Matrizes: O que são, operações e classificações

Ensino Médio
Teoria
23/05/2025
Daniel Duarte

Seja você um estudante de ensino médio ou superior, eventualmente lhes será apresentado um assunto chamado “matrizes”, e neste artigo me disporei a explicar de forma descomplicada este injustiçado e deslocado assunto.

O que é uma matriz

Uma matriz, basicamente, é uma tabela, que possui termos (números, letras ou expressões matemáticas) organizados em linhas e colunas. Nomeamos matrizes com letras maiúsculas, e para representá-las, colocamos parênteses ou colchetes em volta dos termos.

Exemplos de matrizes:

1) $A_{2 \times 2} = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$

2) $B = {[\begin{matrix} - 1 & 2 & 4 \\ \frac{1}{2} & - 5 & 2, 4 \end{matrix}]}_{2 \times 3}$

3) $C = (\begin{matrix} x & x^{2} - 2 & y - 1 \\ s e n (x) & e^{2 y} & 0 \\ l n | x | & - 2 & e \end{matrix})$

Toda matriz tem uma “ordem”, que é uma numeração que indica seu número de linhas e colunas. Então, se uma matriz possui três linhas e duas colunas, dizemos que ela é uma matriz “três por dois”; representamos isso na própria letra que nomeia a matriz ( $A_{3 \times 2}$ ) ou no canto inferior direito da tabela, podendo também estar oculta essa informação (como podemos ver nos exemplos acima). A quantidade de elementos (termos) de uma matriz é dada pela multiplicação entre o número de linhas pelo número de colunas, portanto, uma matriz $3 \times 2$ , terá $6$ elementos, uma $3 \times 4$ terá $12$ e assim por diante.

De forma geral, uma matriz qualquer $A_{m \times n}$ ( $m$ é a quantidade de linhas da matriz e $n$ o número de colunas), terá uma quantidade de $m$ vezes $n$ termos, com cada um possuindo uma representação $a_{i, j}$ (o $i$ indica a linha e o $j$ a coluna que o elemento se encontra), para que seja possível localizá-los na matriz.

A_{m \times n} = (\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & . & . & . & a_{1, n} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & . & . & . & a_{2, n} \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & . & . & . & a_{m, n} \end{matrix})

Vale ressaltar que por definição, as matrizes devem respeitar a seguinte relação:

$1 \leq i \leq m$

$1 \leq j \leq n$

Traduzindo do matematiquês, o número mínimo de linhas e colunas deve ser $1$ , e não pode haver um termo que esteja em uma linha ou coluna que não exista na matriz a qual ele pertence, ou seja, se a matriz tem $2$ linhas e $4$ colunas, não haverá um termo $a_{3, 4}$ , dado que não uma terceira linha nessa matriz. Além disso, $m$ , $n$ , $i$ e $j$ devem ser números naturais.

Tipos de matrizes

Podemos classificar as matrizes de acordo com o número de linhas e colunas ou quantidade de elementos, havendo cinco tipos de classificações possíveis.

Matriz unitária:

Matriz que possui um único elemento, e consequentemente, ela tem apenas uma linha e uma coluna.

$A = {[\begin{matrix} 2 \end{matrix}]}_{1 \times 1}$

Matriz linha:

Matriz composta por apenas uma linha.

$B = {[\begin{matrix} - 1 & 1 & 3 & 0 \end{matrix}]}_{1 \times 4}$

Matriz coluna:

Como o nome sugere, se trata de uma matriz com apenas uma coluna.

$C_{3 \times 1} = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$

Matriz retangular:

Uma matriz que possui um número de linhas diferente do número de colunas, é denominada “retangular”.

$D_{2 \times 3} = [\begin{matrix} x + 1 & x - 1 & x^{2} \\ - x & 2 x & 1 \end{matrix}]$

Matriz quadrada:

Matriz que detém o mesmo número de linhas e colunas.

$E_{2 \times 2} = [\begin{matrix} - s e n (x) & c o s (x) \\ - c o s (x) & s e n (x) \end{matrix}]$

As matrizes quadradas são muito importantes, pois é somente nelas que se aplica um conceito chamado “determinante”, e apenas elas admitem matrizes inversas (uma matriz especial que veremos logo mais). Podemos nos referir às matrizes quadradas de um jeito diferente: caso a matriz seja $2 \times 2$ , dizemos que ela é uma matriz de ordem $2$ ou de segunda ordem, se for $3 \times 3$ , matriz de terceira ordem etc.

Um fato que será importante no estudo dos “determinantes de matrizes”, é o conhecimento sobre as diagonais de uma matriz quadrada. Chamamos de diagonal principal os elementos cuja posição é igual na linha e na coluna. Na matriz genérica abaixo, os elementos $a_{1, 1}$ , $a_{2, 2}$ e $a_{3, 3}$ formam sua diagonal principal (representados em vermelho na matriz).

$A = {(\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & a_{2, 3} \\ a_{3, 1} & a_{3, 2} & a_{3, 3} \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Como um quadrado possui duas diagonais, uma vez identificada a principal (que estará sempre no sentido de cima para baixo e da esquerda para a direita), a diagonal secundária será a restante, representados abaixo na cor azul.

$A = {(\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & a_{1, 3} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & a_{2, 3} \\ a_{3, 1} & a_{3, 2} & a_{3, 3} \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Há mais uma informação pertinente sobre a matriz quadrada, é chamado “traço de uma matriz”, a soma dos elementos da diagonal principal.

Matriz nula:

É uma matriz que possui todos os elementos iguais à zero.

$A = {(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})}_{2 \times 3}$

Matriz triangular superior:

É uma matriz quadrada que possui todos os elementos que estão abaixo da diagonal principal iguais a zero.

$A = {(\begin{matrix} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Matriz triangular inferior:

É uma matriz quadrada que possui todos os elementos que estão acima da diagonal principal iguais a zero.

$A = {(\begin{matrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ - 3 & 2 & - 1 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Matriz diagonal:

É uma matriz quadrada em que todos os termos que não pertencem à diagonal principal, são iguais à zero.

$A = {(\begin{matrix} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Matriz escalar:

É uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais à uma constante qualquer.

$A = {(\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

A matriz nula também é uma matriz escalar.

Operações com matrizes

É possível realizar operações entre matrizes, e a depender da operação, teremos de ter um cuidado especial.

Soma de matrizes:

Para podermos somar matrizes, elas devem ter a mesma quantidade de linhas e colunas. O processo de somá-las consiste em somarmos os elementos correspondentes (que estão na mesma posição nas matrizes), formando assim uma nova matriz com o resultado dessas operações (ela terá o mesmo número de linhas e colunas das matrizes que lhe deram origem).

Exemplo: Calcule a soma das matrizes $A$ e $B$

A = {[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & - 2 \\ 0 & 2 \end{matrix}]}_{3 \times 2} B = {[\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 4 & 0 \\ 2 & - 2 \end{matrix}]}_{3 \times 2}

Podemos chamar a matriz resultante de

C

(sendo que

C = A + B

), e para montá-la, devemos somar os elementos de mesma posição em suas respectivas matrizes, por exemplo: somaremos o termo que estiver na primeira linha e primeira coluna da matriz

A

com o que estiver na primeira linha e primeira coluna da matriz

B

, e assim seguiremos, até somarmos todos os elementos.

$A + B = C = {[\begin{matrix} 2 + 1 & 3 + (- 1) \\ 1 + 4 & - 2 + 0 \\ 0 + 2 & 2 + (- 2) \end{matrix}]}_{3 \times 2} = {[\begin{matrix} 3 & 2 \\ 5 & - 2 \\ 2 & 0 \end{matrix}]}_{3 \times 2}$

Se trocássemos a ordem das matrizes, o resultado da soma seria o mesmo, no entanto, isso só se aplica a esta operação, como veremos a seguir.

Subtração de matrizes:

De forma muito parecida com a operação anterior, para subtrair duas matrizes, devemos subtrair os termos correspondentes.

Exemplo: Calcule a soma das matrizes $A$ e $B$

$A = {(\begin{matrix} 5 & - 1 \\ 1 & - 3 \end{matrix})}_{2 \times 2} B = {(\begin{matrix} 4 & 1 \\ 3 & - 3 \end{matrix})}_{2 \times 2}$

Iremos pegar os termos da matriz $A$ e subtrair deles os termos da matriz $B$ , nessa ordem.

$A - B = C = {(\begin{matrix} 5 - 4 & - 1 - 1 \\ 1 - 3 & - 3 - (- 3) \end{matrix})}_{2 \times 2} = {(\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 0 \end{matrix})}_{2 \times 2}$

Note que, se trocássemos a ordem das matrizes na subtração, a matriz resultante seria diferente.

$B - A = D = {(\begin{matrix} 4 - 5 & 1 - (- 1) \\ 3 - 1 & - 3 - (- 3) \end{matrix})}_{2 \times 2} = {(\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix})}_{2 \times 2}$

Aconteceu uma coisa interessante, a matriz $D$ possui os mesmos números que a matriz $C$ , mas com os sinais trocados, terá sido coincidência? Veremos em breve.

Multiplicação de uma matriz por um escalar:

É possível multiplicar uma matriz por um número qualquer: o resultado disso será uma matriz cujos elementos serão os resultados das multiplicações entre o número que estiver multiplicando a matriz e os elementos dela. Em outras palavras, para multiplicar uma matriz por um escalar, basta multiplicar todos os elementos dela por esse número.

Exemplo: Encontre a matriz $2 A$ , dado que:

$A = {(\begin{matrix} 4 & - 1 & x^{2} \\ y & e & π \\ 1 & - 3 & x - 2 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Para acharmos a matriz $2 A$ , basta multiplicarmos todos os elementos de $A$ por $2$ (A matriz resultante será de mesma ordem que a matriz $A$ ).

$2 A = {(\begin{matrix} 8 & - 2 & 2 x^{2} \\ 2 y & 2 e & 2 π \\ 2 & - 6 & 2 x - 4 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Se fosse pedida a matriz $- A$ , bastaria inverter todos os sinais dos elementos da matriz $A$ (pois a matriz está sendo multiplicada por $- 1$ , que está implícito na forma do sinal negativo).

$- A = {(\begin{matrix} - 4 & 1 & - x^{2} \\ - y & - e & - π \\ - 1 & 3 & - x + 2 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Sendo duas matrizes $A$ e $B$ , se calcularmos $A - B$ , com a matriz resultando sendo $C$ , e quisermos encontrar e $B - A$ , basta invertermos os sinais de todos os elementos de $C$ , ou seja, $B - A = - C$ .

Multiplicação entre matrizes:

Essa é a mais trabalhosa e complicada das operações com matrizes, então, tentarei explicar de forma clara. Primeiramente, para que consigamos multiplicar duas matrizes quaisquer $A$ e $B$ , é necessário que o número de colunas da matriz $A$ seja igual ao número de linhas da matriz $B$ . Uma vez verificada a condição, o resultado dessa multiplicação será uma matriz com o mesmo número de linhas da matriz $A$ e o mesmo número de colunas da matriz $B$ . E o processo para achar os termos da matriz resultante não é tão simples quanto parece, irei resolver um exemplo para explicar.

Exemplo: Determine a matriz $C$ , caso exista, tal que $C = A \times B$

A = {(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 1 & 4 \end{matrix})}_{2 \times 3} B = {(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 0 & 2 \\ - 1 & 5 \end{matrix})}_{3 \times 2}

É possível multiplicar as matrizes, pois o número de colunas de $A$ é igual ao número de linhas de $B$ . A matriz $C$ terá duas linhas e duas colunas, escreverei ela de forma genérica para facilitar a visualização.

$C = {(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 1 & 4 \end{matrix})}_{2 \times 3} \times {(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 0 & 2 \\ - 1 & 5 \end{matrix})}_{3 \times 2} = {(\begin{matrix} c_{1, 1} & c_{1, 2} \\ c_{2, 1} & c_{2, 2} \end{matrix})}_{2 \times 2}$

Agora faremos um processo que pode ser longo e um pouco confuso, peço que preste bastante atenção. Para acharmos o termo $c_{1, 1}$ , multiplicaremos os termos da primeira linha da matriz $A$ pelos termos da primeira coluna da matriz $B$ , na ordem que eles aparecem: primeiro termo com primeiro termo, segundo com segundo, e o resultado das somas dessas multiplicações será o elemento $c_{1, 1}$ .

$C = {(\begin{matrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot (- 1) & c_{1, 2} \\ c_{2, 1} & c_{2, 2} \end{matrix})}_{2 \times 2} = {(\begin{matrix} - 1 & c_{1, 2} \\ c_{2, 1} & c_{2, 2} \end{matrix})}_{2 \times 2}$

O termo $c_{1, 2}$ vai ser o resultado da soma das multiplicações entre os elementos da primeira linha da matriz $A$ pelos elementos da segunda coluna da matriz $B$ , e assim por diante (para saber qual linha deve ser multiplicada por qual coluna, basta olhar a posição do termo da matriz $C$ , se ele está na linha $2$ e coluna $1$ , devemos multiplicar a linha $2$ da primeira matriz com a coluna $1$ da segunda matriz).

$C = {(\begin{matrix} 0 & 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 \\ - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) & - 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 5 \end{matrix})}_{2 \times 2} = {(\begin{matrix} - 1 & 23 \\ - 6 & 18 \end{matrix})}_{2 \times 2}$

Diferentemente da multiplicação convencional entre números e letras, não há comutatividade no produto entre matrizes, o resultado de $A \times B$ é diferente de $B \times A$ (em quase todos os casos), e há situações que não é possível calcular um ou outro, pois o número de colunas da primeira será diferente do número de linhas da segunda após a troca de ordem (na questão acima, especificamente, seria possível achar a matriz $B \times A$ , no entanto, o resultado seria uma matriz diferente da que achamos, a começar pelo fato da matriz $B \times A$ ser de terceira ordem).

Igualdade entre matrizes:

Para que uma matriz seja igual a outra, a ordem deve ser a mesma e todos os elementos de uma devem ser iguais aos elementos da outra. Isso pode parecer óbvio, mas essa ideia será importante para questões que relacionam equações com matrizes ou para calcular a matriz inversa.

Exemplo: Sabendo que as matrizes $A$ e $B$ são iguais, calcule $x$ e $y$ .

$A = [\begin{matrix} x + 2 y & 2 \\ 1 & x - 2 y \end{matrix}] B = [\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & - 4 \end{matrix}]$

Se $A$ e $B$ são iguais, todos os elementos correspondentes devem ser iguais, portanto, $x + 2 y = 0$ e $x - 2 y = - 4$ . Resolvendo um sistema linear com essas duas equações, encontraremos os valores de $x$ e $y$ .

${\begin{cases} x + 2 y = 0 \\ x - 2 y = - 4 \end{cases}$

Somando as equações, teremos:

$2 x = - 4 ∴ x = - 2$

Para finalizar, substituímos em uma das equações do sistema para descobrir o valor de $y$ .

$x + 2 y = 0$

$- 2 + 2 y = 0$

$2 y = 2$

$y = 1$

Caso a questão tivesse pedido para verificar se as matrizes são iguais, faríamos o mesmo processo, só que se chegássemos em um sistema sem solução (sistema impossível), significaria que ela não são iguais, pois não haveria nenhum par de valores $x$ e $y$ que resolvesse o sistema e garantisse assim que todos os elementos correspondentes são iguais.

Lei de formação de uma matriz

Geralmente esse assunto é dado logo depois da explicação do que é uma matriz, mas por ser algo muito teórico e algébrico, podendo parecer confuso a princípio, preferi abordar após mostrar as operações. A lei de formação é uma regra que define os elementos de uma matriz com base em alguma relação entre a linha e a coluna que os elementos ocupam. Vamos ver um exemplo para que fique claro.

Exemplo 1: Determine uma matriz $A_{4 \times 2}$ , cuja lei de formação é dada por:

$a_{i, j} = i + j$

Para esse tipo de questão, é interessante começarmos representando a matriz de forma genérica.

$A = {[\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} \\ a_{3, 1} & a_{3, 2} \\ a_{4, 1} & a_{4, 2} \end{matrix}]}_{4 \times 2}$

Os elementos da matriz A serão iguais ao resultado da soma da posição deles na linha e na coluna. O elemento $a_{1, 2}$ , por exemplo, será igual à $1 + 2$ , pois ele está na linha $1$ e coluna $2$ , já o $a_{3, 2}$ será igual à $3 + 2$ .

A = {[\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} \\ a_{3, 1} & a_{3, 2} \\ a_{4, 1} & a_{4, 2} \end{matrix}]}_{4 \times 2} = {[\begin{matrix} 1 + 1 & 1 + 2 \\ 2 + 1 & 2 + 2 \\ 3 + 1 & 3 + 2 \\ 4 + 1 & 4 + 2 \end{matrix}]}_{4 \times 2} = {[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5 \\ 5 & 6 \end{matrix}]}_{4 \times 2}

Exemplo 2: Determine uma matriz $A + 2 B$ de ordem $2$ , sabendo que as leis de formações de $A$ e $B$ são:

$a_{i, j} = i - j$

$b_{i, j} = i$

Poderíamos montar a matriz $A$ , montar a matriz $B$ , calcular a matriz $2 B$ para só então calcularmos a matriz $A + 2 B$ (chamarei a matriz resultante de $C$ para facilitar a explicação), mas isso daria muitíssimo trabalho. Usaremos o que aprendemos até então sobre matrizes para solucionar essa questão de forma rápida e prática. Primeiramente, sabemos que a matriz $2 B$ será composta pelos elementos da matriz $B$ multiplicados por $2$ , independentemente da posição deles, isso significa que os elementos da matriz $2 B$ seguirão a seguinte lei:

$2 \times b_{i, j} = 2 \times i = 2 i$

E sabemos que os elementos de uma matriz que é a soma de outras duas serão encontrados através da soma dos termos correspondentes, por exemplo: o termo $c_{2, 1}$ vai ser igual a soma dos termos $a_{2, 1}$ e $2 \times b_{2, 1}$ . De forma geral, os termos da matriz $C$ serão determinados pela seguinte lei de formação:

$c_{i, j} = a_{i, j} + 2 \times b_{i, j} = i - j + 2 i = 3 i - j$

Portanto, para acharmos os termos da matriz $C$ , basta pegarmos sua posição na linha, multiplicar por $3$ e subtrair disso o valor de sua posição na coluna.

$C_{2 \times 2} = (\begin{matrix} c_{1, 1} & c_{1, 2} \\ c_{2, 1} & c_{2, 2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 1 - 1 & 3 \cdot 1 - 2 \\ 3 \cdot 2 - 1 & 3 \cdot 2 - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 4 \end{matrix})$

Para que você não ache que estou inventando coisas ao fazer o processo acima, vamos calcular a matriz $C$ pelo método convencional, começando pelo cálculo da matriz $B$ .

$B_{2 \times 2} = (\begin{matrix} b_{1, 1} & b_{1, 2} \\ b_{2, 1} & b_{2, 2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix})$

Multiplicamos então os termos por $2$ , para achar a matriz $2 B$

$2 B = (\begin{matrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 & 2 \cdot 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 2 \\ 4 & 4 \end{matrix})$

Em seguida, calculamos a matriz $A$

$A_{2 \times 2} = (\begin{matrix} A_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 - 1 & 1 - 2 \\ 2 - 1 & 2 - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$

Por fim, calculamos a matriz $C$ .

$A + 2 B = C = {(\begin{matrix} c_{1, 1} & c_{1, 2} \\ c_{2, 1} & c_{2, 2} \end{matrix})}_{2 \times 2} = {(\begin{matrix} 0 + 2 & - 1 + 2 \\ 1 + 4 & 0 + 4 \end{matrix})}_{2 \times 2} = {(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 4 \end{matrix})}_{2 \times 2}$

Deu exatamente o mesmo resultado, fica a seu critério escolher o que achar mais fácil, mas é sempre bom conhecer mais de um método.

Matrizes especiais

Existem matrizes especiais que recebem um nome próprio, é importante conhecê-las para o estudo dos determinantes e para entender alguns conceitos de álgebra linear.

Matriz identidade:

É uma matriz quadrada que possui todos os termos da diagonal principal iguais à $1$ e os demais iguais à zero. Nomeamos uma matriz identidade com a letra $I$ .

$I = {(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

A matriz identidade é uma matriz escalar, pois de todos os termos que não estão na diagonal principal serem nulos, os elementos da diagonal principal são iguais entre si.

Matriz transposta:

A transposta de uma matriz $A$ qualquer, é uma matriz onde as linhas de $A$ se tornaram suas colunas ou as colunas de $A$ viraram suas linhas. Representamos a transporta de uma matriz colocando a letra da matriz original com o expoente $T$ .

Exemplo: Encontre a transposta da matriz $B$ .

$B = {[\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ - 4 & 0 & 4 \end{matrix}]}_{2 \times 3}$

Podemos calcular a transposta de duas formas, transformando linhas em colunas ou colunas em linhas, resolverei pelo primeiro método. O primeiro elemento da primeira linha da matriz $B$ se tornará o primeiro elemento da primeira coluna da transposta, o segundo elemento da primeira linha será o segundo da primeira coluna, e assim por diante.

$B^{T} = {[\begin{matrix} 1 & - 4 \\ 2 & 0 \\ - 1 & 4 \end{matrix}]}_{3 \times 2}$

Toda matriz possui uma transposta, cuja ordem será trocada em relação a matriz original, em outras palavras, se uma matriz $A$ tem $3$ linhas e $5$ colunas, a transposta $A^{T}$ terá $5$ linhas e $3$ colunas.

Matriz simétrica:

Dizemos que uma matriz é simétrica, quando sua transposta é igual à matriz original. Para podermos analisar a simetria de uma matriz, ela precisa ser quadrada, pois se ela não for, a transposta não poderá ser igual, uma vez que a ordem será diferente da original. Tomando uma matriz $A$ qualquer, $A$ é simétrica se e somente se:

$A^{T} = A$

Exemplo 1: Dada uma matriz $B$ , que é transposta de $A$ , determine $A$ sabendo que ela é simétrica.

$B_{2 \times 2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$

Não poderia haver questão mais fácil, já que $A$ é simétrica e $B$ é sua transposta, pela definição de matriz simétrica: $A = B$ , portanto:

$A_{2 \times 2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$

Temos acima uma matriz identidade, e um fato interessante sobre ela é que, toda matriz identidade é simétrica.

Exemplo 2: Verifique se $A$ é uma matriz simétrica.

$A_{3 \times 3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix})$

Para verificarmos se a matriz acima é simétrica, basta calcularmos sua transposta, se ela for igual à matriz original, ela é simétrica.

$A^{T} = {(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

A transposta é diferente de $A$ , então, $A$ não é simétrica. Te darei uma dica para identificar se uma matriz é ou não é simétrica, rapidamente. Tomemos uma matriz $B$ :

$B_{4 \times 4} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})$

Note que os elementos que estão separados pela diagonal principal, são como um espelho um do outro.

B_{4 \times 4} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})

Quando isso acontecer, a matriz será simétrica.

Matriz antissimétrica:

Dizemos que uma matriz $A$ qualquer é antissimétrica se sua transposta é igual à $- A$ . E uma matriz só poderá ser antissimétrica, se sua diagonal principal for composta apenas pelo número zero

$A^{T} = - A$

Podemos usar a mesma técnica para identificar se uma matriz é antissimétrica, com uma leve diferença: se os elementos opostos pela diagonal principal forem espelhados, mas tiverem os sinais contrários, a matriz é antissimétrica.

Exemplo: Determine a simetria da matriz abaixo.

$C = {(\begin{matrix} 0 & 1 & 3 \\ - 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Olhando para ela, sem realizar nenhum cálculo, é possível notar que ela é antissimétrica, mas para o caso de você querer melhorar sua familiaridade com as matrizes ou precise mostrar seu cálculo para o professor, irei calcular a transposta para verificar se ela é simétrica, antissimétrica ou nenhuma das duas.

$C^{T} = {(\begin{matrix} 0 & - 1 & - 3 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Simétrica ela não é, pois a transposta não é igual à $C$ , mas para saber se ela é antissimétrica, precisamos calcular $- C$ .

$- C = {(\begin{matrix} 0 & 1 & 3 \\ - 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \end{matrix})}_{3 \times 3} = {(\begin{matrix} - 1 \cdot 0 & - 1 \cdot 1 & - 1 \cdot 3 \\ - 1 \cdot (- 1) & - 1 \cdot 0 & - 1 \cdot 1 \\ - 1 \cdot (- 3) & - 1 \cdot (- 1) & - 1 \cdot 0 \end{matrix})}_{3 \times 3} = {(\begin{matrix} 0 & - 1 & - 3 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Se a diagonal principal tivesse algum elemento diferente de zero, já poderíamos ter descartado a possibilidade dela ser antissimétrica.

Matriz inversa:

A matriz inversa $A^{- 1}$ de uma matriz quadrada $A$ , é tal que:

$A \times A^{- 1} = I$

Não entendeu nada? Não se preocupe, tentarei explicar de uma forma simples. Dizemos que uma matriz é inversa de outra, se ao multiplicarmos ambas, o resultado for uma matriz identidade. Primeiramente, para que uma matriz admita uma inversa, ela precisa ser quadrada, e para verificarmos a existência da inversa, a relação acima deve ser verdadeira.

Exemplo: Calcule a inversa de $A$ , caso exista

$A = {[\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}]}_{2 \times 2}$

A matriz é quadrada, portanto, pode ter uma inversa. Comecemos montando a equação da matriz inversa (já que desconhecemos seus elementos, representaremos com letras quaisquer).

A \times A^{- 1} = I

{[\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}]}_{2 \times 2} \times {[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]}_{2 \times 2} = {[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]}_{2 \times 2}

Na sequência, devemos calcular a matriz resultante da multiplicação de

A

pela sua possível inversa.

${[\begin{matrix} 2 a + c & 2 b + d \\ 3 a + 2 c & 3 b + 2 d \end{matrix}]}_{2 \times 2} = {[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]}_{2 \times 2}$

Utilizando o conceito de igualdade de matrizes, se a matriz da esquerda é igual à matriz da direita, significa que os elementos correspondentes devem ser iguais. Podemos montar quatro equações com isso.

${\begin{cases} 2 a + c = 1 \\ 3 a + 2 c = 0 \\ 2 b + d = 0 \\ 3 b + 2 d = 1 \end{cases}$

Se existir uma inversa para a matriz $A$ , seremos capazes de encontrar valores para $a$ , $b$ , $c$ e $d$ que torne todas as igualdades verdadeiras. Para fazermos isso, precisamos montar dois sistemas de equações.

${\begin{cases} 2 a + c = 1 \\ 3 a + 2 c = 0 \end{cases}$

${\begin{cases} 2 b + d = 0 \\ 3 b + 2 d = 1 \end{cases}$

Multiplicarei as primeiras equações dos sistemas por $- 2$ .

${\begin{cases} - 4 a - 2 c = - 2 \\ 3 a + 2 c = 0 \end{cases}$

${\begin{cases} - 4 b - 2 d = 0 \\ 3 b + 2 d = 1 \end{cases}$

Na sequência, somarei as equações em ambos os sistemas.

(1)

$- a = - 2 ∴ a = 2$

(2)

$- b = 1 ∴ b = - 1$

Agora substituirei os valores encontrados nas equações iniciais para achar $c$ e $d$ .

(1)

$2 a + c = 1 ∴ 2 \cdot 2 + c = 1 ∴ 4 + c = 1 ∴ c = - 3$

(2)

$2 b + d = 0 ∴ 2 \cdot (- 1) + d = 0 ∴ - 2 + d = 0 ∴ d = 2$

Para termos certeza de que fizemos tudo certo, devemos substituir os valores encontrados na matriz $A \times A^{- 1}$ , se ela resultar na matriz identidade, significa que a resposta está correta.

{[\begin{matrix} 2 a + c & 2 b + d \\ 3 a + 2 c & 3 b + 2 d \end{matrix}]}_{2 \times 2} = {[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]}_{2 \times 2}

{[\begin{matrix} 2 \cdot 2 - 3 & 2 \cdot (- 1) + 2 \\ 3 \cdot 2 + 2 \cdot (- 3) & 3 \cdot (- 1) + 2 \cdot 2 \end{matrix}]}_{2 \times 2} = {[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]}_{2 \times 2}

{[\begin{matrix} 4 - 3 & - 2 + 2 \\ 6 - 6 & - 3 + 4 \end{matrix}]}_{2 \times 2} = {[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]}_{2 \times 2}

{[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]}_{2 \times 2} = {[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]}_{2 \times 2}

A relação se mostrou verdadeira, portanto, a matriz $A$ possui inversa e ela é dada pela seguinte expressão:

A^{- 1} = {[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]}_{2 \times 2} = {[\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{matrix}]}_{2 \times 2}

Note que é trabalhoso o processo para encontrar a inversa de uma matriz, se $A$ fosse de ordem $3$ , teríamos que resolver três sistemas com $9$ incógnitas ao todo. Por esse motivo, qualquer dica, teorema ou técnica que pode poupar nosso tempo, seria de grande ajuda. Através do cálculo do determinante de uma matriz, é possível determinar se uma matriz tem ou não tem uma inversa, mas esse é um assunto para outro dia.

Por último, mas não menos importante, devo enfatizar que saber resolver um exercício “na marra (utilizando a teoria, juntamente com manipulações matemáticas)” é essencial para o aluno, pois decorar os famosos “macetes (truques)” não irá lhe fazer entender o assunto, resultando num travamento ou dificuldade ao resolver exercícios cujos macetes não funcionam.

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN.

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