Equação racional: Conceito e como resolver

Como toda equação, para resolvê-la precisamos isolar a variável, só que pode ser trabalhoso dependendo da quantidade de frações e das expressões que aparecerem. A forma mais fácil de resolvê-las é multiplicar ambos os lados da equação por cada um dos denominadores das frações, esse processo é feito para “eliminar” os denominadores. Uma vez que não haja fração na expressão, iremos trabalhar com números inteiros, tornando mais fácil isolar a variável.

Exemplo 1:

Resolva a equação abaixo

$$\frac{24}{2x}=6$$

Esse é o caso mais comum de equação racional, onde temos apenas uma fração igualada a uma constante, e basta passarmos a variável para o outro lado multiplicando o $6$, mas antes, precisamos verificar a condição de existência, que se trata do valor que o $x$ não pode assumir, pois caso assuma, resultará em uma indeterminação matemática. Quando temos uma incógnita no denominador de uma fração, precisamos garantir que todo o denominador seja diferente de zero (pois não existe resultado para uma divisão por zero), então, montamos uma inequação:

$$2x\ne 0$$

Isolamos o $x$

$$2x\ne 0$$

$$x\ne \frac{0}{2}$$

$$x\ne 0$$

Descobrimos que o $x$ deve ser diferente de zero, ou seja, se ao resolvermos a equação, cheguemos no resultado $x=0$, significa que ela não possui solução, pois não atende a condição de existência

$$\frac{24}{2x}=6$$

$$24=2x.6$$

$$24=12x$$

$$12x=24$$

$$x=\frac{24}{12}$$

$$x=2$$

Resolvemos a equação e a resposta é diferente de zero, portanto, a solução é válida. Caso queiras saber se acertou, basta substituir o valor de $x$ na equação e se a igualdade se tornar verdadeira, significa que está correta.

$$\frac{24}{2x}=6$$

$$\frac{24}{2.2}=6$$

$$\frac{24}{4}=6$$

$$6=6$$

Exemplo 2:

Resolva a equação abaixo

$$\frac{5}{x-1}+\frac{1}{2}=3$$

Antes de tudo, devemos verificar a condição de existência, analisando qual o valor que $x$ não pode assumir

$$x-1\ne 0$$

$$x\ne 0+1$$

$$x\ne 1$$

Temos mais de uma fração no lado esquerdo da equação, o que torna o processo mais trabalhoso, mas podemos seguir dois caminhos: O primeiro é passarmos a fração que não possui letra para o lado direito da equação e depois de somarmos ela com o $3$, passamos o $x-1$ multiplicando todo mundo. O segundo método é o que mencionei no início desse tópico, podemos multiplicar ambos os lados da equação pelos denominadores das frações, para simplificá-los, e será o que irei utilizar (caso tenha dúvida em como simplificar frações ou expressões algébricas, tem artigos aqui no site sobre esses assuntos). Começamos a resolver multiplicando ambos os lados por $2$ (denominador da fração $\frac{1}{2}$)

$$\frac{5}{x-1}+\frac{1}{2}=3$$

$$2\cdot \frac{5}{x-1}+2\cdot \frac{1}{2}=2.3$$

Então, simplificamos a segunda fração e realizamos as operações

$$2\cdot \frac{5}{x-1}+2\cdot \frac{1}{2}=2.3$$

$$\frac{10}{x-1}+1=6$$

Agora multiplicamos ambos os lados por $x-1$

$$\frac{10}{x-1}+1=6$$

$$(x-1)\cdot \frac{10}{x-1}+(x-1).1=(x-1).6$$

Simplificamos a primeira fração e aplicamos a propriedade distributiva

$$(x-1)\cdot \frac{10}{x-1}+(x-1).1=(x-1).6$$

$$10+x-1=6x-6$$

Por fim, isolamos a variável

$$10+x-1=6x-6$$

$$9+6=6x-x$$

$$15=5x$$

$$5x=15$$

$$x=\frac{15}{5}$$

$$x=3$$

O valor de $x$ atende a condição de existência.

Exemplo 3:

Resolva a equação abaixo

$$\frac{x-2}{x^2-3x+2}=0$$

Temos uma expressão de segundo grau no denominador, mas não se preocupe, o processo para analisar a condição de existência será muito parecido, a única diferença é que chegaremos em uma inequação de segundo grau, que se resolve da mesma forma que uma equação quadrática comum

$$x^2-3x+2\ne 0$$

$$a=1,b=-3,c=2$$

$$x\ne \frac{-b\pm \sqrt{∆}}{2a}$$

$$x\ne \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4.1.2}}{2.1}$$

$$x\ne \frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}$$

$$x\ne \frac{3\pm \sqrt{1}}{2}$$

$$x\ne \frac{3\pm 1}{2}$$

$$x_1\ne \frac{3+1}{2}\ne \frac{4}{2}\ne 2$$

$$x_2\ne \frac{3-1}{2}\ne \frac{2}{2}\ne 1$$

Há duas condições, $x$ deve ser diferente de $2$ e de $1$, caso ele seja um desses valores, não haverá solução para a equação. Agora, podemos resolver a equação, começaremos passando todo o denominador para o outro lado da equação multiplicando e depois, isolaremos o $x$

$$\frac{x-2}{x^2-3x+2}=0$$

$$x-2=(x^2-3x+2).0$$

$$x-2=0$$

$$x=2$$

A resposta é $x=2$, no entanto, descobrimos anteriormente que $x$ deve ser diferente de $2$, portanto, essa equação não possui solução. Caso queira a prova de que isso é verdade, vamos substituir o $2$ na equação original

$$\frac{x-2}{x^2-3x+2}=0$$

$$\frac{2-2}{2^2-3.2+2}=0$$

$$\frac{0}{4-6+2}=0$$

$$\frac{0}{0}=0$$

Olha só, chegamos em duas indeterminações matemáticas, pois não existe divisão por zero e zero dividido por zero não tem resposta. A ponto de conhecimento e curiosidade, poderíamos escrever a resposta da seguinte forma:

$$x=\nexists$$

Exemplo 4:

Resolva a equação abaixo

$$\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x-2}=1$$

Nesse terceiro exemplo, temos duas frações algébricas, então, será necessário conferir a condição de existência para os dois denominadores. A resposta deve atender as duas, caso contrário, o resultado não será solução da equação

1)

$$x+1\ne 0$$

$$x\ne -1$$

2)

$$x-2\ne 0$$

$$x\ne 2$$

O resultado da nossa equação deve ser diferente de $-1$ e de $2$

$$\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x-2}=1$$

$$(x+1)\cdot \frac{2}{x+1}-(x+1)\cdot \frac{3}{x-2}=(x+1).1$$

$$2-\frac{3x+3}{x-2}=x+1$$

$$(x-2).2-(x-2)\cdot \frac{3x+3}{x-2}=(x-2).(x+1)$$

$$2x-4-(3x+3)=x^2-2x+x-2$$

$$2x-4-3x-3=x^2-2x+x-2$$

Vamos organizar essa expressão, para deixá-la na forma geral de uma equação quadrática

$$2x-4-3x-3=x^2-2x+x-2$$

$$0=x^2-2x+x-2-2x+4+3x+3$$

$$x^2-2x+x-2-2x+4+3x+3=0$$

$$x^2-x+5=0$$

Agora identificamos os coeficientes e resolvemos a equação de 2° grau

$$a=1,b=-1,c=5$$

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{∆}}{2a}$$

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4.1.5}}{2.1}$$

$$x=\frac{1\pm \sqrt{1-20}}{2}$$

$$x=\frac{1\pm \sqrt{-19}}{2}$$

O delta de negativo, para continuarmos a questão, teremos que utilizar o conhecimento sobre números complexos. Mas tome cuidado, pois caso a questão tivesse especificado que a resposta deve estar dentro do conjunto dos números reais, o cálculo terminaria aqui e não haveria resposta para a equação

$$x=\frac{1\pm \sqrt{-19}}{2}$$

$$x=\frac{1\pm \sqrt{19}\sqrt{-1}}{2}$$

$$x=\frac{1\pm \sqrt{19}i}{2}$$

$$x=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{19}i}{2}$$

$$x_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

$$x_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Nenhuma das respostas viola as condições de existência, então apesar de estranhas, são válidas.