Equação: Definição, tipos e exercícios contextualizados

Resolver uma equação envolve encontrar o(s) valor(es) (também chamados de raízes) da variável que torna a equação verdadeira. Para mantermos a igualdade intacta, tudo que fizermos de um lado da equação, fazemos exatamente da mesma forma do outro lado, ou seja, se somarmos 5 unidades no 1° membro, temos que adicionar 5 unidades no 2° membro e assim por diante, aqui estão alguns passos gerais para resolver qualquer equação:

Isolar a variável: Tente deixar a variável sozinha em um dos lados da equação. Isso pode envolver adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir ambos os membros.

Simplificar a equação: Combine termos semelhantes, se possível, e simplifique as expressões.

Verificar a solução: Substitua a solução encontrada na equação original para garantir que ela de fato torna a equação verdadeira, caso isso não aconteça, significa que houve algum erro no cálculo.

Considerar todas as soluções possíveis: Algumas equações podem ter mais de uma solução, especialmente equações polinomiais de grau maior que um. A não ser que tenha alguma restrição ou condição imposta no exercício, a princípio, todas as respostas podem ser solução para equação.

Exemplo 1:

Resolva a equação $3x-6=12$

Essa é uma equação de 1° grau, de toda forma, temos que tentar isolar o x e para isso somamos 6 em ambos os lados da equação, pois ao somarmos um número com seu oposto (mesmo valor com sinal contrário), o resultado é zero, então eliminaremos o -6 do primeiro membro

$3x-6+6=12+6$

$3x=18$

Agora, para tirarmos o 3 do 1° membro, dividiremos ambos os lados da equação por 3

$\frac{3x}{3}=\frac{18}{3}$

$x=6$

Então, a resposta dessa equação é 6, se substituirmos esse valor no lugar do x na nossa equação original, iremos chegar em uma igualdade verdadeira, isso na teoria, por que não verificamos na prática?

$3x-6=12$

$3.6-6=12$

$18-6=12$

$12=12$

Tudo correto por aqui, mas antes de irmos para o próximo exemplo, tem um ponto a ser considerado, geralmente os professores omitem alguns passos e fazem o processo de forma mais rápida, você já deve ter escutado frases como “Passa o número que tá subtraindo para o outro lado da equação, só que somando” ou “quem tá multiplicando, passa para o outro lado dividindo”, e estão corretas essas frases, pois se prestarmos atenção, quando dividimos ambos os lados da equação acima por 3, após as simplificações, ele “apareceu” do outro lado, só que dividindo, só que em algumas situações, isso pode mais atrapalhar do que ajudar, então enquanto estiver aprendendo, aconselho fazer passo a passo o processo de isolar a variável, mas caso sinta-se confortável, pode fazer o cálculo de forma direta:

$3x-6=12$

$3x=12+6$

$x=\frac{18}{3}$

$x=6$

Exemplo 2:

Resolva a equação $4^x=\sqrt[3]{16}$

Como se trada de uma equação exponencial, podemos seguir dois caminhos para resolver, ou igualamos as bases das potências, ou utilizamos logaritmo, nesse caso, é mais fácil e prático igualar as bases, então, primeiramente, transformamos a raiz no segundo membro, em potência (utilizando uma propriedade da radiciação)

$4^x=16^{\frac{1}{3}}$

Como essa manipulação, não altera o valor do 2º membro, não precisamos fazer nada no lado esquerdo da igualdade. O número 16, pode ser escrito como sendo $4.4$, que é a mesma coisa que $4^2$

$4^x=(4^2)^{\frac{1}{3}}$

Multiplicando os expoentes, por meio da propriedade de potenciação chamada potência de potência

$4^x=4^{\frac{2}{3}}$

Agora, que temos potências de mesma base sendo igualadas, já que o 1° membro deve ser igual ao 2°, não somente a base, mas os expoentes das potências devem ser iguais, e assim teremos que:

$x=\frac{2}{3}$

Verificamos a veracidade da resposta, substituindo esse valor na nossa expressão original $4^x=\sqrt[3]{16}$:

$4^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{16}$

Da mesma forma que podemos transformar raiz em potência, podemos fazer o caminho contrário

$\sqrt[3]{4^2}=\sqrt[3]{16}$

$\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{16}$

Exemplo 3:

Resolva a equação $\sqrt{x+2}=x+2$

Temos uma equação irracional para resolver, e o primeiro passo para acharmos a solução é eliminarmos a raiz e para isso, elevamos ela a um expoente que seja igual ao seu índice e para não alterarmos a igualdade, fazemos o mesmo no lado direito

$(\sqrt{x+2})^2=(x+2)^2$

$ x+2=(x+2)^2$

Temos no 2° membro um produto notável chamado “quadrado da soma de dois termos”, precisamos expandi-lo para continuar o processo de isolar o x

$x+2=x^2+4x+4$

Para facilitar a visualização, podemos inverter os membros, isso é possível, pois afirmar que A é igual à B é o mesmo que afirmar que B é igual à A

$x^2+4x+4=x+2$

$x^2+4x+4-x-2=0$

$x^2+3x+2=0$

Caímos em uma equação de 2° grau, e para resolvermos, primeiro identificamos os coeficientes a, b e c

$a=1, b=3, c=2$

E então aplicamos a fórmula de Bhaskara:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{-3\pm\sqrt{(3)^2-4.1.2}}{2.1}$

$x=\frac{-3\pm\sqrt{1}}{2}$

$x_1=\frac{-3+\sqrt{1}}{2}$

$x_1=\frac{-3+1}{2}$

$x_1=\frac{-2}{2}$

$x_1=-1$

$x_2=\frac{3-\sqrt{1}}{2}$

$x_2=\frac{-3-1}{2}$

$x_2=\frac{-4}{2}$

$x_2=-2$

Tanto -1, quanto -2 são soluções que satisfazem a equação, mas por via das dúvidas, vamos verificar

$\sqrt{x+2}=x+2, x=-1$

$\sqrt{-1+2}=-1+2$

$\sqrt{1}=1$

$1=1$

$\sqrt{x+2}=x+2, x=-2$

$\sqrt{-2+2}=-2+2$

$\sqrt{0}=0$

$0=0$