Área de figuras planas: Como calcular e dicas

Geometria plana, um assunto que é geralmente ensinado no ensino fundamental, mas que acompanha o aluno durante quase toda a vida acadêmica, é uma das mais importantes áreas da matemática, pois em inúmeras situações, saber calcular a área ou o perímetro de superfícies será o diferencial para tirar uma nota boa numa prova de concurso ou ser elogiado no trabalho (caso trabalhes com engenharia, por exemplo).

O que é uma área?

É uma medida da extensão de uma superfície em um determinado espaço bidimensional. Em outras palavras, é a quantidade de espaço dentro dos limites de uma figura plana. A área é expressa em “unidades de medidas quadradas”, como metros quadrados ($m^2$) e centímetros quadrados ($cm^2$), por exemplo.

Como calcular a área de uma figura plana? (h2)

Cada figura plana tem uma equação específica para o cálculo de sua área.

Área de um retângulo:

Calculamos a área de um retângulo multiplicando a largura (geralmente chamada de altura) pelo comprimento (base)

$$A=b.h$$

Representação de um retângulo:

$b$ – Base: Lado maior

$h$ – Altura: Lado menor

Área de um quadrado:

O quadrado é um caso especial do retângulo, possuindo todos os lados iguais (com o mesmo comprimento). Então, podemos achar sua área multiplicando dois de seus lados ou calculando o quadrado de um dos lados.

$$A=L.L=L^2$$

Representação de um quadrado:

$L$ – Lado

Área de um triângulo:

Para um triângulo qualquer, calculamos sua área multiplicando sua base pela altura e dividindo o resultado por $2$.

$$A=\frac{b.h}{2}$$

Representação de um triângulo genérico:

$h$ – Altura: comprimento do segmento perpendicular (que forma noventa graus) ao lado oposto a um dos vértices

$b$ – Base: Lado oposto ao vértice de onde parte o segmento que representa a altura

Área de um triângulo equilátero:

Caso o triângulo seja equilátero (com todos os lados e ângulos iguais), podemos utilizar uma equação especial para calcular sua área

$$A=\frac{l^2.\sqrt{3}}{4}$$

Representação do triângulo equilátero:

$L$ – Lado

Área de um triângulo retângulo:

No triângulo retângulo (que possui um ângulo de noventa graus), um dos catetos será a altura, portanto, podemos reescrever a equação da área de um triângulo como sendo a multiplicação dos catetos, dividida por dois

$$A=\frac{c_1.c_2}{2}$$

Representação de um triângulo retângulo:

$c_1$ e $c_2$ – Catetos: Nome dado aos lados adjacentes (que ficam ao lado) ao ângulo reto

$H$ – Hipotenusa:  Lado oposto ao ângulo de $90$

Área de um círculo:

Para calcular a área de um círculo, multiplicamos seu raio (menor distância entre o centro e a borda do círculo) ao quadrado pela famosa constante pi (π), que vale aproximadamente $3,14$

$$A=\pi.r^2$$

Representação de um círculo:

$r$ – Raio

Área de um losango:

Calculamos a área do losango multiplicando suas diagonais (segmentos formados entre vértices opostos) maior e menor, e dividindo por $2$ o resultado disso.

$$A=\frac{D.d}{2}$$

Representação de um losango:

$d$ – Diagonal menor

$D$ – Diagonal maior

Se o losango tiver diagonais com tamanhos iguais, ele é classificado como quadrado, podendo-se também calcular sua área ao multiplicar dois de seus lados.

Área de um trapézio:

Sendo uma figura que possui dois lados paralelos (chamados de bases) e com comprimentos distintos, calculamos sua área ao multiplicarmos sua altura (distância entre os lados paralelo) pela soma de suas áreas e, dividindo o resultado desse cálculo por $2$

$$A=\frac{(b+B).h}{2}$$

Representação de um trapézio genérico:

$b$ – Base menor

$B$ – Base maior

$h$ – Altura

Área de um trapézio retângulo:

Há um trapézio específico que possui esse nome porque um de seus lados forma ângulos de $90°$ com as bases (lados paralelos), nesse caso, sua altura será exatamente igual ao comprimento desse segmento perpendicular às bases.

Representação do trapézio retângulo:

Área de um paralelogramo:

Se o trapézio possuir lados paralelos com o mesmo comprimento, teremos uma nova figura geométrica chamada paralelogramo (que pode ser considerada um caso especial de trapézio). Só que utilizamos uma equação diferente para calcular a área do paralelogramo, multiplicamos o comprimento de um dos lados paralelos (base) pela distância entre eles (altura)

$$A=b.h$$

Representação do paralelogramo:

$b$ – Base

$h$ – Altura

O paralelogramo só pode ser classificado como trapézio se considerarmos a chamada definição inclusiva do trapézio: “O trapézio é uma figura geométrica que possui ao menos um par de lados paralelos”. Por essa ótica, o retângulo pode ser também considerado um trapézio.

Transformando figuras planas em triângulos

Uma técnica útil para facilitar nossos cálculos, é transformar figuras planas complexas em triângulos (ou em outra figura simples, como um quadrado). Ao dividir um polígono em triângulos, é possível calcular a área total somando a área de cada triângulo. Utilizemos como exemplo o trapézio retângulo

Podemos dividi-lo em dois triângulos, onde suas alturas serão iguais ao lado perpendicular às bases do trapézio, e as bases dos triângulos serão a base menor e maior do trapézio, respectivamente (suponhamos que você esqueceu a equação da área do trapézio, essa engenhosidade pode salvar sua vida)

Para os amantes de equações, a área desse trapézio pode ser escrita como:

$$A=\frac{b.h}{2}+\frac{B.h}{2}$$

E olha só que coisa interessante, podemos juntar essas frações e chegar na equação original da área de um trapézio genérico:

$$A=\frac{b.h}{2}+\frac{B.h}{2}=\frac{b.h+B.h}{2}=\frac{(b+B).h}{2}$$

Podemos dividir o trapézio retângulo de outra forma, em um retângulo (ou quadrado) e um triângulo retângulo

A base do triângulo será o resultado da diferença entre a base maior e menor (em módulo, pois não existe comprimento negativo). Abaixo podemos ver a equação para o cálculo da área nessa situação (não precisas decorar essas equações resultantes da decomposição do trapézio, pois elas são o fruto da junção de outras equações mais simples, nada mais, nada menos)

$$A=b.h+\frac{h.(B-b)}{2}$$

Para mostrar mais uma vez como tudo faz sentido na matemática, podemos manipular a equação acima para chegarmos novamente na equação da área do trapézio

$$A=b.h+\frac{h.(B-b)}{2}=\frac{2b.h+h.(B-b)}{2}=\frac{h(2b+B-b)}{2}=\frac{(B+b).h}{2}$$

Caso não estejas satisfeito, mostrarei outra figura que pode ser decomposta em triângulos, o hexágono regular (figura com seis lados e ângulos iguais)

Podemos dividi-lo em seis triângulos equiláteros, cujos lados terão comprimentos iguais ao lado do hexágono

Caso não saibas a equação do cálculo da área do hexágono regular, podes multiplicar por $6$ a equação da área do triângulo equilátero

$$A=6.A_{\Delta equilátero}=6\cdot\frac{L^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3L^2\sqrt{3}}{2}$$

Existem situações em que não é possível ou prático dividir uma figura em triângulos, como quando a figura tem contornos curvos complexos. Neste e em outros casos, técnicas alternativas, como o cálculo de integrais ou métodos numéricos, podem ser necessárias para determinar a área.

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