Regra de L’Hôpital: O que é e como aplicar

Uma vez que comprovamos que o limite é indeterminado, podemos derivar numerador e denominador para eliminarmos a indeterminação e para isso precisamos utilizar a tabela de derivadas e saber as suas regras.

Exemplo 1:

Resolva o limite indeterminado abaixo

$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{sen(x)}}$$

O enunciado da questão já nos disse que o limite é indeterminado, mas nem sempre será assim, então, vamos substituir o valor que o $x$ se aproxima nas funções para comprovarmos que há indeterminação e de qual tipo ela é

$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{sen(x)}=\frac{0^2}{sen(0)}=\frac{0}{0}}$$

Agora sim podemos aplicar a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador, após fazermos isso, verificamos se ainda há indeterminação

$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{sen(x)}={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{cos(x)}=\frac{2.0}{cos(0)}=\frac{0}{1}=0}}$$

Resolvemos o limite, em poucos passos e sem precisar utilizar nenhum tipo de fatoração mirabolante.

Exemplo 2:

Resolva o limite abaixo

$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-x-1}{x^2}}$$

Primeiramente, vamos verificar se esse possui um dos dois tipos de indeterminação citados anteriormente

$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-x-1}{x^2}=\frac{e^0-0-1}{0^2}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}}$$

Como deu zero sobre zero, podemos utilizar a regra de L’Hôpital para resolver a questão

$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-x-1}{x^2}={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{2x}}}$$

Vamos substituir o valor para o qual $x$ se aproxima e verificar se eliminamos a indeterminação

$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{2x}=\frac{e^0-1}{2.0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}}$$

Continua indeterminado, portanto, podemos aplicar novamente a regra (repetimos o processo até o limite não estar mais indeterminado)

$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{2x}={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x}{2}}}$$

Independentemente do valor do numerador, não há como dar zero no denominador, então eliminamos a indeterminação, nos resta calcular o limite

$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x}{2}=\frac{e^0}{2}=\frac{1}{2}}$$

De forma geral, se constatamos que o limite é indeterminado por causa de uma divisão de zero sobre zero ou infinito sobre infinito, podemos resolver o limite derivando numerador e denominador, e fazemos isso repetidas vezes até não haver mais indeterminação:

$${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}={\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}$$

Com a observação de que $g^{\prime }(x)\ne 0$, ou seja, ao derivarmos o denominador, o resultado não pode ser zero, pois dessa forma não haverá como resolver através de L’Hôpital, um jeito disso acontecer é se houver uma constante no denominador.