Chamado por muitos de “Lopital” ou “Lospital”, essa é uma regra que pode facilitar muito a vida de quem precisa resolver alguns tipos de limites.
O que é L’Hôpital?
A regra de L’Hôpital é uma aplicação de derivadas, que nos permite resolver limites utilizando as derivadas, mas não é qualquer limite, pois só é possível aplica-la em limites indeterminados onde a indeterminação é do tipo $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.
Como aplicar a regra de L’Hôpital?
Uma vez que comprovamos que o limite é indeterminado, podemos derivar numerador e denominador para eliminarmos a indeterminação e para isso precisamos utilizar a tabela de derivadas e saber as suas regras.
Exemplo 1:
Resolva o limite indeterminado abaixo
$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2}{sen(x)}$$
O enunciado da questão já nos disse que o limite é indeterminado, mas nem sempre será assim, então, vamos substituir o valor que o $x$ se aproxima nas funções para comprovarmos que há indeterminação e de qual tipo ela é
$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2}{sen(x)}=\frac{0^2}{sen(0)}=\frac{0}{0}$$
Agora sim podemos aplicar a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador, após fazermos isso, verificamos se ainda há indeterminação
$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2}{sen(x)}=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2x}{cos(x)}=\frac{2.0}{cos(0)}=\frac{0}{1}=0$$
Resolvemos o limite, em poucos passos e sem precisar utilizar nenhum tipo de fatoração mirabolante.
Exemplo 2:
Resolva o limite abaixo
$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-x-1}{x^2}$$
Primeiramente, vamos verificar se esse possui um dos dois tipos de indeterminação citados anteriormente
$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-x-1}{x^2}=\frac{e^0-0-1}{0^2}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}$$
Como deu zero sobre zero, podemos utilizar a regra de L’Hôpital para resolver a questão
$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-x-1}{x^2}=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}$$
Vamos substituir o valor para o qual $x$ se aproxima e verificar se eliminamos a indeterminação
$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\frac{e^0-1}{2.0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}$$
Continua indeterminado, portanto, podemos aplicar novamente a regra (repetimos o processo até o limite não estar mais indeterminado)
$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}$$
Independentemente do valor do numerador, não há como dar zero no denominador, então eliminamos a indeterminação, nos resta calcular o limite
$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac{e^0}{2}=\frac{1}{2}$$
De forma geral, se constatamos que o limite é indeterminado por causa de uma divisão de zero sobre zero ou infinito sobre infinito, podemos resolver o limite derivando numerador e denominador, e fazemos isso repetidas vezes até não haver mais indeterminação:
$$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}= \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f’(x)}{g’(x)}$$
Com a observação de que $g’(x)\neq0$, ou seja, ao derivarmos o denominador, o resultado não pode ser zero, pois dessa forma não haverá como resolver através de L’Hôpital, um jeito disso acontecer é se houver uma constante no denominador.
Exercícios resolvidos de limites por L’Hôpital
1. Resolva o limite indeterminado:
$$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$$
Já que a questão nos diz que o limite é indeterminado, vamos aplicar a regra direto
$$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{2x}{1}=\displaystyle\lim_{x\to2}2x$$
Não há mais denominador, portanto, foi eliminada a possibilidade da haver indeterminação zero sobre zero
$$\displaystyle\lim_{x\to2}2x=2.2=4$$
E caso queira saber como ficaria o cálculo para comprovar se o limite é indeterminado, mostrarei agora:
$$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{2^2-4}{2-2}=\frac{4-4}{0}=\frac{0}{0}$$
2. Determine o valor do limite abaixo, se existir
$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{cos(x)-e^x}{sen(x)-x}$$
Antes de tudo, vamos conferir se o limite é indeterminado
$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{cos(x)-e^x}{sen(x)-x}=\frac{cos(0)-e^0}{sen(0)-0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}$$
Agora podemos utilizar L’Hôpital para resolver
$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{cos(x)-e^x}{sen(x)-x}=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{-sen(x)-e^x}{cos(x)-1}$$
Substituindo o $0$ onde tem $x$, teremos:
$$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{-sen(x)-e^x}{cos(x)-1}=\frac{-sen(0)-e^0}{cos(0)-1}=\frac{-0-1}{1-1}=\frac{-1}{0}=-\infty$$
3. Calcule o limite abaixo
$$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{ln|x|-x+1}{e^x-e}$$
Como fizemos nas outras vezes, verificamos se há indeterminação no limite
$$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{ln|x|-x+1}{2cos(x)-1}=\frac{ln|1|-1+1}{e^1-e}=\frac{0}{0}$$
Agora derivamos numerador e denominador até eliminarmos a indeterminação
$$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{ln|x|-x+1}{e^x-e}=\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x}-1}{e^x}=\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\frac{1-x}{x}}{e^x}=\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{1-x}{x}\cdot\frac{1}{e^x}=\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{1-x}{xe^x}$$
Uma vez organizada a expressão, vamos substituir o valor para o qual $x$ se aproxima
$$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{1-x}{xe^x}=\frac{1-1}{1e^1}=\frac{0}{e}=0$$
