Onde há crescimento ou decrescimento de algo, a função exponencial estará presente, devido a suas características, ela é um ótimo modelo para se analisar o aumento populacional, taxa de juros e até mesmo a propagação de um vírus de acordo com o número de pessoas infectadas.
O que é uma função exponencial?
Ela é uma função que possui um exponencial, ou seja, uma constante elevada a uma letra (variável).
Exemplos:
1) $2^x$
2) $3^{-x}$
3) $(\frac{1}{5})^x$
Sua forma geral é:
$$f(x)=a^x$$
Onde $a$ deve ser um número real positivo diferente de $1$. Não há restrição quanto ao domínio da função, portanto, independentemente do valor de $x$, não ocorrerá uma indeterminação, no entanto, o contradomínio (valores possíveis para $f(x)$) será o conjunto dos reais positivos diferentes de zero, isso se dá pela base ser maior que zero e pelo fato que nenhum expoente é capaz de mudar o sinal da base, tornando assim impossível o resultado da função ser negativo.
O sinal da variável que vai no expoente pode ser negativo, isso irá impactar única e exclusivamente o comportamento do gráfico da função, como veremos ao longo do artigo.
Gráfico da função exponencial
Há dois tipos de formatos para o gráfico da função exponencial, o primeiro e mais conhecido é o de uma curva que cresce infinitamente, iniciando com valores muito baixos de $f(x)$, próximos de zero
E o outro é uma curva que da esquerda para a direita parte de um valor muito alto de $f(x)$ (beirando o infinito) e que vai decrescendo até chegar muito perto do zero, só que sem nunca chegar a zerar
O que vai determinar se teremos a primeira ou a segunda situação é a base do exponencial, se ela for maior que $1$ o gráfico será crescente e se for um valor entre $0$ e $1$, o gráfico terá o formato de uma curva decrescente.
Como fazer o gráfico da função exponencial?
Todas as funções exponenciais “puras” (no formato $f(x)=a^x$) intersectarão o eixo $y$ em $y=1$, pois para acharmos onde o gráfico toca no eixo vertical, zeramos o valor de $x$, só que qualquer número elevado à zero resultará em $1$, por isso todos os gráficos irão intersectá-lo no ponto $(0,1)$, e ela nunca irá tocar o eixo $x$. O que irá mudar de um gráfico para o outro é se ele é crescente ou decrescente (a depender da base) e a quão acentuada a curva é.
Se a função for crescente, o gráfico começará a aumentar bem devagar, e após intersectar o eixo vertical em $y=1$, começará a crescer de forma acentuada, para termos uma ideia de como será esse crescimento, podemos substituir os valores $1$, $2$ e $3$ para $x$, encontrar seus correspondentes em $y$ e depois ligamos os pontos e prolongamos a curva mais ou menos com a mesma inclinação que ela tiver inicialmente. Caso ela seja decrescente, substituiremos os valores $-1$, $-2$ e $-3$, uma vez que o gráfico intersecte o eixo $y$, ele irá gradativamente se aproximar de zero.
Exemplo:
Determine o gráfico da função $f(x)=2^x$
A base é maior que $1$, portanto, o gráfico será crescente, agora vamos substituir os valores $x=1$, $x=2$ e $x=3$, na função, para marcarmos os pontos no plano cartesiano e montarmos o gráfico
1)
$f(x)=2^x$
$f(1)=2^1=2$
2)
$f(x)=2^x$
$f(2)=2^2=4$
3)
$f(x)=2^x$
$f(3)=2^3=8$
Agora montamos o gráfico, não será uma representação perfeita, mas será o suficiente para entendermos o comportamento da função
Uma consideração importante a ser feita é que a variável pode ter sinal negativo, isso não fará com que a função deixe de ser exponencial, só que o comportamento do gráfico em relação a base irá se inverter, ou seja, se $a$ for maior que $1$, o gráfico será decrescente, e se estiver entre $0$ e $1$, será crescente.
Exemplo:
Determine o gráfico da função $f(x)=3^{-x}$
Normalmente, essa função resultaria em um gráfico crescente, pois a base é maior que zero, só que o expoente é negativo, ou seja, a curva do gráfico será decrescente. Nesse caso, vamos substituir os valores $-1$, $-2$ e $-3$ para $x$ na função
1)
$f(x)=3^{-x}$
$f(-1)=3^{-(-1)}=3^{1}=3$
2)
$f(x)=3^{-x}$
$f(-2)=3^{-(-2)}=3^{2}=9$
3)
$f(x)=3^{-x}$
$f(-3)=3^{-(-3)}=3^{3}=27$
Então, podemos montar o gráfico aproximado
Podemos enxergar essa função de uma outra forma, para que fique fácil a visualização de o porquê ela é decrescente:
$$f(x)=3^{-x}$$
$$f(x)=(3^{-1})^x$$
$$f(x)=(\frac{1}{3^1})^x$$
$$f(x)=(\frac{1}{3})^x$$
Fiz essa manipulação utilizando conhecimentos de potenciação. Implicitamente, a base possui um valor entre $0$ e $1$, por isso que o gráfico e decrescente.
Relação entre a função exponencial e a função logarítmica
Vale ressaltar que a função exponencial é a função inversa da função logarítmica, portanto, a maioria das características se comportam de maneira inversa, tomemos como exemplo o gráfico, que nunca intersecta o eixo $f(x)$ e o ponto de intersecção com o eixo $x$ será sempre $1$, diferentemente da sua “irmã” exponencial.
Exercícios resolvidos de função exponencial
1. Desenhe o gráfico da função $f(x)= e^x$
Primeiramente, de onde surgiu esse “$e$”? Essa letra representa a constante de Euler, que vale aproximadamente $2,718$, então, ao substituirmos os valores na função, elevaremos esse número, e como ele é um valor maior que $1$, nosso gráfico será crescente.
1)
$f(x)=e^{x}$
$f(1)=e^{1}\approx2,718$
2)
$f(x)=e^{x}$
$f(2)=e^{2}\approx7,389$
3)
$f(x)=e^{x}$
$f(3)=e^{3}\approx20,085$
Criamos então o gráfico da famosa função $e^x$
2. O crescimento de uma população de bactérias é dado pela função abaixo, onde $Q(t)$ é a quantidade de bactérias e $t$ é o tempo em dias.
$$Q(t)=0,5.10^{t+2}$$
Quantas bactérias haverá após dois dias?
Basta substituirmos o número de dias no lugar de $t$ na função, para descobrirmos o que a questão pede
$$Q(t)=0,5.10^{t+2}$$
$$Q(t)=0,5.10^{2+2}$$
$$Q(t)=0,5.10^{4}$$
$$Q(t)=0,5.10000$$
Multiplicar por $0,5$ é a mesma coisa que dividir por $2$, ou seja, o resultado da multiplicação de um valor por $0,5$ será a metade dele
$$Q(t)=0,5.10000$$
$$Q(t)=5000$$
Portanto, passados $2$ dias haverá $5000$ bactérias.
3. O gráfico abaixo é de qual função?
a)
$f(x)=3^x$
b)
$f(x)=2^x$
c)
$f(x)=(\frac{1}{4})^x$
d)
$f(x)=(\frac{1}{3})^x$
Como o gráfico é decrescente, não pode ser a letra A nem a B, agora nos resta analisar os pontos demarcados no gráfico para definirmos a função que gerou esse gráfico. Podemos substituir os valores de $x$ nas funções restantes e verificarmos se os resultados serão os valores correspondentes ao eixo $f(x)$
$f(x)=(\frac{1}{4})^x$
$f(-1)=(\frac{1}{4})^{-1}=4^1=4$
$f(-2)=(\frac{1}{4})^{-2}=4^2=16$
$f(-3)=(\frac{1}{4})^{-3}=4^3=64$
Opa, já achamos nossa resposta, esse gráfico é da função que está na alternativa C. Outra forma que você poderia matar a questão é ao perceber que os números no eixo $f(x)$ são potências de $4$.
Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.
