Exercícios de equação de 2° grau – Questões diretas

Equações
Exercícios
23/09/2024
Daniel Duarte

Caso tenha dúvidas em relação as resoluções, recomendo que leia os artigos de operações básicas, regra de sinais, expressões matemáticas, frações e equação de 2° grau. Se quiseres questões contextualizadas sobre equações de 2° grau, futuramente haverá artigo aqui no blog. Resolverei as questões de até duas formas, pois além da fórmula de Bhaskara, as equações quadráticas completas podem ser resolvidas por “soma e produto” e as incompletas por métodos específicos.

Questão 1:

Ache as soluções para a equação quadrática abaixo

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Resolução da questão 1:

1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

$a = 1, b = - 5, c = 6$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4.1 .6}}{2.1}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}$

$x = \frac{5 \pm 1}{2}$

$x_{1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_{2} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

2) Resolvendo por soma e produto

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = \frac{- (- 5)}{1} = 5$

$2 + 3 = 5$

$x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$

$2.3 = 6$

Prova real da questão 1:

1) Substituindo $x = 2$

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

$2^{2} - 5.2 + 6 = 0$

$4 - 10 + 6 = 0$

$0 = 0$

2) Substituindo $x = 3$

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

$3^{2} - 5.3 + 6 = 0$

$9 - 15 + 6 = 0$

$0 = 0$

Questão 2:

Ache as soluções para a equação quadrática abaixo

$- x^{2} + 3 x - 2 = 0$

Resolução da questão 2:

1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara

$- x^{2} + 3 x - 2 = 0$

$a = - 1, b = 3, c = - 2$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4. (- 1) . (- 2)}}{2. (- 1)}$

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

$x = \frac{- 3 \pm 1}{- 2}$

$x_{1} = \frac{- 3 + 1}{- 2} = \frac{- 2}{- 2} = 1$

$x_{2} = \frac{- 3 - 1}{- 2} = \frac{- 4}{- 2} = 2$

2) Resolvendo por soma e produto

$- x^{2} + 3 x - 2 = 0$

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = \frac{- 3}{- 1} = 3$

$1 + 2 = 3$

$x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 2}{- 1} = 2$

$1.2 = 2$

Prova real da questão 2:

1) Substituindo $x = 1$

$- x^{2} + 3 x - 2 = 0$

$- 1^{2} + 3.1 - 2 = 0$

$- 1 + 3 - 2 = 0$

$0 = 0$

2) Substituindo $x = 2$

$- x^{2} + 3 x - 2 = 0$

$- 2^{2} + 3.2 - 2 = 0$

$- 4 + 6 - 2 = 0$

$0 = 0$

Questão 3:

Ache as soluções para a equação quadrática abaixo

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Resolução da questão 3:

1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

$a = 1, b = 4, c = 4$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4.1 .4}}{2.1}$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

$x = \frac{- 4 \pm 0}{2}$

$x_{1} = \frac{- 4 + 0}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{- 4 - 0}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

2) Resolvendo por soma e produto

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = \frac{- 4}{1} = - 4$

$- 2 + (- 2) = - 4$

$x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4$

$- 2. (- 2) = 4$

Prova real da questão 3:

Substituindo $x = - 2$

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

$(- 2)^{2} + 4. (- 2) + 4 = 0$

$4 - 8 + 4 = 0$

$0 = 0$

Questão 4:

Resolva a equação de segundo grau:

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Resolução da questão 4:

1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$a = 1, b = - 2, c = 1$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4.1 .1}}{2.1}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 0}{2}$

$x_{1} = \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_{2} = \frac{2 - 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$

2) Resolvendo por soma e produto

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = \frac{- (- 2)}{1} = 2$

$1 + 1 = 2$

$x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1$

$1.1 = 1$

Prova real da questão 4:

Substituindo $x = 1$

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$1^{2} - 2.1 + 1 = 0$

$1 - 2 + 1 = 0$

$0 = 0$

Questão 5:

Determine as respostas para a equação de 2° grau a seguir

$x^{2} - 9 = 0$

Resolução da questão 5:

1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara

$x^{2} - 9 = 0$

$a = 1, b = 0, c = - 9$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- 0 \pm \sqrt{0^{2} - 4.1 . (- 9)}}{2.1}$

$x = \frac{0 \pm \sqrt{0 + 36}}{2}$

$x = \frac{0 \pm \sqrt{36}}{2}$

$x = \frac{0 \pm 6}{2}$

$x_{1} = \frac{0 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_{2} = \frac{0 - 6}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

2) Resolvendo ao isolar a variável

$x^{2} - 9 = 0$

$x^{2} = 9$

$\sqrt{x^{2}} = \sqrt{9}$

$x = \pm 3$

$x_{1} = 3$

$x_{2} = - 3$

Prova real da questão 5:

1) Substituindo $x = 3$

$x^{2} - 9 = 0$

$3^{2} - 9 = 0$

$9 - 9 = 0$

2) Substituindo $x = - 3$

$x^{2} - 9 = 0$

$(- 3)^{2} - 9 = 0$

$9 - 9 = 0$

Questão 6:

Determine as respostas para a equação de 2° grau a seguir

$x^{2} - 25$

Resolução da questão 6:

1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara

$x^{2} - 25 = 0$

$a = 1, b = 0, c = - 25$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- 0 \pm \sqrt{0^{2} - 4.1 . (- 25)}}{2.1}$

$x = \frac{0 \pm \sqrt{0 + 100}}{2}$

$x = \frac{0 \pm \sqrt{100}}{2}$

$x = \frac{0 \pm 10}{2}$

$x_{1} = \frac{0 + 10}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_{2} = \frac{0 - 10}{2} = \frac{- 10}{2} = - 5$

2) Resolvendo ao isolar a variável

$x^{2} - 25 = 0$

$x^{2} = 25$

$\sqrt{x^{2}} = \sqrt{25}$

$x = \pm 5$

$x_{1} = 5$

$x_{2} = - 5$

Prova real da questão 6:

1) Substituindo $x = 5$

$x^{2} - 25 = 0$

$5^{2} - 25 = 0$

$25 - 25 = 0$

$0 = 0$

2) Substituindo $x = 5$

$x^{2} - 25 = 0$

$(- 5)^{2} - 25 = 0$

$25 - 25 = 0$

$0 = 0$

Questão 7:

Resolva a equação de segundo grau:

$x^{2} - 2 x = 0$

Resolução da questão 7:

1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara

$x^{2} - 2 x = 0$

$a = 1, b = - 2, c = 0$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4.1 .0}}{2.1}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 0}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 2}{2}$

$x_{1} = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_{2} = \frac{2 - 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$

2) Resolvendo por fator comum em evidência

$x^{2} - 2 x = 0$

$x . (x - 2) = 0$

Primeira possibilidade de a multiplicação resultar em zero:

$x = 0$

Segunda possibilidade de a multiplicação resultar em zero:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Portanto,

$x_{1} = 0$

$x_{2} = 2$

Prova real da questão 7:

1) Substituindo $x = 2$

$x^{2} - 2 x = 0$

$2^{2} - 2.2 = 0$

$4 - 4 = 0$

$0 = 0$

2) Substituindo $x = 0$

$x^{2} - 2 x = 0$

$0^{2} - 2.0 = 0$

$0 - 0 = 0$

$0 = 0$

Questão 8:

Resolva a equação de segundo grau:

$x^{2} + x = 0$

Resolução da questão 8:

1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara

$x^{2} + x = 0$

$a = 1, b = 1, c = 0$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4.1 .0}}{2.1}$

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 0}}{2}$

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1}}{2}$

$x = \frac{- 1 \pm 1}{2}$

$x_{1} = \frac{- 1 + 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$x_{2} = \frac{- 1 - 1}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

2) Resolvendo por fator comum em evidência

$x^{2} + x = 0$

$x . (x + 1) = 0$

Primeira possibilidade de a multiplicação resultar em zero:

$x = 0$

Segunda possibilidade de a multiplicação resultar em zero:

$x + 1 = 0$

$x = - 1$

Portanto,

$x_{1} = 0$

$x_{2} = - 1$

Prova real da questão 8:

1) Substituindo $x = 0$

$x^{2} + x = 0$

$0^{2} + 0 = 0$

$0 + 0 = 0$

$0 = 0$

2) Substituindo $x = - 1$

$x^{2} + x = 0$

$(- 1)^{2} - 1 = 0$

$1 - 1 = 0$

$0 = 0$

Questão 9:

Determine as respostas para a equação de 2° grau a seguir

$x^{2} + \frac{5 x}{2} - \frac{3}{2} = 0$

Resolução da questão 9:

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara

$x^{2} + \frac{5 x}{2} - \frac{3}{2} = 0$

$a = 1, b = \frac{5}{2}, c = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- \frac{5}{2} \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^{2} - 4.1 \cdot (- \frac{3}{2})}}{2.1}$

$x = \frac{- \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{12}{2}}}{2}$

$x = \frac{- \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{12 \times 2}{2 \times 2}}}{2}$

$x = \frac{- \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{24}{4}}}{2}$

$x = \frac{- \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25 + 24}{4}}}{2}$

$x = \frac{- \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}}}{2}$

$x = \frac{- \frac{5}{2} \pm \frac{7}{2}}{2}$

$x_{1} = \frac{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}}{2} = \frac{\frac{- 5 + 7}{2}}{2} = \frac{\frac{2}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{- \frac{5}{2} - \frac{7}{2}}{2} = \frac{\frac{- 5 - 7}{2}}{2} = \frac{\frac{- 12}{2}}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

Prova real da questão 9:

1) Substituindo $x = \frac{1}{2}$

$x^{2} + \frac{5 x}{2} - \frac{3}{2} = 0$

$(\frac{1}{2})^{2} + \frac{5 \cdot \frac{1}{2}}{2} - \frac{3}{2} = 0$

$\frac{1}{4} + \frac{\frac{5}{2}}{2} - \frac{3}{2} = 0$

$\frac{1}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3 \times 2}{2 \times 2} = 0$

$\frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{6}{4} = 0$

$\frac{1 + 5 - 6}{4} = 0$

$\frac{0}{4} = 0$

$0 = 0$

2) Substituindo $x = - 3$

$x^{2} + \frac{5 x}{2} - \frac{3}{2} = 0$

$(- 3)^{2} + \frac{5. (- 3)}{2} - \frac{3}{2} = 0$

$9 - \frac{15}{2} - \frac{3}{2} = 0$

$9 + \frac{(- 15 - 3)}{2} = 0$

$9 - \frac{18}{2} = 0$

$9 - 9 = 0$

$0 = 0$

Questão 10:

Determine as respostas para a equação de 2° grau a seguir

$x^{2} - \frac{x}{2} - \frac{6}{2} = 0$

Resolução da questão 10:

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara

$x^{2} - \frac{x}{2} - \frac{6}{2} = 0$

$a = 1, b = - \frac{1}{2}, c = - \frac{6}{2}$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- (\frac{1}{2}) \pm \sqrt{(- \frac{1}{2})^{2} - 4.1 \cdot (- \frac{6}{2})}}{2.1}$

$x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{24}{2}}}{2}$

$x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{24 \times 2}{2 \times 2}}}{2}$

$x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{48}{4}}}{2}$

$x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1 + 48}{4}}}{2}$

$x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}}}{2}$

$x = \frac{\frac{1}{2} \pm \frac{7}{2}}{2}$

$x_{1} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{7}{2}}{2} = \frac{\frac{1 + 7}{2}}{2} = \frac{\frac{8}{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_{2} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{7}{2}}{2} = \frac{\frac{1 - 7}{2}}{2} = \frac{\frac{- 6}{2}}{2} = - \frac{3}{2}$

Prova real da questão 10:

1) Substituindo $x = - \frac{3}{2}$

$x^{2} - \frac{x}{2} - \frac{6}{2} = 0$

$(- \frac{3}{2})^{2} - \frac{- \frac{3}{2}}{2} - \frac{6}{2} = 0$

$\frac{9}{4} + \frac{\frac{3}{2}}{2} - \frac{6 \times 2}{2 \times 2} = 0$

$\frac{9}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{12}{4} = 0$

$\frac{9}{4} + \frac{3}{4} - \frac{12}{4} = 0$

$\frac{9 + 3 - 12}{4} = 0$

$\frac{0}{4} = 0$

$0 = 0$

2) Substituindo $x = 2$

$x^{2} - \frac{x}{2} - \frac{6}{2} = 0$

$2^{2} - \frac{2}{2} - \frac{6}{2} = 0$

$4 - 1 - 3 = 0$

$0 = 0$

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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O Matematiquês é um blog dedicado ao aprendizado de matemática, e nosso objetivo é tornar o ensino mais acessível e envolvente através de conteúdos de alta qualidade e gratuitos para alunos e professores em todo o Brasil. Buscamos simplificar conceitos complexos com uma abordagem clara e direta, priorizando transparência, diversidade, clareza, qualidade, inovação e compromisso social. Nosso blog oferece conteúdos fundamentados por especialistas, revisados com rigor e atualizados.

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