Exercícios de equação logarítmica – Questões diretas

Caso tenha dúvidas em relação as resoluções, recomendo que leia os artigos de operações básicas, regra de sinais, equação e equação logarítmica. Se quiseres questões contextualizadas sobre equação logarítmica, futuramente haverá artigo aqui no blog.

Questão 1:

Resolva a equação logarítmica abaixo

$$\log_{2}x=4$$

Resolução da questão 1:

Condição de existência:

$$x>0$$

Resolvendo a questão:

$$\log_{2}x=4$$

$$x=2^4$$

$$x=16$$

Prova real da questão 1:

$$\log_{2}x=4$$

$$\log_{2}16=4$$

$$4=4$$

Questão 2:

Resolva a equação logarítmica abaixo

$$\log_{3}(x-1)=2$$

Resolução da questão 2:

Condição de existência:

$$x-1>0$$

$$x>1$$

Resolvendo a questão:

$$\log_{3}(x-1)=2$$

$$x-1=3^2$$

$$x-1=9$$

$$x-1=9$$

$$x=9+1$$

$$x=10$$

Prova real da questão 2:

$$\log_{3}(x-1)=2$$

$$\log_{3}(10-1)=2$$

$$\log_{3}9=2$$

$$2=2$$

Questão 3:

Resolva a equação logarítmica abaixo

$$\log_{x}32=5$$

Resolução da questão 3:

Condições de existência:

1)

$$x>0$$

2)

$$x\neq0$$

Resolvendo a questão:

$$\log_{x}32=5$$

$$x^5=32$$

$$\sqrt[5]{x^5}=\sqrt[5]{32}$$

$$x=2$$

Prova real da questão 3:

$$\log_{x}32=5$$

$$\log_{2}32=5$$

$$5=5$$

Questão 4:

Determine, se existir, a solução da equação logarítmica abaixo

$$\log_{x^4}64=\frac{1}{2}$$

Resolução da questão 4:

Condições de existência:

1)

$$x\neq1$$

2)

$$x\neq0$$

Resolvendo a questão:

$$\log_{x^4}64=\frac{1}{2}$$

$$(x^4)^{\frac{1}{2}}=64$$

$$x^{\frac{4}{2}}=64$$

$$x^2=64$$

$$\sqrt{x^2}=\sqrt{64}$$

$$x=\pm8$$

Prova real da questão 4:

Substituindo $x=8$

$$\log_{x^4}64=\frac{1}{2}$$

$$\log_{8^4}64=\frac{1}{2}$$

$$\log_{8^4}8^2=\frac{1}{2}$$

$$\frac{\log_{8}8^2}{\log_{8}8^4}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

Substituindo $x=-8$

$$\log_{x^4}64=\frac{1}{2}$$

$$\log_{(-8)^4}64=\frac{1}{2}$$

$$\log_{4096}64=\frac{1}{2}$$

$$\log_{8^4}8^2=\frac{1}{2}$$

$$\frac{\log_{8}8^2}{\log_{8}8^4}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

Questão 5:

Determine, se existir, a solução da equação logarítmica abaixo

$$\log(x+1)=\log(-x+3)$$

Resolução da questão 5:

Condições de existência:

1)

$$x+1>0$$

$$x>-1$$

2)

$$-x+3>0$$

$$-x>-3$$

$$x<3$$

Resolvendo a questão:

$$\log(x+1)=\log(-x+3)$$

$$x+1=-x+3$$

$$x+x=3-1$$

$$2x=2$$

$$x=\frac{2}{2}$$

$$x=1$$

Prova real da questão 5:

$$\log(x+1)=\log(-x+3)$$

$$\log(1+1)=\log(-1+3)$$

$$\log2=\log2$$

Questão 6:

Determine, se existir, a solução da equação logarítmica abaixo

$$\log_{3}x^2=\log_{3}50-log_{3}2$$

Resolução da questão 6:

Condição de existência:

$$x\neq0$$

Resolvendo a questão:

$$\log_{3}x^2=\log_{3}50-log_{3}2$$

$$\log_{3}x^2=\log_{3}\frac{50}{2}$$

$$\log_{3}x^2=\log_{3}25$$

$$x^2=25$$

$$\sqrt{x^2}=\sqrt{25}$$

$$x=\pm5$$

Prova real da questão 6:

Substituindo $x=5$

$$\log_{3}x^2=\log_{3}50-log_{3}2$$

$$\log_{3}5^2=\log_{3}\frac{50}{2}$$

$$\log_{3}25=\log_{3}25$$

Substituindo $x=-5$

$$\log_{3}x^2=\log_{3}50-log_{3}2$$

$$\log_{3}(-5)^2=\log_{3}\frac{50}{2}$$

$$\log_{3}25=\log_{3}25$$

Questão 7:

Ache o valor de $x$ para que a igualdade seja verdadeira

$$\log_{2x}(3x-4)=1$$

Resolução da questão 7:

Condições de existência:

1)

$$3x-4>0$$

$$3x>4$$

$$x>\frac{4}{3}$$

$$x>1,33$$

2)

$$2x>0$$

$$x>\frac{0}{2}$$

$$x>0$$

3)

$$2x\neq1$$

$$x\neq\frac{1}{2}$$

Resolvendo a questão:

$$\log_{2x}(3x-4)=1$$

$$\frac{\log(3x-4)}{\log2x}=1$$

$$\log(3x-4)=1.\log2x$$

$$\log(3x-4)=\log2x$$

$$3x-4=2x$$

$$3x-2x=4$$

$$x=4$$

Prova real da questão 7:

$$\log_{2x}(3x-4)=1$$

$$\log_{2.4}(3.4-4)=1$$

$$\log_{8}(12-4)=1$$

$$\log_{8}8=1$$

$$1=1$$

Questão 8:

Ache o valor de $x$ para que a igualdade seja verdadeira

$$\log_{-x+1}(-3x)=8^0$$

Resolução da questão 8:

Condições de existência:

1)

$$-x+1>0$$

$$-x>-1$$

$$x<1$$

2)

$$-3x>0$$

$$3x<0$$

$$x<\frac{0}{3}$$

$$x<0$$

Resolvendo a questão:

$$\log_{-x+1}(-3x)=8^0$$

$$\log_{-x+1}(-3x)=1$$

$$\frac{\log(-3x)}{\log(-x+1)}=1$$

$$\log(-3x)=1.\log(-x+1)$$

$$-3x=-x+1$$

$$-3x+x=1$$

$$-2x=1$$

$$x=-\frac{1}{2}$$

Prova real da questão 8:

$$\log_{-x+1}(-3x)=8^0$$

$$\log_{-(-\frac{1}{2})+1}(-3\cdot(-\frac{1}{2}))=1$$

$$\log_{\frac{1}{2}+1}(\frac{3}{2})=1$$

$$\log_{\frac{1+2}{2}}(\frac{3}{2})=1$$

$$\log_{\frac{3}{2}}(\frac{3}{2})=1$$

$$1=1$$

Questão 9:

Ache o valor de $x$ para que a igualdade seja verdadeira

$$(\log_{2}x)^2-3\log_{2}x=-2$$

Resolução da questão 9:

Condição de existência:

$$x>0$$

Resolvendo a questão:

$$(\log_{2}x)^2-3\log_{2}x=-2$$

Vou substituir o $\log_{2}x$ por $y$, para poder resolver a questão

$$y^2-3y=-2$$

$$y^2-3y+2=0$$

$$a=1,b=-3,c=2$$

$$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$y=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4.1.2}}{2.1}$$

$$y=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}$$

$$y=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}$$

$$y=\frac{3\pm1}{2}$$

$$y_1=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$$

$$y_2=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1$$

Ainda não achei a resposta, pois a resposta deve ser em relação à $x$

1)

$$y_1=2$$

$$\log_{2}x=2$$

$$x=2^2$$

$$x=4$$

2)

$$y_2=1$$

$$\log_{2}x=1$$

$$x=2^1$$

$$x=2$$

Prova real da questão 9:

Substituindo $x=4$

$$(\log_{2}x)^2-3\log_{2}x=-2$$

$$(\log_{2}4)^2-3\log_{2}4=-2$$

$$2^2-3.2=-2$$

$$4-6=-2$$

$$-2=-2$$

Substituindo $x=2$

$$(\log_{2}x)^2-3\log_{2}x=-2$$

$$(\log_{2}2)^2-3\log_{2}2=-2$$

$$1^2-3.1=-2$$

$$1-3=-2$$

$$-2=-2$$

Questão 10:

Ache o valor de $x$ para que a igualdade seja verdadeira

$$\log_{3}(x-2).(x+1)=\log_{3}x^2$$

Resolução da questão 10:

Condições de existência:

1)

$$(x-2).(x+1)>0$$

$$x^2-x-2>0$$

$$x^2-x-2=0$$

$$a=1,b=-1,c=-2$$

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4.1.(-2)}}{2.1}$$

$$x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}$$

$$x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}$$

$$x=\frac{1\pm3}{2}$$

$$x_1=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$$

$$x_2=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

Devemos analisar o gráfico para entender para quais valores de $x$ teremos valores maiores que zero, ou seja, positivos.

Para valores menores que $-1$ e maiores que $2$, temos o gráfico acima do eixo $x$, portanto:

$$x<-1$$

e

$$x>2$$

2)

$$x\neq0$$

Resolvendo a questão:

$$\log_{3}(x-2).(x+1)=\log_{3}x^2$$

$$\log_{3}x^2-x-2=\log_{3}x^2$$

$$x^2-x-2=x^2$$

$$x^2-x-2-x^2=0$$

$$-x-2=0$$

$$-x=2$$

$$x=-2$$

Prova real da questão 10:

$$\log_{3}(x-2).(x+1)=log_{3}x^2$$

$$\log_{3}(-2-2).(-2+1)=log_{3}(-2)^2$$

$$\log_{3}(-4).(-1)=log_{3}4$$

$$\log_{3}4=log_{3}4$$

Daniel Duarte

Escritor

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