Função composta: O que é e como montá-la

Funções
ExercíciosTeoria
11/10/2024
Daniel Duarte

Juntamente com a função inversa, a função composta está presente na matéria de pré-cálculo em muitas faculdades, pois ela estará presente em todas as matérias de cálculo.

O que é uma função composta?

É uma função que é junção de duas ou mais funções, ela também é conhecida como “função de função” e serve para encurtar o caminho do cálculo de alguns valores e para podermos analisar funções complexas. Tomemos as funções $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ , é possível formar duas funções compostas a partir delas:

1) Função $f$ de $g$ de $x$

$f (g (x)) = e^{x^{2}}$

2) Função $g$ de $f$ de $x$

$g (f (x)) = e^{2 x}$

Podemos ver acima as combinações entre a função exponencial e a função quadrática, elas não são feitas de qualquer forma, há um processo que deve ser respeitado e representações específicas para indicar que uma função é composta, como veremos nos próximos tópicos.

Como montar uma função composta?

Vamos revisar como achamos o valor de uma função qualquer, utilizemos para exemplo a função $f (x) = x^{2} - 4 x + 4$ , se quisermos calcular $f (3)$ , ou seja, o valor da função para $x = 3$ , temos que substituir o $3$ nos lugares onde tiver $x$ na função

$f (x) = x^{2} - 4 x + 4$

$f (3) = 3^{2} - 4.3 + 4$

$f (3) = 9 - 12 + 4$

$f (3) = 1$

E se ao invés de $3$ , quiséssemos calcular $f (a)$ ? Faríamos o mesmo processo, colocamos o $a$ onde tiver $x$ na função

$f (x) = x^{2} - 4 x + 4$

$f (a) = a^{2} - 4 a + 4$

Então, seguindo esse raciocínio, se queremos calcular $f (x^{3} + 2)$ , substituímos essa expressão onde tiver a variável independente ( $x$ )

$f (x) = x^{2} - 4 x + 4$

$f (x^{3} + 2) = (x^{3} + 2)^{2} - 4 (x^{3} + 2) + 4$

$f (x^{3} + 2) = x^{6} + 4 x^{3} + 4 - 4 x^{3} - 8 + 4$

$f (x^{3} + 2) = x^{6}$

Se você entendeu esse processo, então já sabes como montar uma função composta, e utilizarei um exemplo para comprovar isso.

Exemplo 1:

Dadas as funções $f (x) = x^{2} - 3 x$ e $g (x) = s e n (x)$ , calcule $f (g (x))$

Bom, seguindo a lógica que abordamos agora há pouco, devemos substituir $g (x)$ onde tivermos $x$ na função $f (x)$ , só que quem é $g (x)$ ? O seno de $x$ , portanto, devemos substituir o $s e n (x)$

$f (x) = x^{2} - 3 x$

$f (g (x)) = (s e n (x))^{2} - 3. s e n (x)$

$f (g (x)) = s e n^{2} (x) - 3 s e n (x)$

Prontinho, calculamos uma função composta, a função “ $f$ de $g$ de $x$ ”, e a representação é aquela que está no enunciado $f (g (x))$ , onde a “função externa” é $f (x)$ e a “função interna é $g (x)$ . Mas e se a questão pedisse para calcularmos $g (f (x))$ , o resultado seria o mesmo? Vamos calcular e ver se é isso mesmo. Dessa vez, substituiremos $x^{2} - 3 x$ onde tiver $x$ na função $g (x)$

$g (x) = s e n (x)$

$g (f (x)) = s e n (x^{2} + 3 x)$

Chegamos em uma expressão totalmente diferente, e isso irá acontecer em quase todos os casos, pois a função composta não é comutativa, ou seja, alterar a ordem da combinação mudará a função que encontraremos.

Exemplo 2:

Dadas as funções $f (x) = \sqrt{x}$ , $g (x) = x - 4$ e $h (x) = e^{x}$ , calcule $f (g (h (x)))$

Agora temos três funções, o método em si será igual, no entanto, precisamos nos atentar a um detalhe, quando tivermos que calcular uma função composta formada por três ou mais funções, precisamos começar pela função mais interna e depois iremos para as mais externas. No exemplo acima, primeiros devemos calcular $g (h (x))$ e o resultado disso, substituiremos onde tiver $x$ na função $f (x)$ , calculando assim a função $f (g (h (x)))$

1) Calculando $g (h (x))$

$g (x) = x - 4$

$g (h (x)) = e^{x} - 4$

2) Calculando $f (g (h (x)))$

$f (x) = \sqrt{x}$

$f (g (h (x))) = \sqrt{e^{x} - 4}$

É comum encontrarmos outra representação para a função composta, por exemplo: “Calcule $f \circ g$ …” Esse $f \circ g$ é a mesma coisa que $f (g (x))$ , então, poderíamos representar a função que encontramos nessa questão assim:

$f \circ g \circ h = \sqrt{e^{x} - 4}$

Nessa representação fica fácil identificar quem é a função mais interna, pois é a que fica à direita de todas as outras.

Valor numérico de uma função composta

Calcular o valor numérico de uma função composta é muito simples, pois basta substituirmos o valor que queremos calcular onde tiver a variável independente, coisa que revisamos no tópico passado.

Exemplo 1:

Dada a função $f (g (x)) = \sqrt{x^{3} - 2}$ , calcule $f (g (3))$

Devemos substituir $3$ onde tiver $x$ e simplificar ao máximo a expressão resultante

$f (g (x)) = \sqrt{x^{3} - 2}$

$f (g (3)) = \sqrt{3^{3} - 2}$

$f (g (3)) = \sqrt{27 - 2}$

$f (g (3)) = \sqrt{25}$

$f (g (3)) = 5$

Isso por si só não parece grande coisa, mas a função composta nos permite economizar passos em um cálculo, pois digamos que tivéssemos as funções $f (x) = \sqrt{x}$ e $g (x) = x^{3} - 2$ , e fosse pedido para calcular $g (3)$ e depois pegar o resultado disso e substituir em $f (x)$ , teríamos que realizar dois passos, só que a função do exercício que acabamos de resolver fez justamente isso, de uma vez só. Pode parecer confuso, mas mostrarei um exemplo para ficar claro.

Exemplo 2:

Dadas as funções $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 3$ , calcule $g (2)$ e em seguida substitua o resultado na função $f (x)$ . Determine $f (g (x))$ e calcule $f (g (2))$ e compare os resultados.

Vamos cumprir o primeiro comando da questão

$g (x) = x + 3$

$g (2) = 2 + 3$

$g (2) = 5$

$f (x) = x^{2}$

$f (5) = 5^{2}$

$f (5) = 25$

Agora, vamos montar a função composta $f (g (x))$ e calcular $f (g (2))$

$f (x) = x^{2}$

$f (g (x)) = (x + 3)^{2}$

$f (g (2)) = (2 + 3)^{2}$

$f (g (2)) = 5^{2}$

$f (g (2)) = 25$

Chegamos no mesmo valor, só que com um passo à menos, imagina o quanto poderíamos economizar se tivéssemos uma função composta com três ou mais funções.

Diagrama da função composta

Geralmente é utilizado um diagrama (representação gráfica) para mostrar o que foi explicado no tópico anterior, só que ele mostra de forma geral, considerando quaisquer valores para a variável independente:

Função composta de funções inversas

Se estais com a memória boa, lembrará que falei anteriormente que a ordem de cálculo das funções inversas altera o resultado, mas que isso se aplicava a quase todos os casos, uma das exceções, que é quando calculamos funções compostas de funções que são inversas, nesse caso, independentemente de como calculemos a composta, ela será igual à função identidade.

Exemplo:

Dadas as funções $f (x) = l o g_{2} x$ e $g (x) = 2^{x}$ , calcule $f (g (x))$ e $g (f (x))$

A função logarítmica é inversa da função exponencial, portanto, ambas as compostas devem ter o mesmo resultado ( $h (x) = x$ , função identidade)

1) Calculando $f (g (x))$

$f (x) = l o g_{2} x$

$f (g (x)) = l o g_{2} 2^{x}$

$f (g (x)) = x . l o g_{2} 2$

$f (g (x)) = x .1$

$f (g (x)) = x$

2) Calculando $g (f (x))$

$g (x) = 2^{x}$

$g (f (x)) = 2^{l o g_{2} x}$

$g (f (x)) = x$

Gráfico de uma função composta

Há uma infinidade de possibilidades de funções compostas, logo, também existem infinitos gráficos possíveis com comportamentos completamente diferentes, então não faz sentido e nem é possível desenvolver uma técnica para desenhar todos esses gráficos, sendo necessária a utilização de softwares para a visualização deles. Mas para os curiosos de plantão, irei mostrar os gráficos de duas funções simples e de suas possíveis combinações.

1) Gráfico da função $f (x) = s e n (x)$

2) Gráfico da função $g (x) = e^{x}$

3) Gráfico da função $f (g (x)) = s e n (e^{x})$

4) Gráfico da função $g (f (x)) = e^{s e n (x)}$

Exercícios resolvidos de função composta

1. Dadas as funções $f (x) = l n | x |$ e $g (x) = s e n (x + 2)$ , determine $f \circ g$ e $g \circ f$

Primeiramente calculamos $f \circ g$

$f (x) = l n | x |$

$f \circ g = l n | s e n (x + 2) |$

Por fim, calculamos $g \circ f$

$g (x) = s e n (x + 2)$

$g \circ f = s e n (l n | x | + 2)$

2. Dadas as funções $f (x) = x^{2} - 4$ e $g (x) = \sqrt{x}$ , calcule $f (g (16))$

Podíamos calcular $g (16)$ e depois jogarmos o resultado em $f (x)$ , no entanto, podemos calcular $f (g (x))$ e aí sim substituímos o $16$ onde tiver $x$ na função composta

$f (x) = x^{2} - 4$

$f (g (x)) = (\sqrt{x})^{2} - 4$

$f (g (x)) = x - 4$

$f (g (16)) = 16 - 4$

$f (g (16)) = 12$

3. Dadas as funções $f (x) = \sqrt{x - 2}$ , $g (x) = 2^{x}$ e $h (x) = x^{2} + s e n (x)$ , calcule $g \circ h \circ f$

Começaremos calculando $h \circ f$

$h (x) = x^{2} + s e n (x)$

$h \circ f = (\sqrt{x - 2})^{2} + s e n (\sqrt{x})$

$h \circ f = x - 2 + s e n (\sqrt{x})$

Agora calcularmos $g \circ h \circ f$ , sempre um passo de cada vez

$g (x) = 2^{x}$

$g \circ h \circ f = 2^{x - 2 + s e n (\sqrt{x})}$

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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