Função de 1° grau: Forma geral e gráfico

Funções
ExercíciosTeoria
09/09/2024
Daniel Duarte

Sendo a mais simples das funções polinomiais, e responsável por nos possibilitar a análise de coisas que crescem ou decrescem de forma uniforme, é indispensável estudá-la para entendermos o processo de criação do gráfico de uma função e suas aplicações.

O que é uma função de 1° grau?

Muitas vezes chamada de função afim ou função linear, ela é uma função, regra matemática que relaciona duas ou mais variáveis, que possui um polinômio de grau $1$ , ou seja, o maior grau da variável é $1$ .

Exemplos:

1) $𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 - 3$

2) $𝑓 (𝑥) = - 𝑥 + 1$

3) $𝑓 (𝑥) = 𝑥$

Sua forma geral é dada por:

$𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏$

$𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏$

Onde $𝑎$ e $𝑏$ podem ser números quaisquer, geralmente pertencentes ao conjunto dos números reais (mas caso a questão especifique outro conjunto, consideraremos válidos apenas valores que pertençam a ele), e o $𝑎$ deve ser diferente de zero, pois se o $𝑎$ for igual à zero, teremos uma função constante.

Gráfico da função de 1° grau

O formato do gráfico da função linear é uma reta, que pode ser crescente ou decrescente, diferentemente do gráfico da função constante, cujo $𝑓 (𝑥)$ não varia.

Como fazer o gráfico da função de 1° grau?

Para desenharmos o gráfico dessa função, precisamos apenas de dois pontos, mas quais devem ser eles? Podemos escolher alguns valores para $𝑥$ e com o valor resultante da função marcamos dois pontos no plano cartesiano, mas há uma forma mais eficaz e que funcionará para toda e qualquer função afim. O método consiste em acharmos os pontos em que o gráfico intersecta os eixos $𝑥$ e $𝑦$ , e podemos fazer isso ao zerarmos a variável dependente ou independente, vamos entender melhor por meio de um exemplo.

Exemplo:

Determine o gráfico da função $𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 - 4$

Primeiramente, vamos zerar o $𝑥$ , para encontrarmos o valor em que o gráfico cruza o eixo $𝑦$

$𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 - 4$

$𝑓 (0) = 2.0 - 4$

$𝑓 (0) = 0 - 4$

$𝑓 (0) = - 4$

Agora, zeramos o valor de $𝑓 (𝑥)$ (ou $𝑦$ ), para sabermos o valor em que o gráfico intersecta (toca) o eixo $𝑥$ , com a observação de que temos que isolar o $𝑥$ nesse processo

$𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 - 4$

$0 = 2 𝑥 - 4$

$- 2 𝑥 = - 4$

$𝑥 = - 4 - 2$

$𝑥 = 2$

Então, marcamos os pontos cujas coordenadas são $(0, - 4)$ e $(2, 0)$ no plano cartesiano e os ligamos

De forma geral, o valor que representa a intersecção do gráfico com o eixo $𝑦$ é o coeficiente $𝑏$ , e podemos encontrar o ponto de toque com o outro eixo através da fórmula $- 𝑏 / 𝑎$ , utilizemos o exemplo acima para comprovar o que acabei de explicar

$𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 - 4$

O coeficiente $𝑏$ , é o número que não estiver acompanhado da variável independente (nesse caso, o $𝑥$ ), que na função em questão é $- 4$ , agora vamos usar a fórmula para descobrir onde o gráfico intersecta o eixo $𝑥$

$- 𝑏 𝑎 = - (- 4) 2 = 42 = 2$

Olha só, achamos os mesmos valores, só que de uma forma bem mais prática e rápida, e isso funciona para qualquer função linear. O único cuidado que você deve ter é de identificar corretamente os coeficientes $𝑎$ e $𝑏$ , para isso, basta comparar a função dada na questão com a forma geral $𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏$ .

Função de 1° grau crescente:

Quando a função tiver o coeficiente $𝑎$ (quem multiplica a variável independente) positivo, ela será crescente, ou seja, à medida que o valor de $𝑥$ aumentar, o valor de $𝑓 (𝑥)$ também aumentará

Gráfico de uma função afim crescente:

Função de 1° grau decrescente:

E quando o coeficiente $𝑎$ for negativo, ela será decrescente, em outras palavras, à medida que o valor de $𝑥$ aumentar, o valor de $𝑓 (𝑥)$ diminuirá

Gráfico de uma função afim decrescente:

É importante ressaltar que o $𝑎$ é chamado “coeficiente angular”, pois determina se a inclinação da função será positiva ou negativa (crescente ou negativa), e o $𝑏$ é chamado “coeficiente linear” e como já foi explicado, determina o ponto de intersecção com o eixo $𝑦$ .

Aplicações da função de 1° grau

Sempre que possuirmos algo que cresce ou decresce de forma constante, dependendo de um outro valor, podemos utilizar a função de primeiro grau para representar graficamente essa situação.

Economia:

Podemos escrever a receita, lucro ou gasto total de uma transação financeira como uma função linear, desde que o valor de venda do produto seja constante.

Pesagem:

Podemos descrever o preço de determinado alimento aumentando ou diminuindo de acordo com o peso dele através de uma função afim.

Táxi:

Mesmo que já esteja em certo desuso por causa dos aplicativos de transporte, o táxi ainda é um meio de transporte muito usado e é um exemplo clássico de uso de função de 1° grau, pois o preço a pagar por uma viagem de táxi é dado por um valor fixo mais uma taxa de acordo com os quilômetros rodados.

Exercícios resolvidos de função de 1° grau

1. Determine o gráfico da função abaixo e seu valor para $𝑥 = 3$

$𝑓 (𝑥) = 𝑥$

Primeiramente, vamos substituir o valor de $𝑥$ que é dado no enunciado para encontrarmos o valor de $𝑓 (𝑥)$ correspondente

$𝑓 (𝑥) = 𝑥$

$𝑓 (3) = 3$

O valor de $𝑓 (𝑥)$ é igual ao valor de $𝑥$ e isso não é por acaso, essa função é uma velha conhecida da matemática, pois nela o valor da variável dependente será sempre igual ao valor da variável independente, e a ela é dada um nome especial: “Função identidade”. Agora vamos desenhar o gráfico dela, e bom, não temos nenhum número sozinho, isso significa que o gráfico não intersecta o eixo vertical? Não, pois podemos reescrever a função da seguinte forma (para facilitar a visualização)

$𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 0$

Quando não há nenhum valor aparente sem multiplicar a variável independente, significa que o coeficiente $𝑏$ é igual à zero. E por fim, utilizaremos a fórmula citada anteriormente para achar o ponto de intersecção com o eixo horizontal, mas não vamos esquecer que $𝑏 = 0$

$- 𝑏 𝑎 = - 0 1 = 0$

Portanto, o gráfico da função identidade será:

2. Um rapaz costuma emprestar $50$ reais a seus amigos, com a seguinte condição: para cada mês que não for devolvido o valor, será acrescentado mais $10$ ao valor inicial. Qual será a dívida após três meses sem pagar?

Através da modelagem matemática, vamos transformar essa situação em uma função. Temos um valor inicial ( $50$ reais) que não muda, e um valor que varia de acordo com a passagem dos meses, então, podemos escrever a seguinte expressão:

$𝐷 (𝑡) = 50 + 10 𝑡$

Onde $𝐷 (𝑡)$ é a dívida a ser paga, $𝑡$ a quantidade de meses e o $10$ é o valor que será acrescentado à dívida a cada mês. Para calcular o montante a ser pago após três meses, basta substituir $3$ na variável que representa o tempo, na expressão acima

$𝐷 (𝑡) = 50 + 10 𝑡$

$𝐷 (3) = 50 + 10.3$

$𝐷 (3) = 50 + 30$

$𝐷 (3) = 80$

Portanto, a pessoa que demorar três meses para devolver o dinheiro, terá que pagar $80$ reais, ou seja, trinta reais à mais do que os $50$ reais que foram emprestados.

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN.

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