Caso tenha dúvidas em relação as resoluções, recomendo que leia os artigos de operações básicas, fatoração, expressões matemáticas, funções e derivadas.
Questão 1:
Derive a função:
$$3x^2-y^3=10$$
Resolução da questão 1:
$$3x^2-y^3=10$$
$$6x-3y^2y’=0$$
$$-3y^2y’=-6x$$
$$y’=\frac{-6x}{-3y^2}$$
$$y’=\frac{2x}{y^2}$$
Questão 2:
Derive a função:
$$10-4x^2=sen(y)$$
Resolução da questão 2:
$$10-4x^2=sen(y)$$
$$0-8x=cos(y)y’$$
$$y’cos(y)=-8x$$
$$y’=-\frac{8x}{cos(y)}$$
Questão 3:
Determine a derivada da função implícita abaixo:
$$e^y+cos(x)=y^2$$
Resolução da questão 3:
$$e^y+cos(x)=y^2$$
$$e^yy’-sen(x)=2yy’$$
$$e^yy’-2yy’=sen(x)$$
$$y’(e^y-2y)=sen(x)$$
$$y’=\frac{sen(x)}{e^y-2y}$$
Questão 4:
Determine a derivada da função implícita abaixo:
$$sen(y)+x^4=e^y-ln|x|$$
Resolução da questão 4:
$$sen(y)+x^4=e^y-ln|x|$$
$$cos(y)y’+4x^3=e^yy’-\frac{1}{x}$$
$$cos(y)y’-e^yy’=-\frac{1}{x}-4x^3$$
$$y’(cos(y)-e^y)=-\frac{1}{x}-4x^3$$
$$y’=\frac{-\frac{1}{x}-4x^3}{cos(y)-e^y}$$
Questão 5:
Ache a derivada da função:
$$e^xy^2=0$$
Resolução da questão 5:
$$e^xy^2=0$$
$$e^xy^2+e^x2yy’=0$$
$$e^x2yy’=-e^xy^2$$
$$y’=-\frac{e^xy^2}{e^x2y}$$
$$y’=-\frac{y}{2}$$
Questão 6:
Ache a derivada da função:
$$x^5cos(y)+3y^6=x^2$$
Resolução da questão 6:
$$x^5cos(y)+3y^6=x^2$$
$$5x^4cos(y)-x^5sen(y)y’+18y^5y’=2x$$
$$-x^5sen(y)y’+18y^5y’=2x-5x^4cos(y)$$
$$y'(-x^5sen(y)+18y^5)=2x-5x^4cos(y)$$
$$y’=\frac{2x-5x^4cos(y)}{-x^5sen(y)+18y^5}$$
Questão 7:
Calcule a taxa de variação da função:
$$ln|3y|-e^y=tan(x)$$
Resolução da questão 7:
$$ln|3y|-e^y=tan(x)$$
$$\frac{1}{3y}3y’-e^yy’=sec^2(x)$$
$$\frac{3y’}{3y}-e^yy’=sec^2(x)$$
$$\frac{y’}{y}-e^yy’=sec^2(x)$$
$$y’(\frac{1}{y}-e^y)=sec^2(x)$$
$$y’=\frac{sec^2(x)}{\frac{1}{y}-e^y}$$
Questão 8:
Calcule a taxa de variação da função:
$$e^{y^2}2x^3=ln|y|-4$$
Resolução da questão 8:
$$e^{y^2}2x^3=ln|y|-4$$
$$e^{y^2}2yy’2x^3+e^{y^2}6x^2=\frac{1}{y}y’-0$$
$$e^{y^2}4yy’x^3+e^{y^2}6x^2=\frac{1}{y}y’$$
$$e^{y^2}4yy’x^3-\frac{1}{y}y’=-e^{y^2}6x^2$$
$$y'(e^{y^2}4yx^3-\frac{1}{y})=-e^{y^2}6x^2$$
$$y’=\frac{-e^{y^2}6x^2}{e^{y^2}4yx^3-\frac{1}{y}}$$
Questão 9:
Encontre a inclinação da função abaixo:
$$sen(x^2+y^2)=cos(4y)+x$$
Resolução da questão 9:
$$sen(x^2+y^2)=cos(4y)+x$$
$$cos(x^2+y^2)(2x+2yy’)=-sen(4y)4y’+1$$
$$cos(x^2+y^2)2x+cos(x^2+y^2)2yy’=-sen(4y)4y’+1$$
$$cos(x^2+y^2)2yy’+sen(4y)4y’=1-cos(x^2+y^2)2x$$
$$y’(cos(x^2+y^2)2y+sen(4y)4)=1-cos(x^2+y^2)2x$$
$$y’=\frac{1-cos(x^2+y^2)2x}{cos(x^2+y^2)2y+sen(4y)4}$$
Questão 10:
Encontre a inclinação da função abaixo:
$$e^{x^3y^5}=ln|y|cos(x)$$
Resolução da questão 10:
$$e^{x^3y^5}=ln|y|cos(x)$$
$$e^{x^3y^5}(3x^2y^5+x^35y^4y’)=\frac{1}{y}\cdot y’\cdot cos(x)-ln|y|sen(x)$$
$$e^{x^3y^5}(3x^2y^5+x^35y^4y’)=\frac{cos(x)}{y}\cdot y’-ln|y|sen(x)$$
$$e^{x^3y^5}3x^2y^5+e^{x^3y^5}x^35y^4y’=\frac{cos(x)}{y}\cdot y’-ln|y|sen(x)$$
$$e^{x^3y^5}x^35y^4y’-\frac{cos(x)}{y}\cdot y’=-ln|y|sen(x)-e^{x^3y^5}3x^2y^5$$
$$y'(e^{x^3y^5}x^35y^4-\frac{cos(x)}{y})=-ln|y|sen(x)-e^{x^3y^5}3x^2y^5$$
$$y’=\frac{-ln|y|sen(x)-e^{x^3y^5}3x^2y^5}{e^{x^3y^5}x^35y^4-\frac{cos(x)}{y}}$$
