O Teorema de Ptolomeu

Geometria plana
Teoria
30/12/2024
Jefferson Barbosa

O Teorema de Ptolomeu é um resultado clássico da geometria euclidiana que descreve uma relação fundamental entre os lados e as diagonais de um quadrilátero inscrito em uma circunferência, ou seja, um quadrilátero cujos quatro vértices estão localizados exatamente sobre o contorno de uma circunferência. Nomeado em homenagem a Claudius Ptolomeu, um proeminente matemático e astrônomo da antiguidade, este teorema desempenhou um papel crucial no desenvolvimento da trigonometria e continua a ser amplamente utilizado em problemas de geometria plana. Neste artigo, apresentaremos a formulação do Teorema de Ptolomeu, acompanhada de exemplos e aplicações que ilustram sua relevância e elegância.

Enunciado do Teorema de Ptolomeu

Seja $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ um quadrilátero inscrito em uma circunferência, com os vértices $𝐴$ , $𝐵$ , $𝐶$ e $𝐷$ dispostos nesta ordem, conforme mostrado na figura.

O Teorema de Ptolomeu afirma que:

$𝐴 𝐶 \cdot 𝐵 𝐷 = 𝐴 𝐵 \cdot 𝐶 𝐷 + 𝐴 𝐷 \cdot 𝐵 𝐶 .$

Em palavras, o Teorema de Ptolomeu afirma que, em um quadrilátero inscrito em uma circunferência, o produto dos comprimentos das diagonais é igual à soma dos produtos dos comprimentos de seus pares de lados opostos.

Exemplos de aplicações

O primeiro exemplo de aplicação é um caso clássico que demonstra como o teorema pode ser utilizado.

Exemplo 1: Considere um quadrilátero $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ inscrito em uma circunferência, onde os comprimentos dos lados e das diagonais são dados por: $𝐴 𝐵 = 8 𝑚$ , $𝐵 𝐶 = 7 𝑚$ , $𝐶 𝐷 = 5 𝑚$ , $𝐴 𝐷 = 6 𝑚$ , $𝐵 𝐷 = 10 𝑚$ , conforme a figura:

Determine o comprimento da diagonal $𝐴 𝐶$ .

Solução: De acordo com o Teorema de Ptolomeu:

$𝐴 𝐶 \cdot 𝐵 𝐷 = 𝐴 𝐵 \cdot 𝐶 𝐷 + 𝐴 𝐷 \cdot 𝐵 𝐶 .$ Substituímos os valores conhecidos, temos:

$𝐴 𝐶 \cdot 10 = 8 \cdot 5 + 6 \cdot 7$

$𝐴 𝐶 \cdot 10 = 40 + 42$

$𝐴 𝐶 \cdot 10 = 82 .$

Dividindo ambos os lados por $10$ , obtemos:

$𝐴 𝐶 = 8, 2 𝑚 .$

Portanto, o comprimento da diagonal $𝐴 𝐶$ é $8, 2 𝑚$ .

Essa segunda aplicação ilustra como o teorema pode ser utilizado em problemas de nível olímpico.

Exemplo 2: Prove que, em um pentágono regular, a razão entre a diagonal $𝑑$ e o lado $𝑙$ é um número irracional. Além disso, determine qual é esse número irracional.

Solução: Considere um pentágono regular $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸$ de lado $𝑙$ inscrito em uma circunferência.

Traçamos a diagonal $𝐴 𝐷$ , que chamaremos de $𝑑$ , formando o quadrilátero $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ , destacado em verde na figura.

Agora, considere as diagonais $𝐴 𝐶$ e $𝐵 𝐷$ . Como a figura é um pentágono regular, todas as diagonais têm o mesmo comprimento. Assim, $𝐴 𝐶 = 𝐵 𝐷 = 𝑑$ .

Aplicando o teorema de Ptolomeu ao quadrilátero $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ , obtemos:

$𝑑 \cdot 𝑑 = 𝑙 \cdot 𝑑 + 𝑙 \cdot 𝑙$

$𝑑 2 = 𝑙 𝑑 + 𝑙 2$

$𝑑 2 - 𝑙 𝑑 - 𝑙 2 = 0$

Estamos diante de uma equação quadrática. Utilizando a fórmula de Bhaskara para encontrar $𝑑$ :

$𝑑 = - (- 𝑙) \pm \sqrt (- 𝑙) 2 - 4 \cdot 1 \cdot - 𝑙 2 2$

$𝑑 = 𝑙 \pm \sqrt 𝑙 2 + 4 𝑙 2 2$

Colocando $𝑙 2$ em evidência e utilizando propriedades de radiciação, temos:

$𝑑 = 𝑙 \pm \sqrt 𝑙 2 (1 + 4) 2 = 𝑙 \pm \sqrt 𝑙 2 \sqrt 5 2$

$𝑑 = 𝑙 \pm 𝑙 \sqrt 5 2$

Como o problema pede a razão entre $𝑑$ e $𝑙$ , dividindo ambos os lados da equação por $𝑙$ :

$𝑑 𝑙 = 𝑙 \pm 𝑙 \sqrt 5 2 𝑙$

Resolvendo a divisão de frações e simplificando, obtemos:

$𝑑 𝑙 = 𝑙 \pm 𝑙 \sqrt 5 2 𝑙$

Colocando $𝑙$ em evidência no numerador:

$𝑑 𝑙 = 𝑙 (1 \pm \sqrt 5) 2 𝑙$

Simplificando, encontramos a seguinte expressão:

$𝑑 𝑙 = 1 \pm \sqrt 5 2$

Temos duas soluções, mas note que $1 < \sqrt 5$ , logo

$1 - \sqrt 5 2$

É negativa e, portanto, inválida para medidas de comprimento. Assim, a razão entre a diagonal $𝑑$ e o lado $𝑙$ é a solução positiva:

$𝑑 𝑙 = 1 + \sqrt 5 2 .$

O resultado encontrado é o famoso número de ouro, um número irracional que é muito presente na matemática.

Jefferson Barbosa

Licenciado em Matemática pela UEPB. Pós-graduando em Modelagem Matemática e Cálculo Avançado.

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