Por que a raiz quadrada de 2 é irracional?

A demonstração mais conhecida de que $\sqrt{2}$ é irracional utiliza o método da redução ao absurdo. A ideia é supor que $\sqrt{2}$ é racional e mostrar que essa suposição leva a uma contradição.

Suponha, por absurdo, que $\sqrt{2}$ seja um número racional. Isso significa que ele pode ser expresso como uma fração $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, onde $p,q\in \mathbb{Z}$, $q\ne 0$, e $p$ e $q$ não têm fatores comuns, ou seja, $\text{MDC}(p,q)=1$. Em outras palavras, $p$ e $q$ são números inteiros, $q$ é diferente de zero e a fração está na sua forma irredutível, ou seja, não pode ser simplificada. Assim, elevando ambos os lados da equação ao quadrado, obtemos: $$2=\frac{p^2}{q^2}.$$

Multiplicando ambos os lados por $q^2$, segue que:

$$p^2=2q^2.$$

A equação acima mostra que $p^2$ é um número par, pois é igual a $2q^2$ (um múltiplo de 2). Ora, se $p^2$ é par, então $p$ também é par, por propriedades dos números inteiros. Logo, podemos escrever $p=2k$, com $k\in \mathbb{Z}$, já que $p$ é par. Substituindo $p=2k$ na equação $p^2=2q^2$:

$$(2k{)}^2=2q^2$$ 

$$\Rightarrow 4k^2=2q^2.$$

Dividindo ambos os lados da equação por 2, obtemos:

$$2k^2=q^2.$$

Daí concluímos que $q^2$ também é par, logo $q$ é par. Porém, isso é um absurdo, pois se $p$ e $q$ são ambos pares, a fração $\frac{p}{q}$ não é irredutível. Poderíamos simplificar a fração por 2, o que contraria nossa suposição inicial de que $\frac{p}{q}$ está na forma irredutível. Portanto, a suposição de que $\sqrt{2}$ é racional é falsa. Concluímos, assim, que $\sqrt{2}$ é irracional.