Considerada por muitos a mais difícil das equações, tentarei mostrar nesse artigo que se você entender o que é módulo e se souberes resolver as equações polinomiais, resolver equações modulares se torna um processo tranquilo, apesar de trabalhoso em alguns momentos.
Revisando o conceito de módulo
Basicamente, o módulo é um dispositivo matemático que quando aplicado faz com que uma expressão matemática tenha sempre valor positivo, em outras palavras, tudo o que estiver dentro do módulo, terá valor positivo após a aplicação do dispositivo módulo. A representação do módulo são duas barras verticais:
$$\left|a\right|$$
Com $a$ sendo um valor qualquer pertencente ao conjunto dos números reais, caso seja um valor positivo, o módulo nada faz com ele ao ser aplicado, já se for um número negativo, ao aplicarmos o módulo, ele “multiplica” o valor por $-1$, ou seja, troca o sinal do(s) termo(s) que estavam dentro dele.
$$\left|a\right|=\begin{cases}a,\;se\;a\geq0\\-a,\;se\;a<0\end{cases}$$
Exemplos:
1) $\left|3\right|=3$
2) $\left|-2\right|=-(-2)=2$
3) $\left|-\infty\right|=\infty$
Propriedades do módulo
Há algumas propriedades interessantes do módulo que poderão nos auxiliar na resolução de algumas equações modulares, se tornando essencial mostrar as principais:
1) O módulo de um valor é igual ao módulo do oposto dele
$$\left|x\right|=\left|-x\right|$$
2) Expoentes pares “anulam” o módulo, pois eles já fazem o valor que está elevando se tornar positivo
$$\left|x^2\right|=\left|x^2\right|^2=x^2$$
3) O resultado de qualquer raiz de índice par que tenha uma variável, será o módulo dessa variável
$$\sqrt{x}=\left|x\right|$$
4) A multiplicação de termos dentro de um módulo é igual a multiplicação dos módulos dos termos separados
$$\left|x.y\right|=\left|x\right|.\left|y\right|$$
5) A divisão de termos dentro de um módulo é igual a divisão dos módulos dos termos separados
$$\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}
O que é uma equação modular?
Como o próprio nome sugere, se trata de uma equação que possui pelo menos um termo que esteja “em módulo”, ou seja, que tenha o dispositivo módulo.
Exemplos de equações modulares:
1) $\left|x\right|-2=8$
2) $\left|x+5\right|=x^2-3$
3) $\left|x+1\right|=\left|x-9\right|$
Como resolver uma equação modular?
Pela presença da variável na equação, para determinados valores que ela assumir, o número dentro do módulo poderá ser positivo ou negativo. Por causa disso, ao resolvermos uma equação modular, temos que analisar todas as possibilidades e, ao encontrarmos os resultados, substituímos na equação original para verificar se são válidas as soluções encontradas.
Exemplo 1: Resolva a equação modular abaixo
$$\left|x\right|=4$$
Para resolver uma equação, precisamos encontrar o(s) valore(s) que tornam a igualdade verdadeira, e com a equação modular não seria diferente. Só que temos que tomar cuidado com a definição de módulo para não errarmos a questão. A equação acima está perguntando, implicitamente, quais valores que “x” pode assumir para que quando apliquemos o módulo cheguemos em $4$? São duas as possibilidades, tanto o $4$ quanto o $-4$ satisfazem essa condição, vejamos na prática:
1) Para $x=4$
$$\left|4\right|=4$$
2) Para $x=-4$
$$\left|-4\right|=-(-4)=4$$
Exemplo 2: Resolva a equação modular abaixo
$$\left|x-2\right|=-2$$
De acordo com a definição de módulo, ele garante que ao aplicá-lo, teremos como resultado sempre um valor positivo, portanto, não há solução para a equação acima, pois independentemente do valor que $x$ assumir, ao aplicarmos o módulo, jamais chegaremos ao número negativo $-2$. Se estivéssemos fazendo uma prova, escreveríamos que não existe solução ou que a solução é um conjunto vazio.
Exemplo 3: Resolva a equação modular abaixo
$$\left|x^2\right|=16$$
Como temos o módulo de uma variável com expoente par, podemos desconsiderar o módulo, pois o valor já será positivo ao ser elevado ao expoente $2$, mas não posso deixar de mencionar que só podemos fazer isso caso a incógnita esteja sozinha ou sendo somada a um número positivo, dentro do módulo, se tivéssemos $\left|x^2-1\right|$, já não poderíamos aplicar a propriedade
$$\left|x^2\right|=16$$
$$x^2=16$$
Agora resolvemos a equação de segundo grau incompleta
$$x^2=16$$
$$\sqrt{x^2}=\sqrt{16}$$
$$x=\pm4$$
Por fim, substituímos na equação modular
1) Para $x=4$
$$\left|x^2\right|=16$$
$$\left|4^2\right|=16$$
$$\left|16\right|=16$$
$$16=16$$
2) Para $x=-4$
$$\left|x^2\right|=16$$
$$\left|(-4)^2\right|=16$$
$$\left|16\right|=16$$
$$16=16$$
Exemplo 4: Resolva a equação modular abaixo
$$\left|3x\right|=9$$
Precisamos realizar dois cálculos para resolver a equação acima, pois há duas possibilidades, caso o valor dentro do módulo seja positivo, então o dispositivo módulo não irá afetar a expressão, se for negativo, o módulo trocará o sinal de todos os termos que estavam dentro dele (nesse caso o $3x$)
1) Para $3x\geq0$
$$3x=9$$
$$x=\frac{9}{3}=3$$
2) Para $3x<0$
$$-3x=9$$
$$x=\frac{9}{-3}=-3$$
Temos duas respostas possíveis, vamos substituir em nossa equação para conferir se estão corretas
1) Para $x=3$
$$\left|3x\right|=9$$
$$\left|3.3\right|=9$$
$$\left|9\right|=9$$
$$9=9$$
2) Para $x=-3$
$$\left|3x\right|=9$$
$$\left|3.(-3)\right|=9$$
$$\left|-9\right|=9$$
$$9=9$$
Exemplo 5: Resolva a equação modular abaixo
$$\left|3x+1\right|=\left|x-5\right|$$
Quando tivermos tão somente um módulo igualado a outro, podemos analisar as diferentes possibilidades em apenas um deles, desconsiderando o outro módulo
1) Para $3x+1\geq0$
$$3x+1=x-5$$
$$3x-x=-5-1$$
$$2x=-6$$
$$x=\frac{-6}{2}=-3$$
2) Para $3x+1<0$
$$-(3x+1)=x-5$$
$$-3x-1=x-5$$
$$-3x-x=-5+1$$
$$-4x=-4$$
$$x=\frac{-4}{-4}=1$$
Encerramos a questão testando os valores encontrados na equação original
1) Para $x=-3$
$$\left|3x+1\right|=\left|x-5\right|$$
$$\left|3.(-3)+1\right|=\left|-3-5\right|$$
$$\left|-9+1\right|=\left|-8\right|$$
$$\left|-8\right|=\left|-8\right|$$
$$8=8$$
2) Para $x=1$
$$\left|3x+1\right|=\left|x-5\right|$$
$$\left|3.1+1\right|=\left|1-5\right|$$
$$\left|3+1\right|=\left|-4\right|$$
$$\left|4\right|=\left|-4\right|$$
$$4=4$$
Há inúmeras outras formas de equação modular que podem aparecer nos exercícios, mas o ponto central desse artigo foi mostrar que a única diferença dessa para as demais equações é que precisamos aplicar o módulo de acordo com sua definição antes de começarmos a mexer na expressão.
Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.
