Fórmula de Bhaskara: O que é e como aplicar

Sabemos para que ela serve e como ela é, mas como a utilizamos? Vamos resolver algumas questões juntos para que eu possa explicar de forma prática.

Exemplo 1:

Resolva a equação $x^2+x-12=0$

Primeiramente, identificamos os coeficientes da equação (caso tenha dificuldade nisso, aconselho que leias o artigo de equação quadrática que temos no blog)

$$a=1,b=1,c=-12$$

Agora, substituímos eles na fórmula de Bhaskara, tomando cuidado com os sinais dos números

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4.1.(-12)}}{2.1}$$

$$x=\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$$

$$x=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}$$

$$x=\frac{-1\pm 7}{2}$$

Tá vendo aquele “mais ou menos” do lado da raiz? Isso significa que temos dois caminhos a seguir, no primeiro, somamos o $-1$ com o $7$, já o segundo caminho será subtrair $7$ de $-1$

$$x=\frac{-1\pm 7}{2}$$

$$x_1=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3$$

$$x_2=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4$$

As raízes ou valores que satisfazem a equação $x^2+x-12$ são $3$ e $-4$, isso significa que ao substituirmos qualquer um deles na expressão, a igualdade se tornará verdadeira.

Essa é a maneira “direta” de se utilizar a fórmula de Bhaskara, talvez não tenham ensinado desse jeito, poderíamos ter calculado o valor do delta (discriminantes) para depois substituirmos na fórmula, o resultado seria o mesmo, mas pelo menos conseguiríamos definir o tipo das respostas.

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4.1.(-12)$$

$$\mathrm{\Delta }=1+48$$

$$\mathrm{\Delta }=49$$

O delta deu positivo, portanto, teremos duas raízes reais e distintas, e foi exatamente isso que encontramos ao resolvermos a equação. Mas então você pode se perguntar, “no que essa informação me será útil?” A maioria das questões a nível de ensino médio, consideram respostas que pertençam apenas ao conjunto dos números reais, não admitindo raízes complexas, então se ao analisarmos o valor de delta, o resultado fosse negativo, pararíamos o cálculo e colocaríamos que não há resposta para o conjunto dos números reais.

Exemplo 2:

Resolva a equação $x^2-6x+9=0$

Sem segredo, listaremos os coeficientes e então substituiremos na fórmula de Bhaskara, só que dessa vez, irei calcular o discriminante primeiro

$$a=1,b=-6,c=9$$

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$

$$\mathrm{\Delta }=(-6{)}^2-4.1.9$$

$$\mathrm{\Delta }=36-36$$

$$\mathrm{\Delta }=0$$

Como o delta deu zero, teremos duas raízes reais e iguais como resposta, vamos ver se é verdade?

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{0}}{2.1}$$

$$x=\frac{6\pm 0}{2}$$

$$x_1=\frac{6+0}{2}=\frac{6}{2}=3$$

$$x_2=\frac{6-0}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Aconteceu como tínhamos deduzido anteriormente através do discriminante.

Exemplo 3:

Resolva a equação $x^2+16=0$

Farei o mesmo que no exemplo anterior, calcularei o discriminante antes de prosseguir com a resolução, só que dessa vez, temos uma equação incompleta onde não temos o coeficiente $b$, então, teremos que considerar ele igual à zero nos cálculos

$$a=1,b=0,c=16$$

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$

$$\mathrm{\Delta }=0^2-4.1.16$$

$$\mathrm{\Delta }=0-64$$

$$\mathrm{\Delta }=-64$$

Na grande maioria dos casos, pararíamos por aqui e colocaríamos que o conjunto solução é vazio, pois não há resposta para o conjunto dos números reais (Delta negativo), no entanto, para os entusiastas de plantão e para quem já estudou números complexos, irei resolver a questão.

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$

$$x=\frac{-0\pm \sqrt{-64}}{2.1}$$

$$x=\frac{\pm \sqrt{64}\sqrt{-1}}{2}$$

$$x=\frac{\pm 8i}{2}$$

$$x_1=\frac{+8i}{2}=4i$$

$$x_2=\frac{-8i}{2}=-4i$$