Progressão aritmética: O que é, propriedades e exercícios

Progressões matemáticas
ExercíciosTeoria
24/09/2024
Daniel Duarte

Muitas vezes ensinada juntamente à progressão geométrica, a progressão aritmética é um assunto simples e que contém fórmulas que podem ser úteis em determinadas situações em que precisamos somar valores em uma sequência ou descobrir um determinado elemento dela.

O que é uma progressão aritmética?

Carinhosamente chamada de PA, a progressão aritmética é nada mais, nada menos que uma sequência de números, que pode ser finita ou infinita, cuja diferença entre dois elementos consecutivos (números adjacentes) quaisquer é sempre igual, em outras palavras, quando você subtrai um elemento do próximo na sequência, o resultado dessa subtração é sempre o mesmo. A esse valor resultante da subtração dos dois termos consecutivos é dado o nome “razão da PA”.

Exemplo 1:

$(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22)$

Percebe que de um elemento para o outro, sempre há um acréscimo de $3$ unidades? De cara poderíamos supor que a razão é $3$ , no entanto, é necessário calcular para termos certeza.

$4 - 1$

$10 - 7 = 3$

$16 - 13 = 3$

Essa progressão é finita, pois há um número limitado de termos e a sua razão é $3$ , pois de um elemento para o outro, sempre é acrescentado $3$ unidades.

Exemplo 2:

$(24, 22, 20, 18, 16, 14, 12, \dots)$

Quando escolhemos dois elementos para acharmos a razão ao subtrairmos um do outro, pegamos o elemento à direita e subtraímos dele o valor do elemento à sua esquerda, tomemos como exemplo os números $16$ e $14$ da PA acima, como o $14$ está à direita, subtrairemos o $16$ dele e não o contrário.

$14 - 16 = - 2$

A razão dessa PA é $- 2$ , ou seja, de um elemento para o outro, da esquerda para a direita, são subtraídas duas unidades. Por causa das reticências “…”, podemos classificar essa PA como infinita, não havendo um limite de termos para ela.

Como classificar uma PA?

Além de podermos classificar uma progressão aritmética pela quantidade de elementos, há também a classificação de acordo com o valor de sua razão

PA crescente:

A PA é considerada crescente quando a razão é maior que zero, ou seja, positiva

Exemplo:

$(1, 2, 3, 4, 5, 6)$

PA constante:

A PA é constante quando a razão é igual à zero

Exemplo:

$(2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)$

PA decrescente:

A PA é classificada como decrescente quando a razão é menor que zero, ou seja, $r$ é negativa.

Exemplo:

$(3, 0, - 3, - 6, - 9, - 12, - 15)$

Propriedades da PA

Há três propriedades que irão lhe ajudar em questões de PA e até de outros assuntos que envolvam progressões aritméticas.

Média entre três termos consecutivos:

Ao selecionarmos três termos consecutivos em uma PA, o valor do termo do meio será igual à média aritmética simples entre os outros dois valores, em outras palavras, ao somar os valores das pontas e dividir por $2$ , você chegará no valor do meio.

Exemplo:

$(5, 10, 15, 20, 25)$

Tomemos os valores $5$ , $10$ e $15$ , se tirarmos a média entre $5$ e $15$ , chegaremos no valor do meio, que é o $10$

$\frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Soma de termos equidistantes:

Quando tivermos uma PA finita, o resultado da soma de dois elementos equidistantes das extremidades da PA é igual à soma dos valores das próprias extremidades. Isso significa que eles possuem a mesma distância até as extremidades (os valores mais à esquerda e direita da PA) e que se você somar esses elementos, o resultado será o mesmo que ao somar os valores das pontas.

Exemplo:

$(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)$

O $6$ e o $10$ distam dois elementos das extremidades, aplicando essa propriedade, a soma deles deve ser igual à soma entre $2$ e $14$

Soma dos elementos equidistantes das extremidades:

$6 + 10 = 16$

Soma dos elementos que estão nas extremidades:

$2 + 14 = 16$

Termo central:

Podemos dizer que essa terceira propriedade é consequência da segunda, ela nos diz que em uma PA finita com número ímpar de elementos, o termo do centro é igual à média de dois termos que são equidistantes dele, ou seja, se pegarmos dois elementos que possuem a mesma distância do valor central, a média entre eles será igual a esse valor.

Exemplo:

$(1, 7, 13, 19, 25)$

Pegando os valores $1$ e $25$ , ao tirarmos a média aritmética simples dele, de acordo com a terceira propriedade de PA, teremos que chegar no valor central, no caso o $13$

$\frac{1 + 25}{2} = \frac{26}{2} = 13$

Termo geral de uma PA

Há uma fórmula que permite determinar o valor de qualquer elemento de uma PA, para isso, precisamos saber qual é o primeiro elemento dela, qual a razão e a posição do elemento:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) . r$

$a_{n}$ – Elemento que queremos calcular;

$a_{1}$ – Primeiro elemento da PA;

$n$ – Posição do elemento $a_{n}$ ;

$r$ – Razão da PA

Exemplo:

Calcule o oitavo termo da PA abaixo

$(2, 5, 8, 11, 14, \dots)$

Vamos achar os itens para substituir na fórmula e descobrir o valor do oitavo termo da PA. O primeiro termo da PA é $2$ , para calcular a razão vamos subtrair dois termos consecutivos

$8 - 5 = 3$

A razão é $3$ , e a última informação já temos, pois, a posição do termo a ser calculado foi dada no enunciado, portanto, $n = 8$ . Agora substituímos na fórmula

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) . r$

$a_{8} = 2 + (8 - 1) .3$

$a_{8} = 2 + 7.3$

$a_{8} = 2 + 21$

$a_{8} = 23$

Prolonguemos a PA para confirmar se acertamos

$(2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, \dots)$

De fato, o oitavo elemento é $23$ . Se você aplicou a forma corretamente e não cometeu nenhum erro matemático, não é necessário fazer essa verificação.

Como somar termos em uma PA?

E se precisarmos somar vários elementos de uma PA? Conseguimos fazer isso com a fórmula abaixo:

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) . n}{2}$

Se quisermos somar os primeiros $10$ elementos de uma PA, por exemplo, precisamos do primeiro e do décimo elemento, depois substituímos na fórmula e teremos a soma desses dez termos.

Exemplo:

Sabendo que o primeiro termo de uma PA é $2$ e o quarto termo é $20$ , calcule a soma dos quatro primeiros elementos

Temos o primeiro e último termo da sequência, então podemos apenas aplicar a fórmula, lembrando que $n$ é a posição do último termo da sequência que queremos somar, nesse caso $n = 4$

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) . n}{2}$

$S_{4} = \frac{(2 + 20) .4}{2}$

$S_{4} = \frac{22.4}{2}$

$S_{4} = \frac{88}{2}$

$S_{4} = 44$

Exercícios resolvidos de progressão aritmética

1. Calcule o valor central da PA $(3, 5, x, 9, 11)$

Sabendo que o termo central de uma PA com número ímpar de elementos é igual a média de dois termos equidistantes dele, podemos pegar qualquer um dos pares que estão nessa condição para fazer o cálculo

$\frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$

2. Dada a PA abaixo, calcule o décimo quinto termo dela

$(x, - 2, - 6, \dots)$

Bom, para calcularmos um termo qualquer da PA, precisamos da razão e do primeiro termo, mas como podemos ver acima, não temos esse último, mas há como calcularmos. Primeiramente, vamos calcular a razão:

$- 6 - (- 2) = - 6 + 2 = - 4$

Agora, utilizando a primeira propriedade apresentada nesse artigo, podemos calcular o valor do elemento $x$ , pois ao pegarmos três termos consecutivos em uma PA, o termo do meio é igual à média dos outros dois termos.

$\frac{x + (- 6)}{2} = - 2$

$\frac{x - 6}{2} = - 2$

Então, isolamos a variável na equação

$\frac{x - 6}{2} = - 2$

$x - 6 = 2. (- 2)$

$x - 6 = - 4$

$x = 6 - 4$

$x = 2$

Temos o primeiro termo (elemento), temos a razão e a posição do elemento que queremos calcular, agora é só substituirmos os valores na fórmula do termo geral

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) . r$

$a_{15} = 2 + (15 - 1) . (- 4)$

$a_{15} = 2 + 14. (- 4)$

$a_{15} = 2 - 28$

$a_{15} = - 26$

3. Sabendo que a sequência abaixo é uma progressão aritmética, calcule $x - y$

$(2, x, 8, y)$

Podemos resolver essa questão utilizando o conceito de razão, pois se pegarmos dois termos consecutivos quaisquer, a razão calculada resultará num valor que será igual para qualquer outra diferença calculada entre outros dois elementos consecutivos. Assim, conseguiremos igualar ambas as expressões e manipulá-la para achar o valor de $x - y$

$x - 2 = r$

$y - 8 = r$

Portanto,

$x - 2 = y - 8$

$x - y = 2 - 8$

$x - y = - 6$

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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