Integrais por partes cíclicas: Como identificar e resolver

Integrais
Teoria
09/05/2025
Daniel Duarte

É comum um aluno ficar sem saber o que fazer ao se deparar com uma integral por partes cíclica, pois parece que o cálculo não vai parar nunca, uma vez que ele chega sempre ao mesmo resultado. Caso estejas nessa situação ou não queira passar por isso, este artigo é para você, nele irei explicar o que é, como identificar e resolver a integral cíclica.

O que é uma integral por partes cíclica?

Basicamente, se trata de um caso particular da integração por partes, onde ao longo da resolução a integral que você está querendo calcular reaparece, fazendo com que você fique aplicando o método várias vezes seguidas, sem chegar em um resultado para a integral original. Vale a pena ressaltar que essa integral não tem nada a ver com as “integrais cíclicas” que são vistas no cálculo vetorial.

Como calcular uma integral por partes cíclica?

O processo de resolução será o mesmo que o da integração por partes, mas quando a integral original aparecer na expressão resultante, iremos passá-la para o outro lado da equação, e para finalizar, dividimos ambos os lados pela constante que estiver multiplicando a integral que queremos calcular. Esse pequeno detalhe é muito simples de se realizar, no entanto, pode ser difícil de visualizar a possibilidade de utilizar esse recurso.

São pouquíssimas as situações em que isso acontece, portanto, os dois primeiros exemplos que mostrarei, não são exclusivos desse método, ou seja, daria para resolvê-los utilizando o método da integração por substituição. Coloquei-os para que aprenda uma nova forma de solucioná-los, e para visualizar em mais exercícios a situação de ciclicidade que ocorre ao se utilizar a integração por partes.

Exemplo 1: Calcule a integral a seguir

$\int \frac{\ln | x |}{x} d x$

Já que queremos utilizar a integração por partes, precisamos de um produto entre duas funções, então, vamos reescrever a integral acima

$\int \frac{\ln | x |}{x} d x = \int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x$

Utilizando o LIATE para definirmos nosso $u$ e $d v$ , temos que:

$u = \ln | x |$

$d v = \frac{1}{x} d x$

Em seguida, encontramos quem é $d u$ e $v$

$d u = \frac{1}{x} d x$

$v = \ln | x |$

Agora, utilizamos a equação da integração por partes para dar continuidade à resolução

$\int u d v = u \cdot v - \int v d u$

$\int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x = \ln | x | \cdot \ln | x | - \int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x$

$\int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x = \ln^{2} | x | - \int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x$

Olha só quem apareceu na expressão, a integral de $\ln | x | \cdot \frac{1}{x}$ , que é justamente quem queremos calcular. Caso tentássemos aplicar a integração por partes novamente, chegaríamos mais uma vez nessa integral, no entanto, iremos passar esse termo que se repete para o outro lado da equação (você pode interpretar esse processo como somar essa o termo $\int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x$ em ambos os lados da equação).

$\int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x = \ln^{2} | x | - \int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x$

$\int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x + \int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x = \ln^{2} | x |$

Se tivéssemos $x$ mais $x$ , o resultado seria $2 x$ , então, se temos duas unidades de uma mesma coisa, temos o dobro dessa coisa

$\int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x + \int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x = \ln^{2} | x |$

$2 \int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x = \ln^{2} | x |$

Como queremos saber o valor da integral em si, não de duas vezes ela, dividimos ambos os lados por $2$ , para isolar a integral que queremos calcular.

$2 \int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x = \ln^{2} | x |$

$\int \ln | x | \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{\ln^{2} | x |}{2} + C$

Chegamos na resposta, se quisermos conferir se ela está correta, basta a derivarmos, se conseguirmos voltar para a função antes de ser integrada, significa que acertamos.

$F (x) = \frac{\ln^{2} | x |}{2}$

$F^{'} (x) = \frac{1}{2} (2 \ln | x | \cdot \frac{1}{x})$

$F^{'} (x) = \frac{\ln | x |}{x}$

Exemplo 2: Calcule a integral a seguir

$\int s e n^{2} (x) \cdot c o s (x) d x$

Dessa vez temos duas funções trigonométricas se multiplicando, quem considero como sendo $u$ ? O seno ao quadrado, porque derivá-lo é bem mais fácil do que integrá-lo (quando utilizamos algum método de integração, nosso objetivo é simplificar a expressão, não complicá-la).

$u = s e n^{2} (x)$

$d u = 2 s e n (x) \cdot c o s (x) d x$

$d v = c o s (x) d x$

$v = s e n (x)$

Substituindo na equação da integração por partes

$\int u d v = u \cdot v - \int v d u$

$\int s e n^{2} (x) \cdot c o s (x) d x = s e n^{2} (x) \cdot s e n (x) - \int s e n (x) \cdot 2 s e n (x) \cdot c o s (x) d x$

$\int s e n^{2} (x) \cdot c o s (x) d x = s e n^{3} (x) - 2 \int s e n^{2} (x) \cdot c o s (x) d x$

A integral que queríamos calcular apareceu no meio da resolução, então, vamos passar o termo semelhante para o outro lado da equação.

$\int s e n^{2} (x) \cdot c o s (x) d x + 2 \int s e n^{2} (x) \cdot c o s (x) d x = s e n^{3} (x)$

$3 \int s e n^{2} (x) \cdot c o s (x) d x = s e n^{3} (x)$

Para fechar com chave de ouro, dividimos por $3$ toda a equação

$3 \int s e n^{2} (x) \cdot c o s (x) d x = s e n^{3} (x)$

$\int s e n^{2} (x) \cdot c o s (x) d x = \frac{s e n^{3} (x)}{3} + C$

Exemplo 3: Calcule a integral a seguir

$\int e^{x} \cdot s e n (x) d x$

O terceiro e quarto exemplos, são casos típicos de integrais por partes cíclicas, não sendo possível solucioná-los por outro método (não facilmente, pelo menos). Primeiramente, vamos escolher $u$ e $d v$ utilizando a regra LIATE

$u = s e n (x)$

$d u = c o s (x) d x$

$d v = e^{x} d x$

$v = e^{x}$

Novamente, utilizaremos a equação das integrais por partes para prosseguir

$\int u d v = u \cdot v - \int v d u$

$\int e^{x} \cdot s e n (x) d x = s e n (x) \cdot e^{x} - \int e^{x} \cdot c o s (x) d x$

Caímos em outra integral por partes, teremos que resolvê-la para dar continuidade ao exercício (chamarei essa integral de $K$ )

$\int e^{x} \cdot s e n (x) d x = s e n (x) \cdot e^{x} - K$

$K = \int e^{x} \cdot c o s (x) d x$

Escolhendo $u$ e $d v$ para $K$ , teremos:

$u = c o s (x)$

$d u = - s e n (x) d x$

$d v = e^{x} d x$

$v = e^{x}$

$K = \int u; d v = u \cdot v - \int v d u$

$K = \int e^{x} \cdot c o s (x) d x = c o s (x) \cdot e^{x} - \int e^{x} (- s e n (x)) d x$

$K = \int e^{x} \cdot c o s (x) d x = c o s (x) \cdot e^{x} + \int e^{x} \cdot s e n (x) d x$

Olha só quem apareceu, a integral que queremos calcular $(\int e^{x} \cdot s e n (x) d x)$ , o próximo passo será substituir $K$ na expressão original

$\int e^{x} \cdot s e n (x) d x = s e n (x) \cdot e^{x} - K$

$\int e^{x} \cdot s e n (x) d x = s e n (x) \cdot e^{x} - (c o s (x) \cdot e^{x} + \int e^{x} \cdot s e n (x) d x)$

$\int e^{x} \cdot s e n (x) d x = s e n (x) \cdot e^{x} - c o s (x) \cdot e^{x} - \int e^{x} \cdot s e n (x) d x$

Estamos chegando ao “grand finale”, faltando apenas passar o termo repetido para o outro lado e dividir toda a equação pela constante que aparecerá no processo

$\int e^{x} \cdot s e n (x) d x = s e n (x) \cdot e^{x} - c o s (x) \cdot e^{x} - \int e^{x} \cdot s e n (x) d x$

$\int e^{x} \cdot s e n (x) d x + \int e^{x} \cdot s e n (x) d x = s e n (x) \cdot e^{x} - c o s (x) \cdot e^{x}$

$2 \int e^{x} \cdot s e n (x) d x = s e n (x) \cdot e^{x} - c o s (x) \cdot e^{x}$

$\int e^{x} \cdot s e n (x) d x = \frac{s e n (x) \cdot e^{x}}{2} - \frac{c o s (x) \cdot e^{x}}{2} + C$

Exemplo 4: Calcule a integral a seguir

$\int s e c^{3} (x) d x$

Por fim, temos acima uma integral trigonométrica, cuja resolução exige pouquíssimo do conhecimento acerca da trigonometria (por esse motivo, coloquei-a nesse artigo e não no de integral trigonométrica). Comecemos separando a potência em $s e c^{2} (x) \cdot s e c (x)$

$\int s e c^{3} (x) d x = \int s e c^{2} (x) \cdot s e c (x) d x$

Na sequência, escolhemos $u$ e $d v$ , e como ambas são funções trigonométricas, escolherei para ser $u$ a que seria mais difícil de integrar

$u = s e c (x)$

$d u = s e c (x) \cdot t a n (x) d x$

$d v = s e c^{2} (x) d x$

$v = t a n (x)$

$\int u d v = u \cdot v - \int v d u$

$\int s e c^{3} (x) = s e c (x) \cdot t a n (x) - \int t a n (x) \cdot s e c (x) \cdot t a n (x) d x$

$\int s e c^{3} (x) = s e c (x) \cdot t a n (x) - \int t a n^{2} (x) \cdot s e c (x) d x$

Para fazermos aparecer a integral de $s e c^{3} (x)$ , precisaremos manipular a integral de $t a n^{2} (x) \cdot s e c (x)$ , e para tal, utilizarei a relação fundamental da trigonometria $t a n^{2} (x) = s e c^{2} (x) - 1$

$\int s e c^{3} (x) = s e c (x) \cdot t a n (x) - \int t a n^{2} (x) \cdot s e c (x) d x$

$\int s e c^{3} (x) = s e c (x) \cdot t a n (x) - \int (s e c^{2} (x) - 1) \cdot s e c (x) d x$

$\int s e c^{3} (x) = s e c (x) \cdot t a n (x) - \int s e c^{3} (x) - s e c (x) d x$

Podemos separar a integral de $s e c^{3} (x) - s e c (x)$ na integral de $s e c^{3} (x)$ menos a integral de $s e c (x)$

$\int s e c^{3} (x) = s e c (x) \cdot t a n (x) - \int s e c^{3} (x) - s e c (x) d x$

$\int s e c^{3} (x) = s e c (x) \cdot t a n (x) - (\int s e c^{3} (x) d x - \int s e c (x) d x)$

$\int s e c^{3} (x) = s e c (x) \cdot t a n (x) - \int s e c^{3} (x) d x + \int s e c (x) d x$

$\int s e c^{3} (x) = s e c (x) \cdot t a n (x) - \int s e c^{3} (x) d x + \ln | s e c (x) + t a n (x) |$

O processo, a partir de agora, será o mesmo que fizemos até então: Deixar os termos semelhantes de um mesmo lado da equação e dividir ambos os lados pela constante que surgir dessa junção

$\int s e c^{3} (x) = s e c (x) \cdot t a n (x) - \int s e c^{3} (x) d x + \ln | s e c (x) + t a n (x) |$

$\int s e c^{3} (x) + \int s e c^{3} (x) d x = s e c (x) \cdot t a n (x) + \ln | s e c (x) + t a n (x) |$

$2 \int s e c^{3} (x) d x = s e c (x) \cdot t a n (x) + \ln | s e c (x) + t a n (x) |$

$\int s e c^{3} (x) d x = \frac{s e c (x) \cdot t a n (x)}{2} + \frac{\ln | s e c (x) + t a n (x) |}{2} + C$

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN.

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