O número de ouro, também chamado de razão áurea ou proporção divina, é um dos conceitos mais intrigantes e belos da matemática. Representado pela letra grega \( \Phi \) (Phi), o número de ouro é irracional, cujo seu valor é dado por:
$$\Phi = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = 1,6180339\ldots$$
O primeiro registro conhecido sobre o número de ouro aparece na obra “Os Elementos”, de Euclides, onde é definido por meio da “divisão em extremos e médios”.
Muitos artistas e arquitetos ao longo da história utilizaram a razão áurea em suas obras para obter harmonia, beleza e perfeição. Um exemplo notável é a famosa pintura “Mona Lisa”, de Leonardo da Vinci, que emprega proporções baseadas no número de ouro tanto nas relações do tronco com a cabeça quanto entre elementos faciais. Além da arte, esse número aparece em diversas áreas do conhecimento, como geometria, álgebra e ciências naturais. Neste artigo, exploraremos algumas propriedades matemáticas do número de ouro.
Como obter o número de ouro?
Uma das formas de obter o número de ouro é por meio de construções geométricas. Consideremos um segmento de reta \( AB \) de medida \( x + y \), onde \( C \) é um ponto entre \( A \) e \( B \), tal que o segmento \( AC = x \) é maior que o segmento \( CB = y \), conforme a figura abaixo:
Desejamos que a razão entre o segmento total (\( AB \)) e o segmento maior (\( AC \)) seja igual à razão entre o segmento maior (\( AC \)) e o menor (\( CB \)). Essa relação pode ser expressa pela equação:
$$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CB}.$$
Substituindo \( AB = x + y \), \( AC = x \) e \( CB = y \), obtemos:
$$\frac{x + y}{x} = \frac{x}{y}.$$
Essa relação define o número de ouro, que denotamos por \( \Phi \). Assim, podemos escrever:
$$\frac{x + y}{x} = \frac{x}{y} = \Phi.$$
Multiplicando os meios pelos extremos,
$$x^2 = y \cdot (x + y).$$
Aplicando a distributividade e simplificando, obtemos:
$$x^2 = xy + y^2.$$
$$\implies x^2 – xy – y^2 = 0.$$
Dividindo toda a equação por \( y^2 \), resulta:
$$\frac{x^2}{y^2} – \frac{x}{y} – 1 = 0.$$
Usando propriedades de potência, segue que:
$$\left( \frac{x}{y} \right)^2 – \frac{x}{y} – 1 = 0.$$
Como \( \Phi = \frac{x}{y} \), substituindo na equação acima, obtemos:
$$\Phi^2 – \Phi – 1 = 0.$$
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver utilizando a fórmula de Bháskara, portanto
$$\Phi = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}.$$
Simplificando:
$$\Phi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$$
Como estamos interessados apenas na solução positiva, já que estamos lidando com segmentos, temos:
$$\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2},$$
o famoso número de ouro. A outra solução é negativa uma vez que $1<\sqrt{5}$.
Potências de $\Phi$ e relação com a sequência de Fibonacci
Vamos desenvolver algumas potências de $ \Phi $ e observar os seus resultados. Inicialmente, sabemos que:
$$\Phi^1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.$$
Para calcular \(\Phi^2\), começamos elevando a expressão de \(\Phi\) ao quadrado:
$$\Phi^2 = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{(1 + \sqrt{5})^2}{4}.$$
Expandindo o quadrado no numerador:
$$\Phi^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4}.$$
Colocando o fator \(2\) em evidência no numerador:
$$\Phi^2 = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}.$$
Escrevendo o número \(3\) como \(2 + 1\), podemos reescrever:
$$\Phi^2 = \frac{2 + 1 + \sqrt{5}}{2}.$$
Separando a fração:
$$\Phi^2 = \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.$$
Substituímos \(\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) para obter:
$$\Phi^2 = 1 + \Phi.$$
Agora, utilizamos o resultado anterior para calcular \(\Phi^3\):
$$\Phi^3 = \Phi^2 \cdot \Phi = (1 + \Phi)\Phi = \Phi + \Phi^2.$$
Substituímos \(\Phi^2 = 1 + \Phi\):
$$\Phi^3 = \Phi + (1 + \Phi) = 1 + 2\Phi.$$
da mesma forma pode ser feita para as proximas potências:
$$\Phi^4=\Phi^3\cdot\Phi=(1+2\Phi)\Phi=\Phi+2\Phi^2=\Phi+2(1+\Phi)=\Phi+2+2\Phi=2+3\Phi$$
$$\Phi^5=\Phi^4\cdot\Phi=(2+3\Phi)\Phi=2\Phi+3\Phi^2=2\Phi+3(1+\Phi)=3+5\Phi$$
$$\Phi^6 = \Phi^5 \cdot \Phi = (3 + 5\Phi)\Phi = 3\Phi + 5\Phi^2 = 3\Phi + 5(1 + \Phi) = 5 + 8\Phi$$
$$\Phi^7 = \Phi^6 \cdot \Phi = (5 + 8\Phi)\Phi = 5\Phi + 8\Phi^2 = 5\Phi + 8(1 + \Phi) = 8 + 13\Phi$$
Observando os resultados das potências acima, podemos perceber uma relação com a sequência de Fibonacci. Perceba que os coeficientes de $\Phi$ são exatamente os números da sequência de Fibonacci.
Outra relação interessante é que a razão entre cada número da sequência de Fibonacci e seu antecessor se aproxima cada vez mais do número de ouro. Observe as razões abaixo:
$$\frac{1}{1} = 1$$
$$\frac{2}{1} = 2$$
$$\frac{3}{2} = 1.5$$
$$\frac{5}{3} \approx 1.6667$$
$$\frac{8}{5} = 1.6$$
$$\frac{13}{8} = 1.625$$
$$\frac{21}{13} \approx 1.6154$$
$$\frac{34}{21} \approx 1.6190$$
Essas razões se aproximam cada vez mais do número de ouro, à medida que avançamos na sequência.
Relação com a equação $\Phi^2 - \Phi - 1 = 0$
A solução positiva da equação $\Phi^2 – \Phi – 1 = 0$ é o número de ouro, mas temos algumas relações interessantes envolvendo a solução negativa dessa equação, que denotaremos por $\phi$:
$$\phi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}.$$
Em alguns livros, esse número é chamado de conjugado do número de ouro. Relacionando esses dois números, temos algumas propriedades interessantes:
$1)$ A soma do número de ouro com o seu conjugado é igual a $1$ ($\Phi + \phi = 1$), e o produto é igual a $-1$ ($\Phi \cdot \phi = -1$).
Prova: De fato, para a soma, note que:
$$\Phi + \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 – \sqrt{5}}{2},$$
podemos juntar tudo em uma fração só, já que os denominadores são iguais,
$$\Phi + \phi = \frac{1 + \sqrt{5} + 1 – \sqrt{5}}{2},$$
o que implica
$$\Phi + \phi = \frac{2}{2} = 1$$
Logo, temos:
$$\Phi + \phi = 1$$
Agora, para o produto:
$$\Phi \cdot \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$$
$$\implies \Phi \cdot \phi = \frac{(1 + \sqrt{5}) \cdot (1 – \sqrt{5})}{4} $$
Utilizando o produto notável da soma pela diferença, podemos escrever:
$$\Phi \cdot \phi = \frac{(1^2 – (\sqrt{5})^2)}{4}$$
$$\implies \Phi \cdot \phi = \frac{(1 – 5)}{4}$$
$$\implies \Phi \cdot \phi = \frac{-4}{4}$$
$$\implies \Phi \cdot \phi = -1$$
Essas igualdades também poderiam ser facilmente verificadas sabendo que $\Phi$ e $\phi$ são raízes da equação $\Phi^2 – \Phi – 1 = 0$, por relações de soma e produto da equação.
$2)$ O inverso do número de ouro \( \Phi \) é igual ao oposto de \( \phi \), ou seja, $\frac{1}{\Phi} = -\phi$.
Prova: Sabendo que
$$\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2},$$
tomando o inverso, temos
$$\frac{1}{\Phi} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}}.$$
Multiplicando o numerador e o denominador da fração por \( 1 – \sqrt{5} \),
$$\frac{1}{\Phi} = \frac{2 \cdot (1 – \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5}) \cdot (1 – \sqrt{5})}.$$
Usando o produto da soma pela diferença,
$$\frac{1}{\Phi} = \frac{2 \cdot (1 – \sqrt{5})}{1^2 – (\sqrt{5})^2}.$$
Logo,
$$\frac{1}{\Phi} = \frac{2 \cdot (1 – \sqrt{5})}{-4}.$$
Simplificando, temos:
$$\frac{1}{\Phi} = -\left( \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \right).$$
Como
$$\phi = \frac{1 – \sqrt{5}}{2},$$
substituindo, obtem-se:
$$\frac{1}{\Phi} = -\phi.$$
Outras formas de escrever o número de ouro
Utilizando as relações apresentadas anteriormente, podemos expressar o número de ouro de maneiras recursivas (é o processo de definir uma expressão substituindo-a nela mesma).
$1)$ Forma:
Primeiramente, consideremos a relação de soma vista anteriormente:
$$ \Phi + \phi = 1. $$
Reescrevendo a equação acima, temos:
$$ \Phi = 1 – \phi. $$
Sabemos, pela segunda relação apresentada anteriormente, que \( -\phi = \frac{1}{\Phi} \). Substituindo esse resultado na equação anterior, segue que
$$ \Phi = 1 + \frac{1}{\Phi}. $$
Agora, substituindo essa resultado para \(\Phi\) dentro da própria expressão de maneira iterativa (de forma repetitiva), temos:
$$ \Phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\Phi}}. $$
E, novamente,
$$ \Phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\Phi}}}. $$
Se continuarmos esse processo recursivamente, chegaremos à seguinte expressão:
$$ \Phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ldots}}}}. $$
$2)$ forma:
Outra forma de escrever o número \(\Phi\) é utilizando a equação:
$$ \Phi^2 – \Phi – 1 = 0. $$
Daí, isolamos \(\Phi^2\):
$$ \Phi^2 = 1 + \Phi. $$
E, simplificando, obtemos:
$$ \Phi = \sqrt{1 + \Phi}. $$
Substituindo \(\Phi\) nesse formato dentro da própria expressão de maneira iterativa, temos:
$$ \Phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \Phi}}. $$
Repetindo o processo,
$$ \Phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \Phi}}}. $$
Se continuarmos de forma recursiva, chegamos à seguinte expressão:
$$ \Phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \ldots}}}}. $$
Essas são algumas formas interessantes de representar o número de ouro.
Licenciado em Matemática pela UEPB.
