Muito utilizados em vetores e mencionados quase sempre em questões envolvendo o plano cartesiano, os pares ordenados são ferramentas úteis para representar determinadas informações na matemática.
O que é um par ordenado?
Nada mais, nada menos, um par ordenado é uma representação matemática de dois elementos de um conjunto numérico, coordenadas de um vetor ou de um ponto em um plano cartesiano. O nome “ordenado” não foi dado por acaso, pois a ordem dos elementos importam, por exemplo, o par $(2,0)$ é completamente diferente do par $(0,2)$, diferentemente de um subconjunto de dois elementos ou uma sequência numérica qualquer, cuja ordem não altera nada na representação.
Exemplos:
1) $(1,0)$
2) $(-1,-3)$
3) $(2,-8)$
Podemos simbolizar o par ordenado em um parêntese, com dois elementos um do lado do outro, separados por uma vírgula, e cada um deles representa um valor específico.
$$(a,b)$$
O valor que fica na posição do $a$ é o primeiro elemento, e o $b$, segundo elemento. Podemos dizer que o par ordenado é uma “versão menor” do terno ordenado.
Como representar o par ordenado no plano cartesiano?
Para marcarmos um ponto no plano cartesiano, precisamos de duas coordenadas, uma para o eixo $x$ e uma referente ao eixo $y$, e é justamente para representá-las que o par ordenado entra em ação. Utilizemos como exemplo um ponto de coordenadas $x=1$ e $y=2$, podemos representar elas em um par ordenado $(x,y)$, onde os valores são respectivamente $1$ e $2$, essa notação ficará perto do ponto demarcado no plano, como podemos ver na figura abaixo.
Em geral, para qualquer ponto, teremos a seguinte forma:
Onde o valor de $x_1$ corresponde a coordenada no eixo $x$, e o valor de $y_1$ será o do eixo $y$. Um ponto famoso e que muita gente tem dificuldade de representar é o $(0,0)$, que coincide com a origem do plano cartesiano:
Par ordenado nas funções
O par ordenado também pode representar o valor da variável independente e o valor correspondente da variável dependente.
Exemplo:
Calcule $f(3)$ na função $f(x)=x-5$
O valor da nossa variável independente será $3$ e se o substituirmos na expressão, teremos o valor de $f(x)$, ou seja, da variável dependente
$$f(x)=x-5$$
$$f(3)=3-5$$
$$f(3)=-2$$
Podemos representar essa dupla de valores no par ordenado $(3,-2)$. E caso quiséssemos colocar esse resultado específico como um ponto no plano cartesiano, teríamos:
Exercícios resolvidos de par ordenado
1. Represente no plano cartesiano o ponto de coordenadas $(3,2)$
O primeiro elemento corresponde ao valor no eixo $x$ e o segundo é a coordenada no eixo $y$, portanto, nosso ponto ficará assim:
2. Em uma determinada função $f(x)$, o valor de $f(0)$ é $-2$. Como poderíamos representear esses valores em forma de par ordenado? Marque um ponto em um plano cartesiano correspondente a esse par.
O primeiro elemento do par será $0$, e o segundo elemento será $-2$, pois para funções, a variável independente será o primeiro elemento e a variável dependente será o último.
