Derivada pela definição: Como calcular a derivada através dos limites

Revisão sobre o conceito de derivada

Derivada é um conceito fundamental no cálculo, que descreve a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, ou seja, indica o quanto a função varia em relação aos valores da variável independente. Ela atende por outros dois nomes: Inclinação da função e taxa de variação.

O que é derivada pela definição?

A derivada pela definição é uma maneira de calcular a derivada de uma função usando um limite, pois o conceito de derivada surge dos limites. Matematicamente, a derivada de uma função $f$ em um ponto $x$, pela definição, é dada por:

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}}$$

Ao invés de utilizar a tabela de derivadas, resolvemos esse limite para $\mathrm{\Delta }x$ tendendo à zero para calcular a derivada de uma função. Vale ressaltar que “$\mathrm{\Delta }x$”, também chamado de “$h$”, é uma variaçãozinha infinitesimal de $x$, que tende à zero.

Esse limite sempre resultará em uma indeterminação, por causa do $\mathrm{\Delta }x$, então, precisamos de alguma forma eliminar ele para resolvermos o limite, e para fazermos isso serão necessárias algumas manipulações matememáticas.

Como resolver uma derivada pela definição?

Para resolver a derivada pela definição, você deveria seguir os seguintes passos:

Identifique a função: Determine a função para a qual você deseja encontrar a derivada.

Substitua na equação da derivada pela definição: Insira na equação as expressões que correspondem a $f(x+\mathrm{\Delta }x)$ e $f(x)$.

Calcule o limite: Simplifique a expressão resultante e calcule o limite quando $\mathrm{\Delta }x$ tende a zero.

Para simplificar a expressão, você pode usar técnicas como racionalização ou fatoração para facilitar o cálculo do limite.

Exercícios resolvidos de derivada pela definição

1. Calcule a derivada pela definição da função $f(x)=3x-1$

Vamos aplicar a definição da derivada para resolver a função:

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\Delta }x}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}}$$

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\Delta }x}{lim}\frac{3(x+\mathrm{\Delta }x)-1-(3x-1)}{\mathrm{\Delta }x}}$$

Para verificar se o limite está mesmo indeterminado, vamos tentar resolvê-lo substituindo zero onde tem $\mathrm{\Delta }x$.

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{3(x+\mathrm{\Delta }x)-1-(3x-1)}{\mathrm{\Delta }x}\$=}$$

$$\frac{3(x+0)-1-(3x-1)}{0}=\frac{3x-1-3x+1}{0}=\frac{0}{0}$$

Como já havia dito, será necessário eliminar o $\mathrm{\Delta }x$ para podermos resolvê-lo. Comecemos simplificando o numerador.

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{3(x+\mathrm{\Delta }x)-1-(3x-1)}{\mathrm{\Delta }x}\$=}$$

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{3x+3\mathrm{\Delta }x-1-3x+1}{\mathrm{\Delta }x}}$$

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{3\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}}$$

Por fim, eliminamos o $\mathrm{\Delta }x$

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{3\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}}$$

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}3=3}$$

Chegamos na seguinte resposta: A derivada da função $f(x)=3x-1$ é igual à $3$.

$$f^{\prime }(x)=3$$

2. Determine a derivada de $f(x)=g(x)=x^2$, utilizando a definição de derivada.

Começamos substituindo os respectivos termos no limite.

$$g^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\Delta }x}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}}$$

$$g^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\Delta }x}{lim}\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}}$$

Em seguida, expandimos o produto notável.

$$g^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\Delta }x}{lim}\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}}$$

$$g^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\Delta }x}{lim}\frac{x^2+2x\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }{x}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}}$$

Simplificamos o numerador eliminando os termos semelhantes e colocando o $\mathrm{\Delta }x$ em evidência.

$$g^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\Delta }x}{lim}\frac{x^2+2x\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }{x}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}}$$

$$g^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\Delta }x}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x(2x+\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}}$$

Enfim, simplificamos o $\mathrm{\Delta }x$ e calculamos o limite, substituindo zero no lugar do $\mathrm{\Delta }x$ que restou.

$$g^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\Delta }x}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x(2x+\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}}$$

$$g^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\Delta }x}{lim}2x+\mathrm{\Delta }x=2x+0=2x}$$

Portanto, encontramos que a derivada da função $g(x)=x^2$ é 2x.

$$\frac{d}{dx}[g(x)]=2x$$

Dá um trabalho calcular derivadas dessa forma, não acha? Por isso que utilizamos a tabela de derivadas, ela agrupa a derivada dos principais tipos de função, para que não precisemos fazer todo esse processo toda vez que formos derivar.