$$\int\ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx=\ln\left|x\right|\cdot \ln\left|x\right|-\int \ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx$$
$$\int\ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx=\ln^2\left|x\right|-\int \ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx$$
Olha só quem apareceu na expressão, a integral de $\ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}$, que é justamente quem queremos calcular. Caso tentássemos aplicar a integração por partes novamente, chegaríamos mais uma vez nessa integral, no entanto, iremos passar esse termo que se repete para o outro lado da equação (você pode interpretar esse processo como somar essa o termo $\int \ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx$ em ambos os lados da equação).
$$\int\ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx=\ln^2\left|x\right|-\int \ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx$$
$$\int\ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx+\int \ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx=\ln^2\left|x\right|$$
Se tivéssemos $x$ mais $x$, o resultado seria $2x$, então, se temos duas unidades de uma mesma coisa, temos o dobro dessa coisa
$$\int\ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx+\int \ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx=\ln^2\left|x\right|$$
$$2\int \ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx=\ln^2\left|x\right|$$
Como queremos saber o valor da integral em si, não de duas vezes ela, dividimos ambos os lados por $2$, para isolar a integral que queremos calcular.
$$2\int \ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx=\ln^2\left|x\right|$$
$$\int \ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\;dx=\frac{\ln^2\left|x\right|}{2}+C$$
Chegamos na resposta, se quisermos conferir se ela está correta, basta a derivarmos, se conseguirmos voltar para a função antes de ser integrada, significa que acertamos.
$$F(x)=\frac{\ln^2\left|x\right|}{2}$$
$$F’(x)=\frac{1}{2}\left(2\ln\left|x\right|\cdot\frac{1}{x}\right)$$
$$F’(x)=\frac{\ln\left|x\right|}{x}$$
Exemplo 2: Calcule a integral a seguir
$$\int sen^2(x)\cdot cos(x)\;dx$$
Dessa vez temos duas funções trigonométricas se multiplicando, quem considero como sendo $u$? O seno ao quadrado, porque derivá-lo é bem mais fácil do que integrá-lo (quando utilizamos algum método de integração, nosso objetivo é simplificar a expressão, não complicá-la).
$$u=sen^2(x)$$
$$du=2sen(x)\cdot cos(x)dx$$
$$dv=cos(x)dx$$
$$v=sen(x)$$
Substituindo na equação da integração por partes
$$\int u\;dv=u\cdot v-\int v\;du$$
$$\int sen^2(x)\cdot cos(x)\;dx=sen^2(x)\cdot sen(x)-\int sen(x)\cdot2sen(x)\cdot cos(x)\;dx$$
$$\int sen^2(x)\cdot cos(x)\;dx=sen^3(x)-2\int sen^2(x)\cdot cos(x)\;dx$$
A integral que queríamos calcular apareceu no meio da resolução, então, vamos passar o termo semelhante para o outro lado da equação.
$$\int sen^2(x)\cdot cos(x)\;dx+2\int sen^2(x)\cdot cos(x)\;dx=sen^3(x)$$
$$3\int sen^2(x)\cdot cos(x)\;dx=sen^3(x)$$
Para fechar com chave de ouro, dividimos por $3$ toda a equação
$$3\int sen^2(x)\cdot cos(x)\;dx=sen^3(x)$$
$$\int sen^2(x)\cdot cos(x)\;dx=\frac{sen^3(x)}{3}+C$$
Exemplo 3: Calcule a integral a seguir
$$\int e^x\cdot sen(x)\;dx$$
O terceiro e quarto exemplos, são casos típicos de integrais por partes cíclicas, não sendo possível solucioná-los por outro método (não facilmente, pelo menos). Primeiramente, vamos escolher $u$ e $dv$ utilizando a regra LIATE
$$u=sen(x)$$
$$du=cos(x)dx$$
$$dv=e^x\;dx$$
$$v=e^x$$
Novamente, utilizaremos a equação das integrais por partes para prosseguir
$$\int u\;dv=u\cdot v-\int v\;du$$
$$\int e^x\cdot sen(x)\;dx=sen(x)\cdot e^x-\int e^x\cdot cos(x)\;dx$$
Caímos em outra integral por partes, teremos que resolvê-la para dar continuidade ao exercício (chamarei essa integral de $K$)
$$\int e^x\cdot sen(x)\;dx=sen(x)\cdot e^x-K$$
$$K=\int e^x\cdot cos(x)\;dx$$
Escolhendo $u$ e $dv$ para $K$, teremos:
$$u=cos(x)$$
$$du=-sen(x)dx$$
$$dv=e^x\;dx$$
$$v=e^x$$
$$K=\int u;dv=u\cdot v-\int v\;du$$
$$K=\int e^x\cdot cos(x)\;dx=cos(x)\cdot e^x-\int e^x(-sen(x))\;dx$$
$$K=\int e^x\cdot cos(x)\;dx=cos(x)\cdot e^x+\int e^x\cdot sen(x)\;dx$$
Olha só quem apareceu, a integral que queremos calcular $\left(\int e^x\cdot sen(x)\;dx\right)$, o próximo passo será substituir $K$ na expressão original
$$\int e^x\cdot sen(x)\;dx=sen(x)\cdot e^x-K$$
$$\int e^x\cdot sen(x)\;dx=sen(x)\cdot e^x-\left(cos(x)\cdot e^x+\int e^x\cdot sen(x)\;dx\right)$$
$$\int e^x\cdot sen(x)\;dx=sen(x)\cdot e^x-cos(x)\cdot e^x-\int e^x\cdot sen(x)\;dx$$
Estamos chegando ao “grand finale”, faltando apenas passar o termo repetido para o outro lado e dividir toda a equação pela constante que aparecerá no processo
$$\int e^x\cdot sen(x)\;dx=sen(x)\cdot e^x-cos(x)\cdot e^x-\int e^x\cdot sen(x)\;dx$$
$$\int e^x\cdot sen(x)\;dx+\int e^x\cdot sen(x)\;dx=sen(x)\cdot e^x-cos(x)\cdot e^x$$
$$2\int e^x\cdot sen(x)\;dx=sen(x)\cdot e^x-cos(x)\cdot e^x$$
$$\int e^x\cdot sen(x)\;dx=\frac{sen(x)\cdot e^x}{2}-\frac{cos(x)\cdot e^x}{2}+C$$
Exemplo 4: Calcule a integral a seguir
$$\int sec^3(x)\;dx$$
Por fim, temos acima uma integral trigonométrica, cuja resolução exige pouquíssimo do conhecimento acerca da trigonometria (por esse motivo, coloquei-a nesse artigo e não no de integral trigonométrica). Comecemos separando a potência em $sec^2(x)\cdot sec(x)$
$$\int sec^3(x)\;dx=\int sec^2(x)\cdot sec(x)\;dx$$
Na sequência, escolhemos $u$ e $dv$, e como ambas são funções trigonométricas, escolherei para ser $u$ a que seria mais difícil de integrar
$$u=sec(x)$$
$$du=sec(x)\cdot tan(x)dx$$
$$dv=sec^2(x)\;dx$$
$$v=tan(x)$$
$$\int u\;dv=u\cdot v-\int v\;du$$
$$\int sec^3(x)=sec(x)\cdot tan(x)-\int tan(x)\cdot sec(x)\cdot tan(x)\;dx$$
$$\int sec^3(x)=sec(x)\cdot tan(x)-\int tan^2(x)\cdot sec(x)\;dx$$
Para fazermos aparecer a integral de $sec^3(x)$, precisaremos manipular a integral de $tan^2(x)\cdot sec(x)$, e para tal, utilizarei a relação fundamental da trigonometria $tan^2(x)=sec^2(x)-1$
$$\int sec^3(x)=sec(x)\cdot tan(x)-\int tan^2(x)\cdot sec(x)\;dx$$
$$\int sec^3(x)=sec(x)\cdot tan(x)-\int(sec^2(x)-1)\cdot sec(x)\;dx$$
$$\int sec^3(x)=sec(x)\cdot tan(x)-\int sec^3(x)-sec(x)\;dx$$
Podemos separar a integral de $sec^3(x)-sec(x)$ na integral de $sec^3(x)$ menos a integral de $sec(x)$
$$\int sec^3(x)=sec(x)\cdot tan(x)-\int sec^3(x)-sec(x)\;dx$$
$$\int sec^3(x)=sec(x)\cdot tan(x)-\left(\int sec^3(x)\;dx-\int sec(x)\;dx\right)$$
$$\int sec^3(x)=sec(x)\cdot tan(x)-\int sec^3(x)\;dx+\int sec(x)\;dx$$
$$\int sec^3(x)=sec(x)\cdot tan(x)-\int sec^3(x)\;dx+\ln\left|sec(x)+tan(x)\right|$$
O processo, a partir de agora, será o mesmo que fizemos até então: Deixar os termos semelhantes de um mesmo lado da equação e dividir ambos os lados pela constante que surgir dessa junção
$$\int sec^3(x)=sec(x)\cdot tan(x)-\int sec^3(x)\;dx+\ln\left|sec(x)+tan(x)\right|$$
$$\int sec^3(x)+\int sec^3(x)\;dx=sec(x)\cdot tan(x)+\ln\left|sec(x)+tan(x)\right|$$
$$2\int sec^3(x)\;dx=sec(x)\cdot tan(x)+\ln\left|sec(x)+tan(x)\right|$$
$$\int sec^3(x)\;dx=\frac{sec(x)\cdot tan(x)}{2}+\frac{\ln\left|sec(x)+tan(x)\right|}{2}+C$$
Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.
