Não tão comum como as equações lineares, mas aparece em alguns exercícios, sendo essencial que saibas identificar e resolver para que não percas uma questão de graça.
O que é uma equação racional?
Ela é um tipo específico de equação, e tem como característica principal uma fração com uma incógnita (letra) em seu denominador (podendo haver mais de uma fração na expressão). Razão é um outro nome para fração, por isso ela é chamada equação racional.
Exemplos:
1)
$$\frac{3}{x}=6$$
2)
$$2-\frac{1}{x+1}=x$$
3)
$$\frac{x}{x-1}+\frac{5}{x+2}=1-\frac{4}{5}$$
A fração que possui a variável no denominador, recebe um nome especial: “Fração algébrica”.
Como resolver uma equação racional?
Como toda equação, para resolvê-la precisamos isolar a variável, só que pode ser trabalhoso dependendo da quantidade de frações e das expressões que aparecerem. A forma mais fácil de resolvê-las é multiplicar ambos os lados da equação por cada um dos denominadores das frações, esse processo é feito para “eliminar” os denominadores. Uma vez que não haja fração na expressão, iremos trabalhar com números inteiros, tornando mais fácil isolar a variável.
Exemplo 1:
Resolva a equação abaixo
$$\frac{24}{2x}=6$$
Esse é o caso mais comum de equação racional, onde temos apenas uma fração igualada a uma constante, e basta passarmos a variável para o outro lado multiplicando o $6$, mas antes, precisamos verificar a condição de existência, que se trata do valor que o $x$ não pode assumir, pois caso assuma, resultará em uma indeterminação matemática. Quando temos uma incógnita no denominador de uma fração, precisamos garantir que todo o denominador seja diferente de zero (pois não existe resultado para uma divisão por zero), então, montamos uma inequação:
$$2x\neq0$$
Isolamos o $x$
$$2x\neq0$$
$$x\neq\frac{0}{2}$$
$$x\neq0$$
Descobrimos que o $x$ deve ser diferente de zero, ou seja, se ao resolvermos a equação, cheguemos no resultado $x=0$, significa que ela não possui solução, pois não atende a condição de existência
$$\frac{24}{2x}=6$$
$$24=2x.6$$
$$24=12x$$
$$12x=24$$
$$x=\frac{24}{12}$$
$$x=2$$
Resolvemos a equação e a resposta é diferente de zero, portanto, a solução é válida. Caso queiras saber se acertou, basta substituir o valor de $x$ na equação e se a igualdade se tornar verdadeira, significa que está correta.
$$\frac{24}{2x}=6$$
$$\frac{24}{2.2}=6$$
$$\frac{24}{4}=6$$
$$6=6$$
Exemplo 2:
Resolva a equação abaixo
$$\frac{5}{x-1}+\frac{1}{2}=3$$
Antes de tudo, devemos verificar a condição de existência, analisando qual o valor que $x$ não pode assumir
$$x-1\neq0$$
$$x\neq0+1$$
$$x\neq1$$
Temos mais de uma fração no lado esquerdo da equação, o que torna o processo mais trabalhoso, mas podemos seguir dois caminhos: O primeiro é passarmos a fração que não possui letra para o lado direito da equação e depois de somarmos ela com o $3$, passamos o $x-1$ multiplicando todo mundo. O segundo método é o que mencionei no início desse tópico, podemos multiplicar ambos os lados da equação pelos denominadores das frações, para simplificá-los, e será o que irei utilizar (caso tenha dúvida em como simplificar frações ou expressões algébricas, tem artigos aqui no site sobre esses assuntos). Começamos a resolver multiplicando ambos os lados por $2$ (denominador da fração $\frac{1}{2}$)
$$\frac{5}{x-1}+\frac{1}{2}=3$$
$$2\cdot\frac{5}{x-1}+2\cdot\frac{1}{2}=2.3$$
Então, simplificamos a segunda fração e realizamos as operações
$$2\cdot\frac{5}{x-1}+2\cdot\frac{1}{2}=2.3$$
$$\frac{10}{x-1}+1=6$$
Agora multiplicamos ambos os lados por $x-1$
$$\frac{10}{x-1}+1=6$$
$$(x-1)\cdot\frac{10}{x-1}+(x-1).1=(x-1).6$$
Simplificamos a primeira fração e aplicamos a propriedade distributiva
$$(x-1)\cdot\frac{10}{x-1}+(x-1).1=(x-1).6$$
$$10+x-1=6x-6$$
Por fim, isolamos a variável
$$10+x-1=6x-6$$
$$9+6=6x-x$$
$$15=5x$$
$$5x=15$$
$$x=\frac{15}{5}$$
$$x=3$$
O valor de $x$ atende a condição de existência.
Exemplo 3:
Resolva a equação abaixo
$$\frac{x-2}{x^2-3x+2}=0$$
Temos uma expressão de segundo grau no denominador, mas não se preocupe, o processo para analisar a condição de existência será muito parecido, a única diferença é que chegaremos em uma inequação de segundo grau, que se resolve da mesma forma que uma equação quadrática comum
$$x^2-3x+2\neq0$$
$$a=1, b=-3, c=2$$
$$x\neq\frac{-b\pm\sqrt{∆}}{2a}$$
$$x\neq\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4.1.2}}{2.1}$$
$$x\neq\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}$$
$$x\neq\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}$$
$$x\neq\frac{3\pm1}{2}$$
$$x_1\neq\frac{3+1}{2}\neq\frac{4}{2}\neq2$$
$$x_2\neq\frac{3-1}{2}\neq\frac{2}{2}\neq1$$
Há duas condições, $x$ deve ser diferente de $2$ e de $1$, caso ele seja um desses valores, não haverá solução para a equação. Agora, podemos resolver a equação, começaremos passando todo o denominador para o outro lado da equação multiplicando e depois, isolaremos o $x$
$$\frac{x-2}{x^2-3x+2}=0$$
$$x-2=(x^2-3x+2).0$$
$$x-2=0$$
$$x=2$$
A resposta é $x=2$, no entanto, descobrimos anteriormente que $x$ deve ser diferente de $2$, portanto, essa equação não possui solução. Caso queira a prova de que isso é verdade, vamos substituir o $2$ na equação original
$$\frac{x-2}{x^2-3x+2}=0$$
$$\frac{2-2}{2^2-3.2+2}=0$$
$$\frac{0}{4-6+2}=0$$
$$\frac{0}{0}=0$$
Olha só, chegamos em duas indeterminações matemáticas, pois não existe divisão por zero e zero dividido por zero não tem resposta. A ponto de conhecimento e curiosidade, poderíamos escrever a resposta da seguinte forma:
$$x=\nexists$$
Exemplo 4:
Resolva a equação abaixo
$$\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x-2}=1$$
Nesse terceiro exemplo, temos duas frações algébricas, então, será necessário conferir a condição de existência para os dois denominadores. A resposta deve atender as duas, caso contrário, o resultado não será solução da equação
1)
$$x+1\neq0$$
$$x\neq-1$$
2)
$$x-2\neq0$$
$$x\neq2$$
O resultado da nossa equação deve ser diferente de $-1$ e de $2$
$$\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x-2}=1$$
$$(x+1)\cdot\frac{2}{x+1}-(x+1)\cdot\frac{3}{x-2}=(x+1).1$$
$$2-\frac{3x+3}{x-2}=x+1$$
$$(x-2).2-(x-2)\cdot\frac{3x+3}{x-2}=(x-2).(x+1)$$
$$2x-4-(3x+3)=x^2-2x+x-2$$
$$2x-4-3x-3=x^2-2x+x-2$$
Vamos organizar essa expressão, para deixá-la na forma geral de uma equação quadrática
$$2x-4-3x-3=x^2-2x+x-2$$
$$0=x^2-2x+x-2-2x+4+3x+3$$
$$x^2-2x+x-2-2x+4+3x+3=0$$
$$x^2-x+5=0$$
Agora identificamos os coeficientes e resolvemos a equação de 2° grau
$$a=1, b=-1, c=5$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{∆}}{2a}$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4.1.5}}{2.1}$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt{1-20}}{2}$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt{-19}}{2}$$
O delta de negativo, para continuarmos a questão, teremos que utilizar o conhecimento sobre números complexos. Mas tome cuidado, pois caso a questão tivesse especificado que a resposta deve estar dentro do conjunto dos números reais, o cálculo terminaria aqui e não haveria resposta para a equação
$$x=\frac{1\pm\sqrt{-19}}{2}$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt{19}\sqrt{-1}}{2}$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt{19}i}{2}$$
$$x=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{19}i}{2}$$
$$x_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{19}i}{2}$$
$$x_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$
Nenhuma das respostas viola as condições de existência, então apesar de estranhas, são válidas.
Exercícios resolvidos de equação racional
1. Resolva a equação abaixo
$$\frac{7}{x-3}=x+3$$
Definimos primeiramente a condição de existência
$$x-3\neq0$$
$$x\neq3$$
Damos continuidade passando o $x-3$ para o outro lado multiplicando
$$\frac{7}{x-3}=x+3$$
$$7=(x-3).(x+3)$$
Apareceu no lado direito o produto da soma pela diferença, podemos aplicar o produto notável para simplificar a expressão
$$7=(x-3).(x+3)$$
$$7=x^2-9$$
$$x^2-9=7$$
Por fim, resolvemos a equação de segundo grau incompleta
$$x^2-9=7$$
$$x^2=7+9$$
$$x^2=16$$
$$\sqrt{x^2}=\sqrt{16}$$
$$x=\pm4$$
2. Resolva a equação abaixo
$$\frac{3}{log_{2}4^x+1}=1$$
Inicialmente, montamos a inequação
$$log_{2}4^x+1\neq0$$
Temos uma inequação logarítmica, e para isolar o $x$ nesse caso, precisamos utilizar uma propriedade de log
$$log_{2}4^x+1\neq0$$
$$log_{2}4^x\neq-1$$
$$x.log_{2}4\neq-1$$
$$x.2\neq-1$$
$$2x\neq-1$$
$$x\neq\frac{-1}{2}$$
Então, resolvemos a equação racional
$$\frac{3}{log_{2}4^x+1}=1$$
$$3=1.(log_{2}4^x+1)$$
$$3=log_{2}4^x+1$$
$$3-1=x.log_{2}4$$
$$2=x.2$$
$$2x=2$$
$$x=1$$
