Caso tenha dúvidas em relação as resoluções, recomendo que leia os artigos de operações básicas, regra de sinais, expressões matemáticas, frações e equação de 2° grau. Se quiseres questões contextualizadas sobre equações de 2° grau, futuramente haverá artigo aqui no blog. Resolverei as questões de até duas formas, pois além da fórmula de Bhaskara, as equações quadráticas completas podem ser resolvidas por “soma e produto” e as incompletas por métodos específicos.
Questão 1:
Ache as soluções para a equação quadrática abaixo
$$x^2-5x+6=0$$
Resolução da questão 1:
1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara
$$x^2-5x+6=0$$
$$a=1, b=-5, c=6$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4.1.6}}{2.1}$$
$$x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}$$
$$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}$$
$$x=\frac{5\pm1}{2}$$
$$x_1=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$
$$x_2=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2$$
2) Resolvendo por soma e produto
$$x^2-5x+6=0$$
$$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-(-5)}{1}=5$$
$$2+3=5$$
$$x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{6}{1}=6$$
$$2.3=6$$
Prova real da questão 1:
1) Substituindo $x=2$
$$x^2-5x+6=0$$
$$2^2-5.2+6=0$$
$$4-10+6=0$$
$$0=0$$
2) Substituindo $x=3$
$$x^2-5x+6=0$$
$$3^2-5.3+6=0$$
$$9-15+6=0$$
$$0=0$$
Questão 2:
Ache as soluções para a equação quadrática abaixo
$$-x^2+3x-2=0$$
Resolução da questão 2:
1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara
$$-x^2+3x-2=0$$
$$a=-1, b=3, c=-2$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4.(-1).(-2)}}{2.(-1)}$$
$$x=\frac{-3\pm\sqrt{9-8}}{-2}$$
$$x=\frac{-3\pm\sqrt{1}}{-2}$$
$$x=\frac{-3\pm1}{-2}$$
$$x_1=\frac{-3+1}{-2}=\frac{-2}{-2}=1$$
$$x_2=\frac{-3-1}{-2}=\frac{-4}{-2}=2$$
2) Resolvendo por soma e produto
$$-x^2+3x-2=0$$
$$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-3}{-1}=3$$
$$1+2=3$$
$$x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{-1}=2$$
$$1.2=2$$
Prova real da questão 2:
1) Substituindo $x=1$
$$-x^2+3x-2=0$$
$$-1^2+3.1-2=0$$
$$-1+3-2=0$$
$$0=0$$
2) Substituindo $x=2$
$$-x^2+3x-2=0$$
$$-2^2+3.2-2=0$$
$$-4+6-2=0$$
$$0=0$$
Questão 3:
Ache as soluções para a equação quadrática abaixo
$$x^2+4x+4=0$$
Resolução da questão 3:
1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara
$$x^2+4x+4=0$$
$$a=1, b=4, c=4$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4.1.4}}{2.1}$$
$$x=\frac{-4\pm\sqrt{16-16}}{2}$$
$$x=\frac{-4\pm\sqrt{0}}{2}$$
$$x=\frac{-4\pm0}{2}$$
$$x_1=\frac{-4+0}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$
$$x_2=\frac{-4-0}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$
2) Resolvendo por soma e produto
$$x^2+4x+4=0$$
$$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-4}{1}=-4$$
$$-2+(-2)=-4$$
$$x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{1}=4$$
$$-2.(-2)=4$$
Prova real da questão 3:
Substituindo $x=-2$
$$x^2+4x+4=0$$
$$(-2)^2+4.(-2)+4=0$$
$$4-8+4=0$$
$$0=0$$
Questão 4:
Resolva a equação de segundo grau:
$$x^2-2x+1=0$$
Resolução da questão 4:
1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara
$$x^2-2x+1=0$$
$$a=1, b=-2, c=1$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4.1.1}}{2.1}$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4}}{2}$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{0}}{2}$$
$$x=\frac{2\pm0}{2}$$
$$x_1=\frac{2+0}{2}=\frac{2}{2}=1$$
$$x_2=\frac{2-0}{2}=\frac{2}{2}=1$$
2) Resolvendo por soma e produto
$$x^2-2x+1=0$$
$$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-(-2)}{1}=2$$
$$1+1=2$$
$$x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$$
$$1.1=1$$
Prova real da questão 4:
Substituindo $x=1$
$$x^2-2x+1=0$$
$$1^2-2.1+1=0$$
$$1-2+1=0$$
$$0=0$$
Questão 5:
Determine as respostas para a equação de 2° grau a seguir
$$x^2-9=0$$
Resolução da questão 5:
1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara
$$x^2-9=0$$
$$a=1, b=0, c=-9$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4.1.(-9)}}{2.1}$$
$$x=\frac{0\pm\sqrt{0+36}}{2}$$
$$x=\frac{0\pm\sqrt{36}}{2}$$
$$x=\frac{0\pm6}{2}$$
$$x_1=\frac{0+6}{2}=\frac{6}{2}=3$$
$$x_2=\frac{0-6}{2}=\frac{-6}{2}=-3$$
2) Resolvendo ao isolar a variável
$$x^2-9=0$$
$$x^2=9$$
$$\sqrt{x^2}=\sqrt{9}$$
$$x=\pm3$$
$$x_1=3$$
$$x_2=-3$$
Prova real da questão 5:
1) Substituindo $x=3$
$$x^2-9=0$$
$$3^2-9=0$$
$$9-9=0$$
2) Substituindo $x=-3$
$$x^2-9=0$$
$$(-3)^2-9=0$$
$$9-9=0$$
Questão 6:
Determine as respostas para a equação de 2° grau a seguir
$$x^2-25$$
Resolução da questão 6:
1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara
$$x^2-25=0$$
$$a=1, b=0, c=-25$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4.1.(-25)}}{2.1}$$
$$x=\frac{0\pm\sqrt{0+100}}{2}$$
$$x=\frac{0\pm\sqrt{100}}{2}$$
$$x=\frac{0\pm10}{2}$$
$$x_1=\frac{0+10}{2}=\frac{10}{2}=5$$
$$x_2=\frac{0-10}{2}=\frac{-10}{2}=-5$$
2) Resolvendo ao isolar a variável
$$x^2-25=0$$
$$x^2=25$$
$$\sqrt{x^2}=\sqrt{25}$$
$$x=\pm5$$
$$x_1=5$$
$$x_2=-5$$
Prova real da questão 6:
1) Substituindo $x=5$
$$x^2-25=0$$
$$5^2-25=0$$
$$25-25=0$$
$$0=0$$
2) Substituindo $x=5$
$$x^2-25=0$$
$$(-5)^2-25=0$$
$$25-25=0$$
$$0=0$$
Questão 7:
Resolva a equação de segundo grau:
$$x^2-2x=0$$
Resolução da questão 7:
1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara
$$x^2-2x=0$$
$$a=1, b=-2, c=0$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4.1.0}}{2.1}$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{4-0}}{2}$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{4}}{2}$$
$$x=\frac{2\pm2}{2}$$
$$x_1=\frac{2+2}{2}=\frac{4}{2}=2$$
$$x_2=\frac{2-2}{2}=\frac{0}{2}=0$$
2) Resolvendo por fator comum em evidência
$$x^2-2x=0$$
$$x.(x-2)=0$$
Primeira possibilidade de a multiplicação resultar em zero:
$$x=0$$
Segunda possibilidade de a multiplicação resultar em zero:
$$x-2=0$$
$$x=2$$
Portanto,
$$x_1=0$$
$$x_2=2$$
Prova real da questão 7:
1) Substituindo $x=2$
$$x^2-2x=0$$
$$2^2-2.2=0$$
$$4-4=0$$
$$0=0$$
2) Substituindo $x=0$
$$x^2-2x=0$$
$$0^2-2.0=0$$
$$0-0=0$$
$$0=0$$
Questão 8:
Resolva a equação de segundo grau:
$$x^2+x=0$$
Resolução da questão 8:
1) Resolvendo pela fórmula de Bhaskara
$$x^2+x=0$$
$$a=1, b=1, c=0$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4.1.0}}{2.1}$$
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{1-0}}{2}$$
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{1}}{2}$$
$$x=\frac{-1\pm1}{2}$$
$$x_1=\frac{-1+1}{2}=\frac{0}{2}=0$$
$$x_2=\frac{-1-1}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$
2) Resolvendo por fator comum em evidência
$$x^2+x=0$$
$$x.(x+1)=0$$
Primeira possibilidade de a multiplicação resultar em zero:
$$x=0$$
Segunda possibilidade de a multiplicação resultar em zero:
$$x+1=0$$
$$x=-1$$
Portanto,
$$x_1=0$$
$$x_2=-1$$
Prova real da questão 8:
1) Substituindo $x=0$
$$x^2+x=0$$
$$0^2+0=0$$
$$0+0=0$$
$$0=0$$
2) Substituindo $x=-1$
$$x^2+x=0$$
$$(-1)^2-1=0$$
$$1-1=0$$
$$0=0$$
Questão 9:
Determine as respostas para a equação de 2° grau a seguir
$$x^2+\frac{5x}{2}-\frac{3}{2}=0$$
Resolução da questão 9:
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara
$$x^2+\frac{5x}{2}-\frac{3}{2}=0$$
$$a=1, b=\frac{5}{2}, c=-\frac{3}{2}$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-\frac{5}{2}\pm\sqrt{(\frac{5}{2})^2-4.1\cdot(-\frac{3}{2})}}{2.1}$$
$$x=\frac{-\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{12}{2}}}{2}$$
$$x=\frac{-\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{12\times2}{2\times2}}}{2}$$
$$x=\frac{-\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{24}{4}}}{2}$$
$$x=\frac{-\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{25+24}{4}}}{2}$$
$$x=\frac{-\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}}}{2}$$
$$x=\frac{-\frac{5}{2}\pm\frac{7}{2}}{2}$$
$$x_1=\frac{-\frac{5}{2}+\frac{7}{2}}{2}=\frac{\frac{-5+7}{2}}{2}=\frac{\frac{2}{2}}{2}=\frac{1}{2}$$
$$x_2=\frac{-\frac{5}{2}-\frac{7}{2}}{2}=\frac{\frac{-5-7}{2}}{2}=\frac{\frac{-12}{2}}{2}=\frac{-6}{2}=-3$$
Prova real da questão 9:
1) Substituindo $x=\frac{1}{2}$
$$x^2+\frac{5x}{2}-\frac{3}{2}=0$$
$$(\frac{1}{2})^2+\frac{5\cdot\frac{1}{2}}{2}-\frac{3}{2}=0$$
$$\frac{1}{4}+\frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{3}{2}=0$$
$$\frac{1}{4}+\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{3\times2}{2\times2}=0$$
$$\frac{1}{4}+\frac{5}{4}-\frac{6}{4}=0$$
$$\frac{1+5-6}{4}=0$$
$$\frac{0}{4}=0$$
$$0=0$$
2) Substituindo $x=-3$
$$x^2+\frac{5x}{2}-\frac{3}{2}=0$$
$$(-3)^2+\frac{5.(-3)}{2}-\frac{3}{2}=0$$
$$9-\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=0$$
$$9+\frac{(-15-3)}{2}=0$$
$$9-\frac{18}{2}=0$$
$$9-9=0$$
$$0=0$$
Questão 10:
Determine as respostas para a equação de 2° grau a seguir
$$x^2-\frac{x}{2}-\frac{6}{2}=0$$
Resolução da questão 10:
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara
$$x^2-\frac{x}{2}-\frac{6}{2}=0$$
$$a=1, b=-\frac{1}{2}, c=-\frac{6}{2}$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(\frac{1}{2})\pm\sqrt{(-\frac{1}{2})^2-4.1\cdot(-\frac{6}{2})}}{2.1}$$
$$x=\frac{\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{24}{2}}}{2}$$
$$x=\frac{\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{24\times2}{2\times2}}}{2}$$
$$x=\frac{\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{48}{4}}}{2}$$
$$x=\frac{\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1+48}{4}}}{2}$$
$$x=\frac{\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}}}{2}$$
$$x=\frac{\frac{1}{2}\pm\frac{7}{2}}{2}$$
$$x_1=\frac{\frac{1}{2}+\frac{7}{2}}{2}=\frac{\frac{1+7}{2}}{2}=\frac{\frac{8}{2}}{2}=\frac{4}{2}=2$$
$$x_2=\frac{\frac{1}{2}-\frac{7}{2}}{2}=\frac{\frac{1-7}{2}}{2}=\frac{\frac{-6}{2}}{2}=-\frac{3}{2}$$
Prova real da questão 10:
1) Substituindo $x=-\frac{3}{2}$
$$x^2-\frac{x}{2}-\frac{6}{2}=0$$
$$(-\frac{3}{2})^2-\frac{-\frac{3}{2}}{2}-\frac{6}{2}=0$$
$$\frac{9}{4}+\frac{\frac{3}{2}}{2}-\frac{6\times2}{2\times2}=0$$
$$\frac{9}{4}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{12}{4}=0$$
$$\frac{9}{4}+\frac{3}{4}-\frac{12}{4}=0$$
$$\frac{9+3-12}{4}=0$$
$$\frac{0}{4}=0$$
$$0=0$$
2) Substituindo $x=2$
$$x^2-\frac{x}{2}-\frac{6}{2}=0$$
$$2^2-\frac{2}{2}-\frac{6}{2}=0$$
$$4-1-3=0$$
$$0=0$$
