Função logarítmica: O que é, aplicações e exercícios

Funções
ExercíciosTeoria
18/09/2024
Daniel Duarte

Graças a sua característica principal, a função logarítmica permite analisar situações em que há várias multiplicações envolvidas, como juros compostos e modelos populacionais que levam em conta múltiplos fatores, podendo ser usada até para analisar um terremoto e determinar sua magnitude. Muito parecida com a função exponencial, ela pode ser tão útil e interessante quanto.

O que é uma função logarítmica?

Ela é uma função que possui um logaritmo, e cuja variável (letra) está em seu logaritmando.

Exemplos:

1) $l o g_{3} x$

2) $l o g_{\frac{1}{5}} x$

3) $l n (x)$

Sua forma geral é:

$f (x) = l o g_{b} x$

A base do logaritmo ( $b$ ) deve ser maior que zero e diferente de $1$ , e no logaritmando só são admitidos números positivos maiores que zero. Por esse motivo, o domínio (valores possíveis para a variável independente, nesse caso o $x$ ) é restrito aos números reais positivos, sem incluir o zero. Já o contradomínio da função não possui restrição, portanto, inclui todo o conjunto dos números reais.

Gráfico da função logarítmica

Há duas possibilidades de gráfico para a função logarítmica, o primeiro é um gráfico à direita do eixo $f (x)$ (eixo $y$ ), ou seja, para valores positivos de $x$ , e assim como a função exponencial, há dois tipos de formatos para o gráfico da função logarítmica, o primeiro consiste em uma curva crescente que começa com valores próximos a zero, abaixo do eixo horizontal (eixo $x$ ) e vai crescendo de forma acentuada depois de intersectá-lo

O segundo possui comportamento contrário ao anterior, começando com valores muito pequenos a medida, e crescendo de forma gradual ao se aproximar do eixo $x$ pela parte de cima do eixo $y$ e após cortar o eixo horizontal, começa a crescer rapidamente

O que irá determinar se a função resultará em um ou outro é a base do log, se ela for maior que $1$ , teremos o primeiro caso, crescente de baixo para cima, e se tiver valor entre $0$ e $1$ , será decrescente, nesse mesmo sentido. A segunda possibilidade de gráfico é quando temos $- x$ no logaritmando do log, fazendo com que o gráfico fique à esquerda do eixo $f (x)$ , podendo ter os mesmos comportamentos, só que de forma “espelhada”.

Gráfico da função $f (x) = l o g_{2} - x$ :

Como fazer o gráfico da função logarítmica?

As funções logarítmicas que estiverem em sua forma padrão ( $f (x) = l o g_{b} x$ ) intersectarão o eixo $x$ em $x = 1$ , pois para acharmos onde o gráfico toca no eixo horizontal, zeramos o valor de $f (x)$ , e ao isolarmos o $x$ , sempre teremos $1$ como resultado, portanto, independentemente do valor da base, o gráfico irá intersectar o eixo das abscissas em $(1, 0)$ . Vale ressaltar que o gráfico nunca irá tocar o eixo $y$ .

Para descobrirmos os valores de $f (x)$ , escolheremos para $x$ números que resultem em valores inteiros ao resolver o logaritmo, tomemos como exemplo a função abaixo

$f (x) = l o g_{2} x$

O gráfico será crescente, pois a base é maior que $1$ , mas além disso, os valores que ao substitui-los no lugar de $x$ resultarão em números inteiros, serão potências de $2$ e seus inversos:

$f (x) = l o g_{2} x$

$f (2) = l o g_{2} 2 = 1$

$f (4) = l o g_{2} 4 = 2$

$f (8) = l o g_{2} 8 = 3$

$f (\frac{1}{2}) = l o g_{2} \frac{1}{2} = - 1$

$f (\frac{1}{4}) = l o g_{2} \frac{1}{4} = - 2$

$f (\frac{1}{8}) = l o g_{2} \frac{1}{8} = - 3$

Não é necessário selecionar tantos pontos assim, basta pegar umas três potências e o resto do gráfico será um prolongamento disso

Se a base for um valor entre $0$ e $1$ , o processo será o mesmo, a única coisa que mudará é que o gráfico será decrescente, ou seja, à medida que o valor de $x$ aumenta, o $f (x)$ diminui

Exemplo:

Determine o gráfico da função $f (x) = l o g_{\frac{1}{3}} x$

Um dividido por três dá aproximadamente $0, 33$ , portanto, o gráfico terá uma curva decrescente. E pegaremos algumas potências de base $3$ para montarmos os primeiros pontos no gráfico. Dica: Escolha potências de base inteira, como $3$ , $9$ , $27$ , pois independentemente se o gráfico é crescente ou decrescente, ao mesmo tempo que o $x$ aumenta, o $f (x)$ irá crescer ou decrescer de forma acentuada após a intersecção do gráfico com o eixo $x$

$f (x) = l o g_{\frac{1}{3}} x$

$f (3) = l o g_{\frac{1}{3}} 3 = - 1$

$f (9) = l o g_{\frac{1}{3}} 9 = - 2$

$f (27) = l o g_{\frac{1}{3}} 27 = - 3$

Agora podemos esboçar o gráfico

Aconselho fortemente que você leia o nosso artigo sobre logaritmo e que estude sobre as potências, para que tenha pleno entendimento do porquê de escolhermos esses valores para substituir na variável independente.

Relação entre a função logarítmica e a função exponencial

Toda semelhança entre a função logarítmica e a função exponencial não é mera coincidência, pois uma é o inverso da outra, fatores que dão indícios disso é o domínio e contradomínio, o gráfico e a intersecção com um dos eixos.

Exercícios resolvidos de função logarítmica

1. Desenhe o gráfico da função $f (x) = l n (x)$

Esse é um famoso log, chamado “logaritmo natural”, presente em cálculos de diversos fenômenos da natureza, ele é o log na base $e$ (constante de Euler, valendo aproximadamente $2, 718$ ). Para montarmos o gráfico faremos o mesmo processo, só que dessa vez as potências terão como base a constante $e$ . Ah e não vamos esquecer que o gráfico será crescente, pois a base é maior que $1$

$f (x) = l n (x) = l o g_{e} x$

$f (e^{1}) = l o g_{e} e^{1} = 1$

$f (e^{2}) = l o g_{e} e^{2} = 2$

$f (e^{3}) = l o g_{e} e^{3} = 3$

Com essas informações, podemos plotar o gráfico aproximado

2. Calcule $f (4)$ , para a função abaixo

$f (x) = l o g_{4} \sqrt[3]{x} + l o g_{4} \sqrt[3]{4 x}$

Antes de substituirmos o valor de $x$ na função, vamos juntar esses logs em um único, para simplificarmos a expressão

$f (x) = l o g_{4} \sqrt[3]{x} + l o g_{4} \sqrt[3]{4 x}$

$f (x) = l o g_{4} \sqrt[3]{x .4 x}$

$f (x) = l o g_{4} \sqrt[3]{4 x^{2}}$

Agora substituímos o valor de $x$

$f (x) = l o g_{4} \sqrt[3]{4 x^{2}}$

$f (4) = l o g_{4} \sqrt[3]{{4.4}^{2}}$

$f (4) = l o g_{4} \sqrt[3]{4.16}$

$f (4) = l o g_{4} \sqrt[3]{64}$

$f (4) = l o g_{4} 4$

$f (4) = 1$

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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