Aplicação de derivadas: Retas tangente e reta normal

Derivadas
Teoria
10/04/2025
Daniel Duarte

Além da derivada representar a taxa de variação instantânea de uma função, ela também é a inclinação da função em um determinado ponto (caso queira entender o porquê, confira nosso outro artigo sobre a derivada ser a inclinação da função). A partir disso, podemos achar duas retas auxiliares que podem ajudar na análise de uma função, e é sobre isso que falarei neste artigo.

O que é uma reta tangente?

Dizemos que uma reta é tangente a uma curva, quando ela toca essa curva em um único ponto, isso explica a expressão “tangenciar”, que é usada em contextos onde algo toca outra coisa de forma muito sutil, de forma leve, quase imperceptível. Quando trabalhamos com funções, podemos chamar a figura formada pelo gráfico da função de “curva de uma função” (fica a observação que na matemática, uma reta também é uma curva, achei importante mencionar, pois no dia a dia é comum associarmos a palavra “curva” com coisas arredondadas). Assim, quando queremos achar a reta tangente à curva da função em um ponto, significa que precisamos achar a equação da reta tangente que toca o gráfico da função nesse ponto específico.

Tomemos uma função $f (x)$ qualquer, a reta tangente a um ponto $P$ com coordenadas genéricas $x_{0}$ e $y_{0}$ pode ser representada graficamente da seguinte forma:

O que é uma reta normal?

Tanto na matemática quanto na física, quando falamos que algum elemento (reta, vetor, figura) é “normal” em relação a outra coisa, queremos dizer que ele é perpendicular a essa coisa, ou seja, forma uma ângulo de noventa graus (ângulo reto). Então, se eu digo que uma reta é normal a outra reta, significa que o ângulo formado entre elas é de $90 °$ Extrapolando essa ideia, uma reta normal à curva de uma função em um determinado ponto, será a reta que forma $90 °$ em relação à curva.

Um fato curioso e importante (guarde essa informação, pois a usarei posteriormente), é que a reta tangente em um ponto é perpendicular à reta normal nesse mesmo ponto.

Isso irá acontecer com todas as retas tangentes e normais para quaisquer pontos no gráfico da função.

Como calcular as equações das retas tangente e normal?

Resumidamente, a derivada de uma função em um determinado ponto é igual ao coeficiente angular da reta tangente a esse mesmo ponto, por sua vez, o coeficiente angular indica quão inclinada uma reta está, quanto maior for o valor dele, mais inclinada ela estará (simplificadamente, a inclinação da reta é o ângulo que ela faz com o eixo horizontal, então, quanto maior o coeficiente angular, maior o ângulo entre a reta tangente e o eixo $x$ ). A chamada equação da reta, que utilizamos para representá-la matematicamente, é dada pela seguinte expressão:

$y = m (x - x_{0}) + y_{0}$

Onde $m$ é o coeficiente angular, $x_{0}$ é um valor de $x$ qualquer que pertença a reta, e $y_{0}$ é o seu correspondente no eixo $y$ . Portanto, se tivermos a derivada no ponto $x_{0}$ , e tivermos $y_{0}$ , conseguiremos achar a equação da reta tangente. Vamos resolver um exemplo para vermos isso na prática e para que fique mais claro o assunto.

Exemplo 1: Ache a equação da reta tangente à curva da função $f (x) = x^{2} + 1$ no ponto $x = 1$ .

Primeiramente, precisamos entender o que a questão está pedindo, e para isso, vamos desenhar o gráfico da função quadrática que a questão nos deu (se não souber montar o gráfico, dá uma olhada no nosso artigo sobre função de $2^{\circ}$ ).

Para marcar o ponto $x = 1$ no gráfico, precisamos encontrar a coordenada no eixo $f (x)$ , para tal, basta calcularmos $f (1)$ .

$f (x) = x^{2} + 1$

$f (1) = 1^{2} + 1 = 2$

Portanto, o ponto ao qual a questão se refere é o ponto $(1, 2)$ , marquemos então ele no gráfico.

A questão está nos pedindo a equação da reta tangente a esse ponto, ou seja, quer a equação da reta que toca a função apenas nesse ponto $P (1, 2)$ .

Chamei a reta de $r$ apenas para identificarmos ela na hora de calcular sua equação. Sabendo que a equação da reta tangente tem a seguinte forma:

$r : y = m (x - x_{0}) + y_{0}$

O $m$ é o coeficiente angular, e como disse antes, podemos obtê-lo calculando a derivada da função $f (x) = x^{2} + 1$ para $x = 1$ .

$f^{'} (x) = 2 x$

$f^{'} (1) = 2.1 = 2$

Já temos $x_{0}$ e $y_{0}$ , pois como a reta tangente toca (intersecta) a função no ponto $P (1, 2)$ , podemos dizer que o ponto pertence a reta, e como $x_{0}$ e $y_{0}$ são coordenadas de um ponto qualquer que pertença a reta, $x_{0} = 1$ e $y_{0} = 2$ (caso tenha dúvida na representação do par ordenado $P (1, 2)$ e o que ele significa, tem um artigo só sobre esse assunto aqui no blog). Agora é só substituir os valores encontrados na equação genérica da reta $r$ .

$r : y = m (x - x_{0}) + y_{0}$

$r : y = 2 (x - 1) + 2$

$r : y = 2 \cdot x - 2 \cdot 1 + 2$

$r : y = 2 x$

Portanto, a equação da reta tangente à curva da função $f (x) = x^{2} + 1$ para $x = 1$ é $y = 2 x$ .

Exemplo 2: Ache a equação da reta normal à curva da função $f (x) = e^{x}$ no ponto $x = 0$ .

Primeiramente, vamos desenhar o gráfico da função exponencial $f (x) = e^{x}$ .

Para marcar o ponto no gráfico, precisamos calcular sua coordenada no eixo $f (x)$ , para isso, calculemos $f (0)$ .

$f (x) = e^{x}$

$f (0) = e^{0} = 1$

O ponto que a questão se refere é $P (0, 1)$ , vamos marcá-lo no gráfico para nos orientarmos.

Queremos encontrar a equação da reta normal à curva nesse ponto, que representarei no gráfico (chamarei ela de reta $s$ ).

Mas afinal, como achamos a equação da reta normal? Utilizaremos de uma informação que disse anteriormente, que a reta normal é perpendicular à reta tangente, e por causa disso, o coeficiente de uma é o inverso oposto da outra.

Não entendeu nada do que eu disse, não é? Vamos passo a passo, se eu tenho um número $a$ qualquer, o inverso desse número é $1$ dividido por ele. Seguindo essa regra matemática, o inverso de $5$ é $\frac{1}{5}$ , o inverso de $8$ é $\frac{1}{8}$ , e assim por diante. E o oposto de um número $a$ qualquer, é esse mesmo número, com o sinal contrário, então o oposto de $2$ é $- 2$ , o oposto de $- 4$ é $4$ , e por aí vai. Então, se eu digo que um número $b$ é o oposto inverso de um outro número $a$ , significa que:

$b = - \frac{1}{a}$

Chamando então o coeficiente angular da reta tangente de $m_{r}$ , e o coeficiente angular da reta normal de $m_{s}$ , já que elas são perpendiculares, o coeficiente da reta normal é o inverso oposto do coeficiente da reta tangente (se quiser entender de onde vem essa relação entre os coeficientes de retas perpendiculares, tem um artigo completinho no blog sobre isso).

$m_{s} = - \frac{1}{m_{r}}$

Sabendo que a equação da reta normal tem a seguinte forma:

$s : y = m_{s} (x - x_{0}) + y_{0}$

Podemos reescrever o coeficiente angular da reta normal ( $m_{s}$ ) em função do coeficiente angular da reta tangente.

$s : y = - \frac{1}{m_{r}} (x - x_{0}) + y_{0}$

Isso irá nos ser útil, porque sabemos encontrar o coeficiente da reta tangente, ele é igual à derivada da função no ponto $x_{0}$ ( $m_{r} = f^{'} (x_{0})$ ), e $x_{0}$ nesse exemplo é igual à $0$ . A reta normal corta (intersecta) a função no ponto $P (0, 1)$ , então $x_{0} = 0$ e $y_{0} = 1$ , nos resta apenas calcular $m_{r}$ , e faremos isso ao calcular $f^{'} (0)$ .

$f (x) = e^{x}$

$f^{'} (x) = e^{x}$

$m_{r} = f^{'} (0) = e^{0} = 1$

Substituindo na equação da reta $s$ teremos:

$s : y = - \frac{1}{m_{r}} (x - x^{0}) + y_{0}$

$s : y = - \frac{1}{1} (x - 0) + 1$

$s : y = - 1 (x - 0) + 1$

$s : y = - x + 0 + 1$

$s : y = - x + 1$

Por fim, encontramos a equação da reta normal à curva da função $f (x) = e^{x}$ para $x = 0$ . E se a questão tivesse nos pedido a equação da reta tangente? Já temos tudo o que precisamos para encontrá-la.

$r : y = m_{r} (x - x_{0}) + y_{0}$

$r : y = 1 (x - 0) + 1$

$r : y = x - 0 + 1$

$r : y = x + 1$

Para fechar com chave de ouro, que tal representarmos as duas retas no gráfico?

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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