Integral por Substituição: Como identificar e aplicar o método

Esse é o primeiro dentre os métodos de integração que geralmente são utilizados para se resolver integrais que não estão na tabela. Apesar de simples, muitas pessoas têm dúvida sobre em quais situações utilizá-lo, e é para responder essas e outras dúvidas que fiz esse artigo.

O que é integral por substituição?

É uma técnica fundamental no cálculo integral, frequentemente comparada à regra da cadeia usada nas derivadas. Esse método permite transformar uma integral complicada em uma mais simples, permitindo  resolver exercícios que, à primeira vista, podem parecer sem solução. 

Na prática, a ideia é substituir uma parte da integral por uma nova variável, facilitando seus cálculos, pois a integral ficará em um formato conhecido, possibilitando a utilização da tabela de integrais. Essa técnica é aplicada quando percebemos que no lugar de $x$, existe uma um polinômio de primeiro grau diferente de $x$ (como $x+1$ ou $-3x$), ou quando temos uma multiplicação entre uma função composta e outra qualquer, e uma delas é a derivada da outra.

Como aplicar o método da substituição em uma integral?

Como dito anteriormente, há dois casos em que a substituição é aplicável, saber identificá-los é indispensável. Irei mostrá-los por meio de dois exercícios resolvidos passo à passo.

Exemplo 1: Resolva a integral abaixo

$$\frac{d}{dx}[tan(x)]=se{c}^2(x)$$

A partir disso, escolhemos para chamar de “u” a função que não estiver multiplicando $dx$, que nesse caso será $tan(x)$.

$u=tan(x)$

Agora, precisamos calcular a derivada de $u$ em relação a $x$:

${\displaystyle \frac{du}{dx}=se{c}^2(x)}$

Assim como na questão anterior, precisamos deixar toda a integral com a variável $u$, portanto, precisamos substituir todo o $se{c}^2(x)dx$ por alguma expressão que tenha $du$, e como faremos isso? Derivando ambos os lados da equação $u=tan(x)$ em relação à $x$

$$u^{\prime }=(tan(x){)}^{\prime }$$

$$\frac{du}{dx}=se{c}^2(x)$$

Isolando o $du$, teremos:

$$du=se{c}^2(x)dx$$

Achamos exatamente quem queríamos substituir, agora é só trocar $se{c}^2(x)dx$ por $du$ e integrar.

$$\int e^{u}\;du = e^{u}+C$

Devemos agora substituir $u$ pela função original, que é $tg(x)$:

$$e^u+C=e^{tg(x)}+C$$

Portanto, a solução da nossa integral é:

$$\int e^{tg(x)}se{c}^2(x)dx=e^{tg(x)}+C$$

Resumo da ópera, caso haja um produto entre funções, e uma delas é a derivada da outra, podemos realizar a substituição por uma variável e simplificar a integral. O passo à passo consiste em identificar se integral se encaixa em uma das duas situações mencionadas, realizar a substituição do termo adequado, integrar e por fim, voltar para a variável original.