Regra da Cadeia: Como Derivar Funções Compostas

Esse é o terceiro dentre os três métodos de derivar uma função, e o que será mais útil, diga-se de passagem, pois a maioria das funções que aparecem para serem derivadas, necessitarão desse método, como veremos a seguir.

O Que é a Regra da Cadeia?

É um método que nos permite encontrar a derivada de funções compostas. Essa regra é especialmente útil em matemática aplicada (área que envolve aplicações cotidianas para conceitos matemáticos), onde frequentemente lidamos com funções que são formadas pela combinação de outras. Para refrescar sua memória, uma função composta é aquela onde uma função está dentro de outra, em outras palavras, onde deveria ter apenas a variável independente, temos outra função.

Exemplos de funções compostas:

1) $f(x)=sen(2x+1)$

2) $g(u)=e^{\sqrt{x^3}}$

3) $h(x)=ln|cos(2x)|$

Por exemplo, se temos duas funções, $f(x)$ e $g(u)$, onde $u=f(x)$, então podemos escrever a função composta como $g[f(x)]$.

Porém, para que possamos aplicar a Regra da Cadeia, é necessário que tanto $f(x)$ quanto $g(u)$ sejam funções que possam ser derivadas. O teorema que fundamenta esta regra estabelece que, se ambas as funções forem diferenciáveis em seus respectivos domínios, a derivada da função composta também será diferenciável (traduzindo do matematiquês, a derivada da função composta será possível no caso das funções individuais que a formam serem deriváveis).

Em termos formais, o teorema é expresso da seguinte forma:

$${\displaystyle \frac{d}{dx}[g(f(x))]=\frac{d}{du}[g(u)]\cdot \frac{d}{dx}[f(x)]}$$

Passo a Passo para Aplicar a Regra da Cadeia

Para aplicar a Regra da Cadeia devemos seguir o seguinte passo a passo:

1. Identifique as Funções Compostas: Determine qual é a função externa $g(u)$ e a função interna $f(x)$.

2. Derive Ambas as Funções: Calcule as derivadas $f^{\prime }(x)$ e $g^{\prime }(u)$ separadamente.

3. Multiplique as derivadas: Após derivar as funções, multiplique as derivadas, assim obtendo a derivada da função composta.

4. Simplifique o Resultado (opcional): Finalizada a derivação, simplifique a expressão final, se possível.

Exercícios resolvidos de regra da cadeia

Vamos aplicar a Regra da Cadeia em alguns exemplos práticos:

Exemplo 1: Encontre a derivada da função $t(x)=(3x^2+1{)}^5$.

Identificando as funções:
$$f(x)=3x^2+1$$
$$g(u)=u^5$$

Derivadas:
$$f^{\prime }(x)=6x$$

$$g^{\prime }(u)=5u^4$$

Multiplicação das derivadas:
$${\displaystyle \frac{d}{dx}t(x)=g^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)=5(f(x){)}^4\cdot 6x}$$

Resultado:
$${\displaystyle \frac{d}{dx}t(x)=30x(3x^2+1{)}^4}$$

Exemplo 2: Derive  a função $h(x)=cos(2x^3)$.

Identificação das funções:
$$f(x)=2x^3$$
$$g(u)=cos(u)$$

Derivadas:
$$f^{\prime }(x)=6x^2$$
$$g^{\prime }(u)=-sin(u)$$

Multiplicação das derivadas:
$${\displaystyle \frac{d}{dx}h(x)=g^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)=-sin(f(x))\cdot 6x^2}$$

Resultado:
$${\displaystyle \frac{d}{dx}h(x)=-6x^2\cdot sin(2x^3)}$$

Exemplo 3: Calcule a taxa de variação da função $k(x)=ln(5x^2+2)$.

Identificação das funções:
$$f(x)=5x^2+2$$
$$g(u)=ln(u)$$

Derivadas:
$$f^{\prime }(x)=10x$$
$$g^{\prime }(u)=\frac{1}{u}$$

Multiplicação das derivadas:
$${\displaystyle \frac{d}{dx}k(x)=g^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)=\frac{1}{f(x)}\cdot 10x}$$

Resultado:
$${\displaystyle \frac{d}{dx}k(x)=\frac{10x}{5x^2+2}}$$

Conhecendo as regras da cadeia, do produto e do quociente, é possível derivar a maioria das funções elementares.