Progressão Geométrica: O que é e suas características

Progressões matemáticas
ExercíciosTeoria
05/03/2025
Daniel Duarte

Esse assunto é sempre ensinado na sequência de progressão aritmética (PA) e isso não é por acaso, pois apesar de haver diferença entre elas, ambas são sequências numéricas. Nesse artigo irei abordar o conceito de progressão geométrica, como classificar, suas principais equações e ainda resolver alguns exercícios.

O que é uma progressão geométrica?

Irmã da PA, a progressão geométrica, também chamada de PG, é uma sequência de números onde cada termo é igual ao antecessor multiplicado por uma constante $q$ (chamada de razão), em outras palavras, o segundo termo será igual o primeiro termo vezes a razão, o terceiro será o segundo vezes essa mesma razão e assim por diante (com exceção do primeiro, pois não haverá nenhum termo antes dele).

Exemplo:

$(2, 4, 8, 16, 32, 64)$

Para descobrirmos a razão da PG, precisamos apenas dividir um dos termos pelo seu antecessor (termo que vem antes dele). Na PG acima pegarei o segundo e primeiro termos.

$q = \frac{4}{2} = 2$

Isso significa que cada termo é igual ao seu antecessor vezes o $2$ . Para que visualize melhor isso, irei reescrever a PG da seguinte forma:

$P G_{N o r m a l} (2, 4, 8, 16, 32, 64)$

$P G_{R e e s c r i t a} (2, 2 \times 2, 4 \times 2, 8 \times 2, 16 \times 2, 32 \times 2)$

O $2$ em vermelho é a razão ( $q$ ), e o que eu fiz foi fatorar cada termo, deixando eles escritos como uma multiplicação do termo anterior pela razão. O termo $8$ por exemplo, ele é a mesma coisa que o termo anterior $4$ vezes a razão $2$ .

Para verificar se uma sequência é uma PG, basta dividir diferentes termos pelos seus antecessores, se o resultado encontrado for sempre um mesmo valor constante, significa que é uma PG, vamos testar na sequência acima?

$\frac{4}{2} = 2; \frac{8}{4} = 2; \frac{16}{8} = 2$

A progressão geométrica pode ser denominada finita quando a quantidade de termos for limitada ( $10$ termos, por exemplo), e será considerada infinita quando for ilimitada a quantidade de termos.

Como classificar uma PG?

As PGs são classificadas de acordo com sua razão, que por sua vez, influencia a forma com que os termos se apresentam na sequência.

PG crescente:

Uma PG é considerada crescente quando os termos vão aumentando o seu valor numérico (o quarto termo é maior que o terceiro, esse é maior que o segundo e assim vai).

Exemplos de PGs crescentes:

1) $(1, 3, 9, 18, 54, \dots); q = 3$

2) $(- 8, - 4, - 2, - 1); q = \frac{1}{2}$

3) $(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4); q = 2$

De um jeito mais formal, a PG será crescente quando:

$a_{1} > 0 e q > 0$

$a_{1} < 0 e 0 < q < 1$

PG decrescente:

Como o próprio nome sugere, a PG é definida como decrescente, quando os termos vão diminuindo seu valor numérico.

Exemplos de PGs decrescentes:

1) $(20, 10, 5); q = \frac{1}{2}$

2) $(- 2, - 6, - 18, - 54, \dots); q = 3$

3) $(\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots); q = \frac{1}{2}$

Com o devido rigor matemático, temos uma PG decrescente quando ela atende a uma das duas condições abaixo:

$a_{1} < 0 e 0 < q < 1$

$a_{1} < 0 e q > 0$

PG constante:

Se a razão for igual à $1$ , uma PG será considerada constante, mas isso é bem fácil de verificar, pois todos os termos da PG serão iguais (podemos dizer inclusive que se trata de uma PA com razão igual à zero).

Exemplo:

$(2, 2, 2, 2, 2, 2), q = 1$

PG oscilante ou alternada:

Tão fácil de identificar quanto a anterior, se a razão for menor que zero (negativa), teremos uma PG alternada. Significa que os termos dela se alternarão entre números positivos e negativos.

Exemplo:

$(2, - 4, 8, - 16, 32, - 54), q = - 2$

Termo geral de uma PG

Conseguimos achar qualquer termo de uma PG, tendo conhecimento do primeiro termo e da razão dela. Basta utilizarmos a seguinte equação:

$a_{n} = a_{1} \times q^{n - 1}$

$a_{n}$ – Termo que queremos descobrir;

$n$ – Posição do termo na PG;

$a_{1}$ – Primeiro termo da PG;

$q$ – Razão a PG.

Exemplo 1: Calcule o quarto termo de uma PG com razão igual à $3$ e primeiro termo igual à $1$

Temos o primeiro termo e a razão, basta encontrarmos o quarto termo utilizando a equação do termo geral.

$a_{n} = a_{1} \times q^{n - 1}$

$a_{4} = 1 \times 3^{4 - 1}$

$a_{4} = 3^{3}$

$a_{4} = 27$

Exemplo 2: Sabendo que o sexto e sétimo termos de uma PG são $40$ e $20$ , respectivamente, qual é o primeiro termo?

Primeiramente, vamos esboçar essa PG, destacando os termos que sabemos.

$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, 40, 20)$

Para descobrirmos o primeiro termo, podemos usar a equação do termo gera e isolar o $a_{1}$ nela, só que precisamos encontrar a razão $q$ antes disso. A questão nos deu dois termos consecutivos, portanto, acharemos a razão ao dividirmos o sétimo termo pelo sexto.

$q = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$

Agora descobrimos o primeiro termo substituindo os valores na equação (podemos utilizar o sexto ou sétimo termo, não importa, mas recomendo sempre usar o mais próximo do primeiro, para diminuir o valor a ser calculado ao elevar à razão).

$a_{n} = a_{1} \times q^{n - 1}$

$40 = a_{1} \times {(\frac{1}{2})}^{6 - 1}$

$40 = a_{1} \times {(\frac{1}{2})}^{5}$

$40 = a_{1} \times \frac{1^{5}}{2^{5}}$

$40 = a_{1} \times \frac{1}{32}$

$\frac{a_{1}}{32} = 40$

$a_{1} = 40 \times 32$

$a_{1} = 1280$

Um jeito de você saber se o cálculo está correto é fazer o caminho contrário, ou seja, calcular o sexto termo utilizando a razão e o primeiro termo, se chegarmos ao valor mencionado no enunciado, fizemos tudo certo.

$a_{n} = a_{1} \times q^{n - 1}$

$a_{6} = 1280 \times {(\frac{1}{2})}^{6 - 1}$

$a_{6} = 1280 \times \frac{1}{32}$

$a_{6} = \frac{1280}{32}$

$a_{6} = 40$

Podemos extrapolar a equação do termo geral, para que possamos achar um determinado termo, tendo conhecimento de um outro termo ( $a_{k}$ ), que pode não ser o primeiro, e da razão:

$a_{n} = a_{k} \times q^{n - k}$

Esse $n - k$ é a diferença da posição que está o termo que queremos encontrar e a posição do termo que já conhecemos. Vamos utilizar o exercício anterior, sabemos que o sexto termo é $40$ e que a razão é $\frac{1}{2}$ , se queremos descobrir o primeiro termo, podemos utilizar a equação acima (nosso $a_{k}$ será o sexto termo e $k$ será $6$ , que é a posição deste termo).

$a_{n} = a_{k} \times q^{n - k}$

$a_{1} = 40 \times {(\frac{1}{2})}^{1 - 6}$

$a_{1} = 40 \times {(\frac{1}{2})}^{- 5}$

$a_{1} = 40 \times \frac{1^{- 5}}{2^{- 5}}$

Utilizarei agora uma propriedade de potenciação para deixar os expoentes positivos.

$a_{1} = 40 \times \frac{1^{- 5}}{2^{- 5}}$

$a_{1} = 40 \times \frac{2^{5}}{1^{5}}$

$a_{1} = 40 \times \frac{32}{1}$

$a_{1} = 40 \times 32$

$a_{1} = 1280$

Como somar os termos em uma PG?

É possível somar os termos de uma PG, para isso, basta sabermos qual é o primeiro termo e sua razão, mas a depender do tipo da PG, o processo será diferente.

Soma de uma PG finita:

Para qualquer PG finita, calculamos a soma dos termos dela com a equação:

$S_{n} = \frac{a_{1} \times (1 - q^{n})}{1 - q}$

$S_{n}$ – Soma dos $n$ termos da PG;

$n$ – Quantidade de termos da PG.

Exemplo: Dada a PG abaixo e sabendo que ela possui $10$ elementos, calcule a soma dos seus termos.

$(3, 6, \dots)$

Temos o primeiro termo, então nos falta apenas a razão, que podemos obter dividindo o segundo termo pelo primeiro.

$q = \frac{6}{3} = 2$

Agora podemos calcular a soma dos termos da PG.

$S_{n} = \frac{a_{1} \times (1 - q^{n})}{1 - q}$

$S_{10} = \frac{3 \times (1 - 2^{10})}{1 - 2}$

$S_{10} = \frac{3 \times (1 - 1024)}{- 1}$

$S_{10} = \frac{3 \times (- 1023)}{- 1}$

$S_{10} = \frac{- 3069}{- 1}$

$S_{10} = 3069$

Soma de uma PG infinita:

Se tivermos uma PG infinita onde os termos possuem denominadores cada vez maiores, utilizaremos a seguinte equação para calcular a somatória de seus termos:

$S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q}$

Exemplo: Calcule o valor da soma dos termos PG infinita:

$(1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27} \dots)$

Podemos notar que os denominadores dos termos estão cada vez maiores, portanto, essa PG se enquadra na situação mencionada anteriormente. Vamos calcular a razão para depois calcularmos a soma dos infinitos termos.

$q = \frac{a^{2}}{a^{1}} = \frac{\frac{1}{3}}{1} = \frac{1}{3}$

Por fim, substituímos os valores na equação da soma.

$S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q}$

$S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

$S_{\infty} = \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

$S_{\infty} = \frac{1}{\frac{2}{3}}$

$S_{\infty} = \frac{3}{2}$

Esse é um valor aproximado, mas a explicação do porquê disso ficará para um artigo dedicado às equações de soma dos termos de uma PG, pois envolve um assunto do ensino superior chamado “limites”.

Para progressões geométricas infinitas que não são desse tipo, o resultado da somatória dos termos será $\infty$ ou $- \infty$ , a depender da PG.

Diferença entre PA e PG

Basicamente, a diferença entre elas é na forma que os termos se relacionam, enquanto na PA a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma, na PG o resultado da divisão entre termos consecutivos é igual. De outra forma, o próximo termo de uma PA será igual ao termo anterior mais uma constante (razão da PA), e na PG um termo será igual ao anterior multiplicado por uma constante (razão da PG).

Aplicações da PG

Há vários assuntos que podem se utilizar da PG, alguns deles são porcentagem, juros compostos, dízima periódica e até questões envolvendo soma de infinitas áreas.

Exercícios resolvidos de progressão geométrica

1. Em uma progressão geométrica, o primeiro termo é $4$ e o quarto termo é $32$ . Qual é a razão da PG?

Descobriremos a razão dessa PG ao isolarmos o $q$ na equação do termo geral.

$a_{n} = a_{1} \times q^{n - 1}$

$32 = 4 \times q^{4 - 1}$

$q^{3} = \frac{32}{4}$

$q^{3} = 8$

Podemos encontrar o $q$ aplicando a raiz cúbica em ambos os lados da equação, para assim “eliminarmos” o expoente a fim de deixá-lo sozinho.

$\sqrt[3]{q^{3}} = \sqrt[3]{8}$

$q = 2$

2. O primeiro termo de uma PG é $3$ e a razão é $2$ . Sabendo isso, qual é a posição do termo que é igual a $48$ ?

Essa questão é um pouquinho mais trabalhosa, mas não é nada de outro mundo, novamente utilizaremos a equação do termo geral, só que dessa vez, vamos isolar o $n$ , pois nos é pedida a posição do termo cujo valor é $48$ .

$a_{n} = a_{1} \times q^{n - 1}$

$48 = 3 \times 2^{n - 1}$

$2^{n - 1} = \frac{48}{3}$

$2^{n - 1} = 16$

Chegamos em uma equação exponencial, que pode ser resolvida de duas formas: Igualando as bases ou utilizando logaritmo. Resolverei de ambas as formas, começando pelo método de igualar bases.

$2^{n - 1} = 16$

$2^{n - 1} = 2^{4}$

Se eu tenho potências de bases iguais e a igualdade garante que o lado esquerdo é igual ao direito, significa que para essas potências serem iguais, os expoentes devem ser iguais também.

$n - 1 = 4$

$n = 4 + 1$

$n = 5$

Agora resolverei através de log.

$2^{n - 1} = 16$

$\log_{2} 2^{n - 1} = \log_{2} 16$

$(n - 1) \times \log_{2} 2 = \log_{2} 16$

$(n - 1) \times 1 = 4$

$n - 1 = 4$

$n = 5$

Para verificar se a resposta está correta, podemos calcular qual é o quinto termo dessa PG, se chegarmos em $48$ , significa que acertamos.

$a_{n} = a_{1} \times q^{n - 1}$

$a_{5} = 3 \times 2^{5 - 1}$

$a_{5} = 3 \times 2^{4}$

$a_{5} = 3 \times 16$

$a_{5} = 48$

3. Dada uma PG qualquer, o produto dos seus três primeiros termos é $64$ , e a soma do segundo e terceiro termos é $12$ . Determine quais são os termos.

Essa é uma questão clássica sobre três termos consecutivos de uma PG, há diferentes formas de abordar essa questão, mas o resultado será o mesmo. Vamos supor que essa PG é composta apenas desses três termos, podemos escrever ela da seguinte forma genérica:

$(a_{1}, a_{2}, a_{3})$

Sabemos pela definição de PG que um termo, exceto o primeiro, é igual ao termo anterior multiplicado pela razão, então, podemos afirmar que $a_{2}$ é igual à $a_{1}$ vezes $q$ , que por sua vez, é o mesmo que dizer que:

$a_{1} = \frac{a_{2}}{q}$

À medida que avançamos os termos na PG, multiplicamos pela razão, mas se quisermos descobrir termos antecedentes, é possível fazê-lo ao dividir um termo pela razão.

$(\frac{a_{2}}{q}, a_{2}, a_{3})$

Seguindo o raciocínio, o terceiro termo pode ser escrito como o segundo multiplicado pela razão.

$(\frac{a_{2}}{q}, a_{2}, a_{2} \times q)$

Fiz esse processo para diminuir a quantidade de termos desconhecidos, com o intuito de facilitar os cálculos ao utilizar as informações que o enunciado nos deu. Sabemos que o produto entre os três termos é igual à $64$ :

$\frac{a_{2}}{q} \times a_{2} \times a_{2} \times q = 64$

$(a_{2})^{3} = 64$

$a_{2} = \sqrt[3]{64}$

$a_{2} = 4$

Descobrimos quem é o segundo termo, no entanto, para acharmos os demais, precisamos encontrar o valor de $q$ (razão), e para tal, usaremos a segunda informação do enunciado: A soma do segundo e terceiro termo é igual à $12$ .

$a_{2} + a_{3} = 12$

$a_{3} = 12 - a_{2}$

$a_{3} = 12 - 4$

$a_{3} = 8$

Agora ficou fácil achar a razão, basta dividirmos o terceiro termo pelo segundo.

$q = \frac{a_{3}}{a_{2}} = \frac{8}{4} = 2$

Uma vez que $a_{1} = \frac{a_{2}}{q}$ , conseguimos descobrir o valor do primeiro termo.

$a_{1} = \frac{a_{2}}{q} = \frac{4}{2} = 2$

Nossa PG, portanto, será:

$(2, 4, 8, \dots)$

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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