O Número de ouro

Curiosidades
Informativo
12/12/2024
Jefferson Barbosa

O número de ouro, também chamado de razão áurea ou proporção divina, é um dos conceitos mais intrigantes e belos da matemática. Representado pela letra grega $Φ$ (Phi), o número de ouro é irracional, cujo seu valor é dado por:

$Φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1, 6180339 \dots$

O primeiro registro conhecido sobre o número de ouro aparece na obra “Os Elementos”, de Euclides, onde é definido por meio da “divisão em extremos e médios”.

Muitos artistas e arquitetos ao longo da história utilizaram a razão áurea em suas obras para obter harmonia, beleza e perfeição. Um exemplo notável é a famosa pintura “Mona Lisa”, de Leonardo da Vinci, que emprega proporções baseadas no número de ouro tanto nas relações do tronco com a cabeça quanto entre elementos faciais. Além da arte, esse número aparece em diversas áreas do conhecimento, como geometria, álgebra e ciências naturais. Neste artigo, exploraremos algumas propriedades matemáticas do número de ouro.

Como obter o número de ouro?

Uma das formas de obter o número de ouro é por meio de construções geométricas. Consideremos um segmento de reta $A B$ de medida $x + y$ , onde $C$ é um ponto entre $A$ e $B$ , tal que o segmento $A C = x$ é maior que o segmento $C B = y$ , conforme a figura abaixo:

Desejamos que a razão entre o segmento total ( $A B$ ) e o segmento maior ( $A C$ ) seja igual à razão entre o segmento maior ( $A C$ ) e o menor ( $C B$ ). Essa relação pode ser expressa pela equação:

$\frac{A B}{A C} = \frac{A C}{C B} .$

Substituindo $A B = x + y$ , $A C = x$ e $C B = y$ , obtemos:

$\frac{x + y}{x} = \frac{x}{y} .$

Essa relação define o número de ouro, que denotamos por $Φ$ . Assim, podemos escrever:

$\frac{x + y}{x} = \frac{x}{y} = Φ .$

Multiplicando os meios pelos extremos,

$x^{2} = y \cdot (x + y) .$

Aplicando a distributividade e simplificando, obtemos:

$x^{2} = x y + y^{2} .$

$⟹ x^{2} - x y - y^{2} = 0.$

Dividindo toda a equação por $y^{2}$ , resulta:

$\frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{x}{y} - 1 = 0.$

Usando propriedades de potência, segue que:

${(\frac{x}{y})}^{2} - \frac{x}{y} - 1 = 0.$

Como $Φ = \frac{x}{y}$ , substituindo na equação acima, obtemos:

$Φ^{2} - Φ - 1 = 0.$

Essa é uma equação quadrática que podemos resolver utilizando a fórmula de Bháskara, portanto

$Φ = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 1} .$

Simplificando:

$Φ = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} .$

Como estamos interessados apenas na solução positiva, já que estamos lidando com segmentos, temos:

$Φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2},$

o famoso número de ouro. A outra solução é negativa uma vez que $1 < \sqrt{5}$ .

Potências de $Φ$ e relação com a sequência de Fibonacci

Vamos desenvolver algumas potências de $Φ$ e observar os seus resultados. Inicialmente, sabemos que:

$Φ^{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .$

Para calcular $Φ^{2}$ , começamos elevando a expressão de $Φ$ ao quadrado:

$Φ^{2} = {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2} = \frac{(1 + \sqrt{5})^{2}}{4} .$

Expandindo o quadrado no numerador:

$Φ^{2} = \frac{1 + 2 \sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2 \sqrt{5}}{4} .$

Colocando o fator $2$ em evidência no numerador:

$Φ^{2} = \frac{2 (3 + \sqrt{5})}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} .$

Escrevendo o número $3$ como $2 + 1$ , podemos reescrever:

$Φ^{2} = \frac{2 + 1 + \sqrt{5}}{2} .$

Separando a fração:

$Φ^{2} = \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .$

Substituímos $Φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ para obter:

$Φ^{2} = 1 + Φ .$

Agora, utilizamos o resultado anterior para calcular $Φ^{3}$ :

$Φ^{3} = Φ^{2} \cdot Φ = (1 + Φ) Φ = Φ + Φ^{2} .$

Substituímos $Φ^{2} = 1 + Φ$ :

$Φ^{3} = Φ + (1 + Φ) = 1 + 2 Φ .$

da mesma forma pode ser feita para as proximas potências:

$Φ^{4} = Φ^{3} \cdot Φ = (1 + 2 Φ) Φ = Φ + 2 Φ^{2} = Φ + 2 (1 + Φ) = Φ + 2 + 2 Φ = 2 + 3 Φ$

$Φ^{5} = Φ^{4} \cdot Φ = (2 + 3 Φ) Φ = 2 Φ + 3 Φ^{2} = 2 Φ + 3 (1 + Φ) = 3 + 5 Φ$

$Φ^{6} = Φ^{5} \cdot Φ = (3 + 5 Φ) Φ = 3 Φ + 5 Φ^{2} = 3 Φ + 5 (1 + Φ) = 5 + 8 Φ$

$Φ^{7} = Φ^{6} \cdot Φ = (5 + 8 Φ) Φ = 5 Φ + 8 Φ^{2} = 5 Φ + 8 (1 + Φ) = 8 + 13 Φ$

Observando os resultados das potências acima, podemos perceber uma relação com a sequência de Fibonacci. Perceba que os coeficientes de $Φ$ são exatamente os números da sequência de Fibonacci.

Outra relação interessante é que a razão entre cada número da sequência de Fibonacci e seu antecessor se aproxima cada vez mais do número de ouro. Observe as razões abaixo:

$\frac{1}{1} = 1$

$\frac{2}{1} = 2$

$\frac{3}{2} = 1.5$

$\frac{5}{3} \approx 1.6667$

$\frac{8}{5} = 1.6$

$\frac{13}{8} = 1.625$

$\frac{21}{13} \approx 1.6154$

$\frac{34}{21} \approx 1.6190$

Essas razões se aproximam cada vez mais do número de ouro, à medida que avançamos na sequência.

Relação com a equação $Φ^{2} - Φ - 1 = 0$

A solução positiva da equação $Φ^{2} - Φ - 1 = 0$ é o número de ouro, mas temos algumas relações interessantes envolvendo a solução negativa dessa equação, que denotaremos por $ϕ$ :

$ϕ = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} .$

Em alguns livros, esse número é chamado de conjugado do número de ouro. Relacionando esses dois números, temos algumas propriedades interessantes:

$1)$ A soma do número de ouro com o seu conjugado é igual a $1$ ( $Φ + ϕ = 1$ ), e o produto é igual a $- 1$ ( $Φ \cdot ϕ = - 1$ ).

Prova: De fato, para a soma, note que:

$Φ + ϕ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2},$

podemos juntar tudo em uma fração só, já que os denominadores são iguais,

$Φ + ϕ = \frac{1 + \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5}}{2},$

o que implica

$Φ + ϕ = \frac{2}{2} = 1$

Logo, temos:

$Φ + ϕ = 1$

Agora, para o produto:

$Φ \cdot ϕ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$⟹ Φ \cdot ϕ = \frac{(1 + \sqrt{5}) \cdot (1 - \sqrt{5})}{4}$

Utilizando o produto notável da soma pela diferença, podemos escrever:

$Φ \cdot ϕ = \frac{(1^{2} - (\sqrt{5})^{2})}{4}$

$⟹ Φ \cdot ϕ = \frac{(1 - 5)}{4}$

$⟹ Φ \cdot ϕ = \frac{- 4}{4}$

$⟹ Φ \cdot ϕ = - 1$

Essas igualdades também poderiam ser facilmente verificadas sabendo que $Φ$ e $ϕ$ são raízes da equação $Φ^{2} - Φ - 1 = 0$ , por relações de soma e produto da equação.

$2)$ O inverso do número de ouro $Φ$ é igual ao oposto de $ϕ$ , ou seja, $\frac{1}{Φ} = - ϕ$ .

Prova: Sabendo que

$Φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2},$

tomando o inverso, temos

$\frac{1}{Φ} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}} .$

Multiplicando o numerador e o denominador da fração por $1 - \sqrt{5}$ ,

$\frac{1}{Φ} = \frac{2 \cdot (1 - \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5}) \cdot (1 - \sqrt{5})} .$

Usando o produto da soma pela diferença,

$\frac{1}{Φ} = \frac{2 \cdot (1 - \sqrt{5})}{1^{2} - (\sqrt{5})^{2}} .$

Logo,

$\frac{1}{Φ} = \frac{2 \cdot (1 - \sqrt{5})}{- 4} .$

Simplificando, temos:

$\frac{1}{Φ} = - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}) .$

Como

$ϕ = \frac{1 - \sqrt{5}}{2},$

substituindo, obtem-se:

$\frac{1}{Φ} = - ϕ .$

Outras formas de escrever o número de ouro

Utilizando as relações apresentadas anteriormente, podemos expressar o número de ouro de maneiras recursivas (é o processo de definir uma expressão substituindo-a nela mesma).

$1)$ Forma:

Primeiramente, consideremos a relação de soma vista anteriormente:

$Φ + ϕ = 1.$

Reescrevendo a equação acima, temos:

$Φ = 1 - ϕ .$

Sabemos, pela segunda relação apresentada anteriormente, que $- ϕ = \frac{1}{Φ}$ . Substituindo esse resultado na equação anterior, segue que

$Φ = 1 + \frac{1}{Φ} .$

Agora, substituindo essa resultado para $Φ$ dentro da própria expressão de maneira iterativa (de forma repetitiva), temos:

$Φ = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{Φ}} .$

E, novamente,

$Φ = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{Φ}}} .$

Se continuarmos esse processo recursivamente, chegaremos à seguinte expressão:

$Φ = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\dots}}}} .$

$2)$ forma:

Outra forma de escrever o número $Φ$ é utilizando a equação:

$Φ^{2} - Φ - 1 = 0.$

Daí, isolamos $Φ^{2}$ :

$Φ^{2} = 1 + Φ .$

E, simplificando, obtemos:

$Φ = \sqrt{1 + Φ} .$

Substituindo $Φ$ nesse formato dentro da própria expressão de maneira iterativa, temos:

$Φ = \sqrt{1 + \sqrt{1 + Φ}} .$

Repetindo o processo,

$Φ = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + Φ}}} .$

Se continuarmos de forma recursiva, chegamos à seguinte expressão:

$Φ = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}} .$

Essas são algumas formas interessantes de representar o número de ouro.

Jefferson Barbosa

Licenciado em Matemática pela UEPB. Pós-graduando em Modelagem Matemática e Cálculo Avançado.

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