No fascinante mundo do cálculo, as regras de derivação, como a regra do produto e a regra do quociente, são ferramentas essenciais que utilizamos frequentemente. No entanto, muitos estudantes se deparam com essas regras sem compreender suas origens, aplicando-as como se fossem meras receitas de bolo. Este artigo é um convite aos curiosos da matemática, onde exploraremos a construção dessas regras a partir da definição de derivada, das propriedades de limites e de alguns conceitos de matemática básica.
Alguns lembretes
Lembre-se da definição de derivada:
Além disso, é importante recordar algumas propriedades fundamentais dos limites, que usamos frequentemente no cálculo:
As propriedades acima são válidas desde que os limites existam.
Regra do Produto
A regra do produto nos diz que:
Ou seja, a derivada desse produto de funções é igual à derivada da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.
Para essa demonstração, consideremos uma função
Calculando
Sabendo que
Para facilitar a manipulação da expressão, podemos subtrair e somar o termo
Essa técnica de subtrair e somar um mesmo termo é válida, pois não altera o valor da expressão, já que isso é igual a
Podemos separar essa expressão em duas frações para obter:
Agora, utilizando a propriedade de que o limite da soma é igual à soma dos limites:
Aplicamos a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites. No primeiro termo:
No segundo termo:
Perceba que, quando
Agora acabou, pois o primeiro limite é a derivada de
e
Então, finalmente chegamos em:
Reorganizando a expressão para a forma com a qual estamos acostumados:
Portanto, a derivada do produto de duas funções pode ser expressa como:
Regra do Quociente
A regra do quociente nos diz que:
ou seja, a derivada do quociente de duas funções é igual a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.
Para essa demonstração, consideremos uma função
onde
Calculando
Substituímos esses resultados na definição de derivada:
Para simplificar a expressão, colocamos os dois termos do numerador sob um denominador comum:
Reorganizamos a fração, realizando a divisão de fração, segue que:
Para fazer os termos que precisamos aparecer, somamos e subtraímos o termo estratégico
Agora, podemos reorganizar os termos no numerador, colocando
Essa manipulação é essencial porque agora conseguimos separar o numerador em dois termos distintos, cada um associado a uma derivada. Separando em duas frações:
Sabendo que o limite da subtração é a subtração dos limites e separando os produtos, podemos escrever:
Chamaremos essa expressão acima de equação 1, pois iremos voltar nela posteriormente.
Aplicando a propriedade de que o limite da multiplicação é a multiplicação dos limites em ambos os limites da equação 1, e analisando separadamente cada um:
Primeiro limite:
Perceba que o primeiro fator desse produto é a derivada da função
Segundo limite:
De maneira semelhante:
O segundo fator do produto de limites acima é a derivada de
Agora, substituindo esses resultados na equação 1:
Finalmente, simplificando a expressão, temos:
ou seja,
Obtemos a famosa regra do quociente.
Licenciado em Matemática pela UEPB. Pós-graduando em Modelagem Matemática e Cálculo Avançado.
