Uma das fórmulas mais conhecidas da matemática, pode parecer muito complexa à primeira vista, mas é mais simples do que parece, como tentarei mostrar nesse breve artigo.
O que é a fórmula de Bhaskara?
Em poucas palavras, a fórmula de Bhaskara pode ser definida como um dispositivo matemático que nos permite achar as raízes de uma equação de $2°$ grau, ou seja, possibilita que isolemos a variável e consigamos encontrar as respostas que satisfazem a equação.
Características da fórmula de Bhaskara
Tendo como base uma equação quadrática em sua forma completa $ax^2+bx+c=0$, a fórmula utiliza os coeficientes $a$, $b$ e $c$ para se resolver a equação:
Fórmula de Bhaskara:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a};\Delta=b^2-4ac$$
Normalmente, seria muito difícil isolar a letra $x$ para se resolver a equação, e o que esse dispositivo faz é justamente isso, nos restando apenas substituir os valores e simplificar a expressão resultante.
Uma equação de $2°$ grau possui duas respostas, que podem ser de três tipos: Duas raízes reais (que pertencem ao conjunto dos números reais) e diferentes, duas raízes reais e iguais ou duas raízes complexas (que são números complexos) e distintas. O que irá determinar qual situação teremos é o delta ($\Delta$), que é chamado de discriminante por causa dessa mesma função.
1° caso: Delta positivo
$$\Delta>0$$
Duas raízes reais e distintas
2° caso: Delta nulo
$$\Delta=0$$
Duas raízes reais e iguais
3° caso: Delta negativo
$$\Delta<0$$
Duas raízes complexas e distintas
Apesar de ter mencionado a forma completa da equação quadrática, a fórmula de Bhaskara serve para se resolver toda e qualquer equação de $2°$ grau, seja ela completa ou incompleta.
Como aplicar a fórmula de Bhaskara?
Sabemos para que ela serve e como ela é, mas como a utilizamos? Vamos resolver algumas questões juntos para que eu possa explicar de forma prática.
Exemplo 1:
Resolva a equação $x^2+x-12=0$
Primeiramente, identificamos os coeficientes da equação (caso tenha dificuldade nisso, aconselho que leias o artigo de equação quadrática que temos no blog)
$$a=1, b=1, c=-12$$
Agora, substituímos eles na fórmula de Bhaskara, tomando cuidado com os sinais dos números
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4.1.(-12)}}{2.1}$$
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}$$
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2}$$
$$x=\frac{-1\pm7}{2}$$
Tá vendo aquele “mais ou menos” do lado da raiz? Isso significa que temos dois caminhos a seguir, no primeiro, somamos o $-1$ com o $7$, já o segundo caminho será subtrair $7$ de $-1$
$$x=\frac{-1\pm7}{2}$$
$$x_1=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3$$
$$x_2=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4$$
As raízes ou valores que satisfazem a equação $x^2+x-12$ são $3$ e $-4$, isso significa que ao substituirmos qualquer um deles na expressão, a igualdade se tornará verdadeira.
Essa é a maneira “direta” de se utilizar a fórmula de Bhaskara, talvez não tenham ensinado desse jeito, poderíamos ter calculado o valor do delta (discriminantes) para depois substituirmos na fórmula, o resultado seria o mesmo, mas pelo menos conseguiríamos definir o tipo das respostas.
$$\Delta=b^2-4ac$$
$$\Delta=1^2-4.1.(-12)$$
$$\Delta=1+48$$
$$\Delta=49$$
O delta deu positivo, portanto, teremos duas raízes reais e distintas, e foi exatamente isso que encontramos ao resolvermos a equação. Mas então você pode se perguntar, “no que essa informação me será útil?” A maioria das questões a nível de ensino médio, consideram respostas que pertençam apenas ao conjunto dos números reais, não admitindo raízes complexas, então se ao analisarmos o valor de delta, o resultado fosse negativo, pararíamos o cálculo e colocaríamos que não há resposta para o conjunto dos números reais.
Exemplo 2:
Resolva a equação $x^2-6x+9=0$
Sem segredo, listaremos os coeficientes e então substituiremos na fórmula de Bhaskara, só que dessa vez, irei calcular o discriminante primeiro
$$a=1, b=-6, c=9$$
$$\Delta=b^2-4ac$$
$$\Delta=(-6)^2-4.1.9$$
$$\Delta=36-36$$
$$\Delta=0$$
Como o delta deu zero, teremos duas raízes reais e iguais como resposta, vamos ver se é verdade?
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{0}}{2.1}$$
$$x=\frac{6\pm0}{2}$$
$$x_1=\frac{6+0}{2}=\frac{6}{2}=3$$
$$x_2=\frac{6-0}{2}=\frac{6}{2}=3$$
Aconteceu como tínhamos deduzido anteriormente através do discriminante.
Exemplo 3:
Resolva a equação $x^2+16=0$
Farei o mesmo que no exemplo anterior, calcularei o discriminante antes de prosseguir com a resolução, só que dessa vez, temos uma equação incompleta onde não temos o coeficiente $b$, então, teremos que considerar ele igual à zero nos cálculos
$$a=1, b=0, c=16$$
$$\Delta=b^2-4ac$$
$$\Delta=0^2-4.1.16$$
$$\Delta=0-64$$
$$\Delta=-64$$
Na grande maioria dos casos, pararíamos por aqui e colocaríamos que o conjunto solução é vazio, pois não há resposta para o conjunto dos números reais (Delta negativo), no entanto, para os entusiastas de plantão e para quem já estudou números complexos, irei resolver a questão.
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$x=\frac{-0\pm\sqrt{-64}}{2.1}$$
$$x=\frac{\pm\sqrt{64}\sqrt{-1}}{2}$$
$$x=\frac{\pm8i}{2}$$
$$x_1=\frac{+8i}{2}=4i$$
$$x_2=\frac{-8i}{2}=-4i$$
