Exercícios de Derivadas – Questões diretas

Derivadas
Exercícios
07/10/2024
Daniel Duarte

Caso tenha dúvidas em relação as resoluções, recomendo que leia os artigos de operações básicas, regra de sinais, expressões matemáticas, equações, funções e derivadas. Se quiseres questões contextualizadas sobre derivadas, futuramente haverá artigo aqui no blog.

Questão 1:

Derive a função abaixo:

$f (x) = s e n (x) - x^{3}$

Resolução da questão 1:

$f (x) = s e n (x) - x^{3}$

$f^{'} (x) = (s e n (x))^{'} - (x^{3})^{'}$

$f^{'} (x) = c o s (x) - 3 x^{2}$

Questão 2:

Derive a função abaixo:

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - c o s (x) + l n | x |$

Resolução da questão 2:

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - c o s (x) + l n | x |$

$f^{'} (x) = (\frac{x^{3}}{3})^{'} - (c o s (x))^{'} + (l n | x |)^{'}$

$f^{'} (x) = \frac{3 x^{2}}{3} - (- s e n (x)) + \frac{1}{x}$

$f^{'} (x) = x^{2} + s e n (x) + \frac{1}{x}$

Questão 3:

Determine a derivada da função abaixo:

$y = c o s (x) . (x + 4)$

Resolução da questão 3:

$y = c o s (x) . (x + 4)$

$\frac{d y}{d x} = (c o s (x))^{'} . (x + 4) + c o s (x) . (x + 4)^{'}$

$\frac{d y}{d x} = - s e n (x) . (x + 4) + c o s (x) .1$

$\frac{d y}{d x} = - s e n (x) . (x + 4) + c o s (x)$

Questão 4:

Determine a derivada da função abaixo:

$y = l n | x | . e^{x}$

Resolução da questão 4:

$y = l n | x | . e^{x}$

$\frac{d y}{d x} = (l n | x |)^{'} . e^{x} + l n | x | . (e^{x})^{'}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} . e^{x} + l n | x | . e^{x}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{x} + l n | x | . e^{x}$

Questão 5:

Ache a derivada da função:

$g (y) = \frac{t a n (y)}{2 y^{2}}$

Resolução da questão 5:

$g (y) = \frac{t a n (y)}{2 y^{2}}$

$\dot{g} (y) = \frac{(t a n (y))^{'} .2 y^{2} - t a n (y) . (2 y^{2})^{'}}{(2 y^{2})^{2}}$

$\dot{g} (y) = \frac{s e c^{2} (y) .2 y^{2} - t a n (y) .4 y}{2 y^{4}}$

$\dot{g} (y) = \frac{2 y (s e c^{2} (y) . y - t a n (y) .2)}{2 y . y^{3}}$

$\dot{g} (y) = \frac{s e c^{2} (y) . y - 2 t a n (y)}{y^{3}}$

Questão 6:

Ache a derivada da função:

$g (y) = \frac{e^{y} - s e n (y)}{l n | y |}$

Resolução da questão 6:

$g (y) = \frac{e^{y} - s e n (y)}{l n | y |}$

$\dot{g} (y) = \frac{(e^{y} - s e n (y))^{'} . l n | y | - (e^{y} - s e n (x)) . (l n | y |)^{'}}{(l n | y |)^{2}}$

$\dot{g} (y) = \frac{e^{y} - c o s (y) . l n | y | - (e^{y} - s e n (x)) \cdot \frac{1}{y}}{l n^{2} | y |}$

$\dot{g} (y) = \frac{e^{y} - c o s (y) . l n | y | - \frac{(e^{y} - s e n (y))}{y}}{l n^{2} | y |}$

Questão 7:

Calcule a taxa de variação da função:

$f (x) = l n | 3 x - 2 |$

Resolução da questão 7:

$f (x) = l n | 3 x - 2 |$

$D_{x} f = (l n | 3 x - 2 |)^{'} . (3 x - 2)^{'}$

$D_{x} f = \frac{1}{3 x - 2} \cdot 3$

$D_{x} f = \frac{3}{3 x - 2}$

Questão 8:

Calcule a taxa de variação da função:

$f (x) = (x^{4} - 8)^{3}$

Resolução da questão 8:

$f (x) = (x^{4} - 8)^{3}$

$D_{x} f = ((x^{4} - 8)^{3})^{'} . (x^{4} - 8)^{'}$

$D_{x} f = 3 (x^{4} - 8)^{2} .4 x^{3}$

$D_{x} f = 12 x^{3} (x^{4} - 8)^{2}$

Questão 9:

Encontre a inclinação da função abaixo:

$y (z) = c o s (6 z . e^{z})$

Resolução da questão 9:

$y (z) = c o s (6 z . e^{z})$

$y^{'} (z) = (c o s (6 z . e^{z}))^{'} . (6 z . e^{z})^{'}$

$y^{'} (z) = (c o s (6 z . e^{z}))^{'} . ((6 z)^{'} . e^{z} + 6 z . (e^{z})^{'})$

$y^{'} (z) = - s e n (6 z . e^{z}) . (6 e^{z} + 6 z e^{z})$

$y^{'} (z) = - s e n (6 z . e^{z}) .6 e^{z} (1 + z)$

Questão 10:

Encontre a inclinação da função abaixo:

$y (z) = \frac{z^{3} . l n | z |}{e^{2 z}}$

Resolução da questão 10:

$y (z) = \frac{z^{3} . l n | z |}{e^{2 z}}$

$y^{'} (z) = \frac{(z^{3} . l n | z |)^{'} . e^{2 z} - z^{3} . l n | z | . (e^{2 z})^{'}}{(e^{2 z})^{2}}$

$y^{'} (z) = \frac{((z^{3})^{'} . l n | z | + z^{3} . (l n | z |)^{'}) . e^{2 z} - z^{3} . l n | z | . (e^{2 z})^{'} . (2 z)^{'}}{(e^{2 z})^{2}}$

$y^{'} (z) = \frac{(3 z^{2} . l n | z | + z^{3} \cdot \frac{1}{z}) . e^{2 z} - z^{3} . l n | z | . e^{2 z} .2}{e^{4 z}}$

$y^{'} (z) = \frac{(3 z^{2} l n | z | + \frac{z^{3}}{z}) e^{2 z} - 2 z^{3} l n | z | e^{2 z}}{e^{2 z} . e^{2 z}}$

$y^{'} (z) = \frac{3 z^{2} l n | z | + z^{2} - 2 z^{3} l n | z |}{e^{2 z}}$

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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O Matematiquês é um blog dedicado ao aprendizado de matemática, e nosso objetivo é tornar o ensino mais acessível e envolvente através de conteúdos de alta qualidade e gratuitos para alunos e professores em todo o Brasil. Buscamos simplificar conceitos complexos com uma abordagem clara e direta, priorizando transparência, diversidade, clareza, qualidade, inovação e compromisso social. Nosso blog oferece conteúdos fundamentados por especialistas, revisados com rigor e atualizados.

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