No fascinante mundo do cálculo, as regras de derivação, como a regra do produto e a regra do quociente, são ferramentas essenciais que utilizamos frequentemente. No entanto, muitos estudantes se deparam com essas regras sem compreender suas origens, aplicando-as como se fossem meras receitas de bolo. Este artigo é um convite aos curiosos da matemática, onde exploraremos a construção dessas regras a partir da definição de derivada, das propriedades de limites e de alguns conceitos de matemática básica.
Alguns lembretes
Lembre-se da definição de derivada:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[\frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} \right] $$
Além disso, é importante recordar algumas propriedades fundamentais dos limites, que usamos frequentemente no cálculo:
$$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$$
$$\lim_{x \to a} [f(x) – g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) – \lim_{x \to a} g(x)$$
$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$$
As propriedades acima são válidas desde que os limites existam.
Regra do Produto
A regra do produto nos diz que:
$$\frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$
Ou seja, a derivada desse produto de funções é igual à derivada da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.
Para essa demonstração, consideremos uma função $f$ que é o produto de duas funções deriváveis $u(x)$ e $v(x)$:
$$f(x) = u(x) \cdot v(x)$$
Calculando $ f(x + \Delta x)$, ou seja, substituindo em todo lugar que tem $ x $ por $ x + \Delta x $, temos:
$$f(x + \Delta x) = u(x + \Delta x) \cdot v(x + \Delta x)$$
Sabendo que $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, substituindo esses resultados na definição de derivada, temos que a derivada desse produto é dada por:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x + \Delta x) \cdot v(x + \Delta x) – u(x) \cdot v(x)}{\Delta x} \right] $$
Para facilitar a manipulação da expressão, podemos subtrair e somar o termo $ u(x+\Delta x) \cdot v(x)$ no numerador:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x+\Delta x) \cdot v(x+\Delta x) \textcolor{red}{- u(x+\Delta x) \cdot v(x) + u(x+\Delta x) \cdot v(x)} – u(x) \cdot v(x)}{\Delta x} \right]$$
Essa técnica de subtrair e somar um mesmo termo é válida, pois não altera o valor da expressão, já que isso é igual a $ 0 $. Agora, colocando em evidência $ u(x+\Delta x) $ e $ v(x) $, chegamos à seguinte expressão:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x+\Delta x) \cdot (v(x+\Delta x) – v(x)) + v(x) \cdot (u(x+\Delta x) – u(x))}{\Delta x} \right]$$
Podemos separar essa expressão em duas frações para obter:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x+\Delta x) \cdot (v(x+\Delta x) – v(x))}{\Delta x} + \frac{v(x) \cdot (u(x+\Delta x) – u(x))}{\Delta x} \right]$$
Agora, utilizando a propriedade de que o limite da soma é igual à soma dos limites:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ u(x+\Delta x) \cdot \frac{v(x+\Delta x) – v(x)}{\Delta x} \right] + \lim_{\Delta x \to 0} \left[ v(x) \cdot \frac{u(x+\Delta x) – u(x)}{\Delta x} \right]$$
Aplicamos a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites. No primeiro termo:
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left[ u(x+\Delta x) \cdot \frac{v(x+\Delta x) – v(x)}{\Delta x} \right] = \lim_{\Delta x \to 0} u(x+\Delta x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x) – v(x)}{\Delta x}$$
No segundo termo:
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left[ v(x) \cdot \frac{u(x+\Delta x) – u(x)}{\Delta x} \right] = \lim_{\Delta x \to 0} v(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) – u(x)}{\Delta x}$$
Perceba que, quando $\Delta x \to 0 $ temos que $$ \lim_{\Delta x \to 0} u(x+\Delta x) = u(x) $$ e $$ \lim_{\Delta x \to 0} v(x) = v(x)$$ Portanto:
$$f'(x) = u(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{v(x+\Delta x) – v(x)}{\Delta x} \right] + v(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x+\Delta x) – u(x)}{\Delta x} \right]$$
Agora acabou, pois o primeiro limite é a derivada de $v(x)$, já que pela definição de derivada:
$$v'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{v(x+\Delta x) – v(x)}{\Delta x} \right]$$
e
$$u'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x+\Delta x) – u(x)}{\Delta x} \right]$$
Então, finalmente chegamos em:
$$f'(x) = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x)$$
Reorganizando a expressão para a forma com a qual estamos acostumados:
$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$
Portanto, a derivada do produto de duas funções pode ser expressa como:
$$\frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$
Regra do Quociente
A regra do quociente nos diz que:
$$\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}, \text{ para $v(x) \neq 0$}$$
ou seja, a derivada do quociente de duas funções é igual a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.
Para essa demonstração, consideremos uma função $ f $ que é o quociente de duas funções deriváveis $u(x)$ e $v(x)$:
$$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)},$$
onde $ v(x) \neq 0 $
Calculando $ f(x + \Delta x) $, ou seja, substituindo em todo lugar que tem $x $ por $ x + \Delta x $, temos:
$$f(x + \Delta x) = \frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)}$$
Substituímos esses resultados na definição de derivada:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)} – \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \right ]$$
Para simplificar a expressão, colocamos os dois termos do numerador sob um denominador comum:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{\frac{u(x+\Delta x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x) \cdot v(x)}}{\Delta x}\right ]$$
Reorganizamos a fração, realizando a divisão de fração, segue que:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{u(x+\Delta x) v(x) – u(x) v(x+\Delta x)}{\Delta x \cdot v(x+\Delta x)\cdot v(x)} \right ]$$
Para fazer os termos que precisamos aparecer, somamos e subtraímos o termo estratégico $u(x) \cdot v(x) $ no numerador. Isso resulta em:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x+\Delta x) \cdot v(x) \textcolor{red}{- u(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v(x)} – u(x) \cdot v(x+\Delta x)}{\Delta x \cdot v(x+\Delta x) \cdot v(x)} \right]$$
Agora, podemos reorganizar os termos no numerador, colocando $- u(x) $ e $v(x)$ em evidência:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{[u(x+\Delta x) – u(x)] \cdot v(x) – u(x)\cdot [-v(x) + v(x+\Delta x)]}{\Delta x \cdot v(x+\Delta x) \cdot v(x)} \right]$$
Essa manipulação é essencial porque agora conseguimos separar o numerador em dois termos distintos, cada um associado a uma derivada. Separando em duas frações:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{[u(x+\Delta x) – u(x)] \cdot v(x)}{\Delta x \cdot v(x+\Delta x) v(x)} – \frac{u(x)\cdot [v(x+\Delta x) -v(x)]}{\Delta x \cdot v(x+\Delta x) v(x)} \right]$$
Sabendo que o limite da subtração é a subtração dos limites e separando os produtos, podemos escrever:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{[u(x+\Delta x) – u(x)]}{\Delta x} \cdot \frac{v(x)}{v(x+\Delta x) v(x)} \right] – \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x)}{v(x+\Delta x) v(x)} \cdot \frac{[v(x+\Delta x) -v(x)]}{\Delta x} \right]$$
Chamaremos essa expressão acima de equação 1, pois iremos voltar nela posteriormente.
Aplicando a propriedade de que o limite da multiplicação é a multiplicação dos limites em ambos os limites da equação 1, e analisando separadamente cada um:
Primeiro limite:
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{[u(x+\Delta x) – u(x)]}{\Delta x} \cdot \frac{v(x)}{v(x+\Delta x) v(x)} \right] = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{[u(x+\Delta x) – u(x)]}{\Delta x}\right] \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \left[\frac{v(x)}{v(x+\Delta x) \cdot v(x)} \right]$$
Perceba que o primeiro fator desse produto é a derivada da função $u(x)$, e calculando tudo, chegamos à seguinte expressão:
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{[u(x+\Delta x) – u(x)]}{\Delta x}\right] \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \left[\frac{v(x)}{v(x+\Delta x) v(x)} \right] = u'(x) \cdot \frac{v(x)}{(v(x) \cdot v(x))}$$
Segundo limite:
De maneira semelhante:
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x)}{v(x+\Delta x) v(x)} \cdot \frac{[v(x+\Delta x) -v(x)]}{\Delta x} \right] = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x)}{v(x+\Delta x) v(x)}\right] \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \left[\frac{[v(x+\Delta x) -v(x)]}{\Delta x} \right]$$
O segundo fator do produto de limites acima é a derivada de $v(x)$, portanto, fazendo os cálculos:
$$\lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x)}{v(x+\Delta x) v(x)}\right] \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \left[\frac{[v(x+\Delta x) -v(x)]}{\Delta x} \right] = \frac{u(x)}{(v(x) \cdot v(x))} \cdot v'(x)$$
Agora, substituindo esses resultados na equação 1:
$$f'(x) = u'(x) \cdot \frac{v(x)}{(v(x) \cdot v(x))} – \frac{u(x)}{(v(x) \cdot v(x))} \cdot v'(x)$$
Finalmente, simplificando a expressão, temos:
$$f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}$$
ou seja,
$$\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}, \text{ para $v(x) \neq 0$.}$$
Obtemos a famosa regra do quociente.
Licenciado em Matemática pela UEPB. Pós-graduando em Modelagem Matemática e Cálculo Avançado.
